XVIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2026

Введение.Современный геймдизайн представляет собой область, в которой художественное проектирование игровых процессов тесно переплетается с инженерными и математическими методами. По мере усложнения игровых систем и роста требований к стабильности, управляемости и предсказуемости механик возрастает необходимость в применении количественных моделей, в том числе методов математического анализа. Математика давно перестала быть абстрактным инструментом: она стала частью практического набора компетенций геймдизайнера, влияя как на технические процессы разработки, так и на качество решений игровых решений [1].

Математика в разработке игр включает геометрию, линейную алгебру, статистику, элементы математического анализа, теорию вероятностей и графы – именно эти раздели формируют основу механик движения, взаимодействия объектов, вероятностных событий и кривых прогрессий. От плавности камеры и интерполяции значений до моделирования выпадения лута и построения баланса – во всех подобных задач применяется математика [1]. Кроме того, современные исследования показывают, что математическое моделирование лежит в основе проектирования игровых вселенных, расчёта характеристик персонажей, систем экономики, а также создания физических и визуальных эффектов [2].

Математический анализ важен в балансировке игровых систем. Склонность игроков находить выгодные стратегии, необходимость удерживать баланс между сложностью и интересом требуют применения формализованных количественных зависимостей, функций роста, методов оптимизации [3]. Аналогичные подходы применяются и при моделировании движения, управлении анимацией, генерации обширных миров и рендеринге, где математические методы лежат в основе всех вычислительных алгоритмов [4].

Цель исследования.На основе анализа источников выявить и обосновать ключевые способы применения математического анализа в геймдизайне, а также в демонстрации его значимости при построении игровых механик, балансировке систем, моделировании динамики объектов и создании предсказуемых игровых процессов.

Материал и методы исследования.В основе исследования лежит метод математического моделирования игровых систем геймдизайнером [2]. Для достижения поставленной цели используется концептуальное моделирования для определения ключевых элементов, свойств и причинно-следственных связей в проектируемых механиках [1]. Основным инструментом стало применение аппарата математического анализа (производных, интегралов, дифференциальных уравнений, теории рядов) для построения формальных количественных моделей. В частности, показаны примеры возможных моделей для расчёта кривых прогрессии, баланса внутриигровой экономики и процедурной генерации контента. Практическая значимость и работоспособность подходов подтверждается анализом конкретных примеров из аналогий и реальной практики геймдизайнеров.

Результаты исследования и их обсуждение.Геймдизайн представляет собой дисциплину, в которой творческое виденье должно быть подкреплено точными, проверяемыми моделями. Математический анализ, зачастую воспринимаемый студентами как некая абстрактная область во время обучения, оказывается очень полезным, а иногда даже незаменимым инструментом проектирования, балансировки и оптимизации игровых систем. Применение тем математического анализа позволяет перейти от догадок к осознанному проектированию игрового опыта, где каждый параметр имеет предсказуемый рост и влияние на восприятие игрока.

Любая игровая механика, от простого подбора предметов до сложных систем по типу: улучшение характеристик персонажа, крафтинг предметов, экономика, по своей сути являются математической моделью. Представление той или иной механики через уравнения и алгоритмы обеспечивает стабильность, масштабируемость и предсказуемость (которая крайне важна при добавлении рандомизации в игру). В геймдизайне существует несколько ключевых типов математических моделей: детерминированные, стохастические, дифференциальные уравнения и т.д. Детерминированные модели обеспечивают чёткие причинно-следственные связи, все исходы зависят от начальных условий и входных параметров, что позволяет точно предсказать результат при неизменных параметрах, например: физика движения, фиксированные формулы урона; Стохастические же носят в себе контролируемую случайность, например: выпадение предметов из врага, критический удар; Дифференциальные уравнения, позволяют описать изменение состояний во времени, например: система частиц, полёт снарядов, моделирование роста популяции население (как в стратегических играх) [5]. Игровая система представляют из себя гибрид данных подходов. Применение математического анализа раскрывается при проектировании ощущений от игры – игрок не видит чисел, не знает что и как вычисляется, но чувствует результат. Хорошим примером является управление персонажей в платформерах. Движение описывается не простой линейной функцией , а несложным дифференциальным уравнением метода Эйлера, которое может иметь вид:

;

Формула 1 – движение с линейным демпфированием

;

Формула 2 – расчёт новой скорости

.

Формула 3 – метод Эйлера для интегрирования координаты

По сути своей, геймдизайнеры используют математику (в частности математический анализ), как волшебную кисть, позволяющую создавать убедительную иллюзию живой, дышащей реальности. Многие из этих критически важных вычислений напрямую основаны на тех самых, кажущихся оторванными от жизни, математических концепциях – производных, которые определяют мгновенную скорость изменения любой величины, и интегралах, которые позволяют суммировать бесконечно малые изменения для расчёта целого [6].

Балансировка и прогрессия. Одной из центральных задач геймдизайна является создание сбалансированной и удовлетворительной кривой прогрессии, которая напрямую влияет на удержание игрока. Линейный рост характеристик ( ) хоть и прост для понимания, но быстро приводит к дисбалансу из-за чего игрок либо становится чрезмерно сильным, либо прогресс теряет ощутимость[5], практичнее будет опираться на нелинейные функции, тонко управляющие кривой прогрессии. Как пример, повышение требуемого опыта для повышения уровня персонажа, при линейной прогрессии, игрок слишком быстро достигнет максимального уровня, решить эту проблему применив степенную функцию:

Формула 4 – степенной рост требуемого опыта

При степени exponent > 1 (например 1.5) кривая прогрессии становится выпуклой вверх. Рост опыта увеличивается с каждым уровнем, это создаёт ощущение “раскрывающегося потенциала”. Первые уровни даются относительно легко, что снижает входной порог, но с каждым уровнем требования растут всё сильнее. В стратегиях или играх RPG жанра такая прогрессия описывает “чем дальше в лес, тем больше дров”, игрок чувствует, как мир постепенно повышает свою сложность [5].

Логарифмическая функция решает противоположную задачу – она создаёт иллюзию постепенно прогресса при этом насыщая игрока.

Формула 5 – логарифмический рост силы от уровня

В ММО и играх-сервисах это важно для удержания игроков [7], ведь даже после сотен часов игры каждый новый уровень должен давать хоть какое-то преимущество не нарушая баланс. Математически это доказывается второй производной, которая всегда отрицательна:

Формула 6 – производная логарифмического роста силы

из-за чего прогресс есть, но его темп неуклонно снижается. На практике это означает, что геймдизайнер может точно рассчитать, через сколько часов игры разница между новичком и заядлым игроком станет критической, и вовремя ввести системы сезонов или горизонтального прогресса [7].

Экспоненциальная функция в свою очередь даёт ощущение предсказуемого, но ограниченного роста, что не позволяет прогрессировать бесконечно. Её можно записать, например, следующим образом:

Формула 7 – экспоненциальный рост силы к асимптотическому пределу

Экономика виртуального мира, устойчивость и контроль инфляции. Хорошую игровую экономику можно считать опорной системой игры. Она должна быть достаточно щедрой, чтобы вознаграждать усилия игрока и давать ощущение прогресса, но при этом достаточно строгой, чтобы сохранять интерес и ценность достижений, создающие осмысление цели. Когда баланс нарушается, магия игрового мира исчезает: либо игрок сталкивается с невозможными ценами, либо теряет интерес, скупив всё за пару часов игры. Создание экономики это отнюдь не интуитивное действие, а точная наука, основанная на балансе между источниками и стоками ресурсов [7]. Подобно тому, как эффективный менеджер для прогнозирования рисков и оптимизации процессов использует финансовый анализ, геймдизайнер применяет математический анализ для моделирования и балансировки виртуальных экономических систем [8]. Фундаментальное уравнение игровой экономики можно представить следующих образом: . Задача геймдизайнера свести значение инфляции близкую к нулю (обычно 2-3%). Однако создание работающей экономики часто требует более тонких инструментов. Алексей Морозов, экономист игровых систем, описывает реальный случай: “При запуске нового сервера нашей стратегии мы столкнулись с неожиданной проблемой: игроки накапливали ресурсы, но не тратили их, опасаясь сделать что-то не так. Экономика стагнировала, активность падала. Мы создали математическую модель: , где Decay – функция естественного обесценивания ресурсов со временем. Добавив в игру “налог на хранение” (2% от накоплений еженедельно), мы стимулировали вливание ресурсов в экономику. Для компенсации ввели бонусы за активные действия. Через две недели объём торговли вырос на 78%, а количество строительства и исследований – на 53%” [7]. Дифференциальные уравнение также находят себе применение в данной области. Для долгосрочного моделирования таких сложных систем в играх, например ММО жанра или экономических симуляторов, можно составить систему, которая описывает взаимовлияние различных ресурсов, может иметь следующий вид:

Формула 8 – общий вид системы дифференциальных уравнений взаимовлияния различных ресурсов

Где – количество i-го ресурса, – функция его генерации, а – функция потребления. Подобные модели позволяют прогнозировать последствия до введение новой механики в игру. В пример составим математическую модель для подсчёта кол-ва возможного заработка игрока по прохождению 4 раундов для моей игры “Чудесное поле: капитал шоу”. Игрок в течении 4 раундов открывает буквы в загаданном слове, за каждую букву начисляются очки, количество которых зависит от выпавшего сектора на барабане, а за три открытые буквы подряд выдают две шкатулки, в одной из которых деньги. Формула может иметь следующий вид

Формула 9 – сумма четырёх компонент для расчёта заработка игрока по прохождению 4 раундов

Где L = – длины слов по турам , – доля букв отрытых игроком, – ожидание выигрыша за букву, – ожидание выигрыша с одной шкатулки, – функция выигрыша за тур. Итого за 4 раунда игрок может заработать ~4900 игровой валюты.

Процедурная генерация и анализ рядов. Создание обширного и разнообразного контента вручную часто невозможно для инди-разработчиков, а иногда даже и для крупных студий. Процедурная генерация, основанная на математических алгоритмах, решает эту проблему. В большинстве случаев ключевым инструментом является шум Перлина, который позволяет генерировать естественно выглядящие ландшафты, текстуры и т.д. [6]. Генерацию ландшафта чаще всего реализуют как сумму ряда октав шума:

Формула 10 – процедурная генерация путём суммы октав шума

Здесь каждая следующая октава(i) имеет увеличенную частоту (детализацию) и уменьшенную амплитуду (влияние). Если амплитуды убывают в геометрической прогрессии, например, = (где 0 < Стойкость < 1), то ряд является сходящимся. Сумма такого бесконечного ряда стремится к конечному пределу:

Формула 11 – предел суммы бесконечной геометрической прогрессии для ограничения общей амплитуды генерации

Это свойство гарантирует, что процедурно сгенерированный ландшафт не будет иметь бесконечно больших пиков, обеспечивая стабильность и управляемость результата [6]. На практике ряд обрезается после 6-8 октав, так как дальнейшие детали становятся неразличимы

Интегралы и производные в физике и анимации. Физика и анимации в игре кажутся магией, которая погружает в игровой процесс, однако это всё результат применение математического анализа заложенного геймдизайнером. Благодаря этому, геймдизайнер на этапе оформления дизайн документа, может уже прописать как будет работать и чувствоваться те или иные вещи в игре, до их реализации. Разработчику останется лишь применить и воплотить это в игре. Так, например, производная в контексте игровой физика это скорость изменения положения, благодаря этому выводится классическое уравнения прыжка:

Формула 12 – классическое уравнение параболической траектории (прыжка) для вертикальной координаты

где – начальная скорость, g – гравитация. Его производная

Формула 13 – скорость тела при движении с постоянным ускорением

представляет собой мгновенную скорость, решив получаем момент достижения прыжка:

Формула 14 – время достижения максимальной высоты прыжка

Регулируя всего два параметра – геймдизайнер создаёт совершенно разные ощущения: от парящего прыжка до тяжёлого, который передаёт ощущение массы. Интеграл, как сумма бесконечно малых изменений, позволяет рассчитывать общий путь при сложной динамике движения. Если скорость объекта меняется по кривой , то пройденное расстояние:

Формула 15 – интеграл скорости по времени - пройденный путь за время T

На практике это позволяет создать нелинейные, кинематографичные перемещения. Например, камера может плавно ускоряться при начале движения персонажа и мягко замедляться при его остановке, что создаёт ощущение инерции и динамики [6]. Возможно вы и не догадывались, но интегралы лежат в основе расчёта реалистичных траекторий снарядов, плавных анимаций интерфейса и сложных визуальных эффектов.

Понимания математического анализа, как и математики даёт геймдизайнеру точный контроль над игровым процессом и ощущениями от него. Вместо интуитивного подбора параметров при любых изменениях или нововведениях можно математически обосновать каждый аспект – от анимации до внутриигровой экономики. Это превращает разработку и внесения правок в игру менее трудными.

Выводы. Математический анализ служит полезным и необходимым инструментом в работе геймдизайнера, позволяя дополнять творческий процесс точными расчётами и проверяемыми моделями. Применение его методов помогает формализировать игровые механики, переходя от интуитивных догадок к обоснованному проектированию систем. Использование производных, интегралов и нелинейных функций даёт возможность тонко настраивать баланс, прогрессию и динамику игрового процесса, напрямую влияя на восприятие и удержание игрока. Математическое моделирование также является эффективным способ управления внутриигровой экономикой и процедурной генерацией миров и контента. Таким образом, владение основами математического анализа позволяет геймдизайнеру повышать качество, предсказуемость и сбалансированность игрового опыта уже на этапе проектирования, оптимизируя процесс разработки.

Список Литературы

1. AssetIQ. Зачем вам математика и как она помогает игры делать //DTF. 2025. URL:https://dtf.ru/gamedev/4152044-zachem-matematika-nuzhna-v-geymdeve (дата обращения: 09.12.2025).

2. Скворцов А. Алгебра приключений: как математика помогает создавать идеальные видеоигры // Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики” (НИУ ВШЭ). 2025. URL: https://economics.hse.ru/ecjourn/news/1048420807.html (дата обращения 10.12.2025).

3. Фролов А. Что такое баланс в играх — и зачем он нужен // Skillbox Media. 2022. URL: https://skillbox.ru/media/gamedev/chto-takoe-balans-v-igrakh-i-zachem-on-nuzhen/ (дата обращения 11.12.2025).

4. Лисица Н. Как математика помогает в геймдеве // Яндекс Образование. 2024.URL: https://education.yandex.ru/journal/matematika-v-geimdeve (дата обращения 11.12.2025)

5. Математика и геймдизайн: как цифры создают магию игрового мира // Sky.pro. 2024. URL: https://sky.pro/wiki/gamedev/osnovy-matematicheskogo-modelirovaniya-v-gejmdizajne/ (дата обращения: 08.12.2025).

6. Зачем мне эта математика в геймдеве? // ЦДПО “Фотон”. 2025. URL: https://cdpofoton.ru/news/zachem-mne-eta-matematika-5-primerov-kak-integraly-i-proizvodnye-ispolzuyutsya-v-geymdeve/#example1(дата обращения 10.12.2025)

7. Математика в геймдизайне: как формулы определяют баланс в играх // Sky.pro. 2024. URL: https://sky.pro/wiki/gamedev/formuly-i-raschety-dlya-balansa-v-igrah/ (дата обращения: 08.12.2025).

8. Трусова И.С. Управление и развитие малого бизнеса // Формирование эффективной системы менеджмента в условиях транзитивной экономики: сб. статей Междунар. науч.-практ. конф. (26-27 марта 2024г.). – Мелитополь, 2024. – c. 168-172.

Код для цитирования: Скопировать