X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Один мудрец сказал: «Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою» [1].

С древнейших времен окружность и треугольник считали совершенными фигурами. Окружность является одной из самых простых кривых линий. Аристотель полагал, что небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии - окружности. Треугольник же считается одной из самых простейших фигур. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

В толковом словаре Д.Н. Ушакова [17] даются следующие определения:

1) Треугольник – геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла.

2) Окружность – замкнутая кривая, все точки которой равно удалены от точки, называемой центром.

В школьном курсе треугольник и окружность занимает одно из первых мест при обучении геометрии. Учащиеся более подробно знакомятся с данными понятиями в 7 классе, на первом году изучения геометрической науки. Однако изучение треугольника в контексте соотношений с окружностью проходят только в 8 классе. Например, в учебнике по геометрии И.М. Смирновой [3] для изучения данной темы выделяется глава, в которой рассматриваются следующие темы: «Углы, связанные с окружностью», «Многоугольники, вписанные в окружность», «Многоугольники, описанные около окружности», «Замечательные точки в треугольнике». Также, в 9 классе на основном государственном экзамене и в 11 классе на едином государственном экзамене тема взаимосвязи треугольника и окружности выносится как отдельный вид заданий.

Таким образом, мы считаем, что данная тема является одной из наиболее актуальных в разделе элементарной математики – планиметрии, т.к. в школьном курсе математики мало времени отводится на более подробное рассмотрение решения данного типа задач, в связи, с чем и происходят затруднения при решении заданий ОГЭ и ЕГЭ.

Объект исследования – геометрические фигуры на плоскости.

Предмет исследования – треугольник и окружность.

Цель исследования – систематизация теоретического материала и его применение к решению задач.

Объем и структура исследования определены логикой исследования. Общий объем составляет 32 страницы машинописного текста. Работа состоит из введения, двух частей, заключения и списка источников (18 источников).

Теоретическая часть

В первой части нашего исследования, мы рассмотрим понятия треугольника и окружности, а также взаимосвязь этих элементарных фигур. В школьном курсе математики, как отметили, основное знакомство треугольника в контексте с окружностью начинается в 8 классе.

Проанализировав различные литературные источники, мы выявили основное понятие термина «треугольник». Согласно информации, представленной в толковом словаре Ушакова [9], треугольником называется геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла.

В справочном издании И.В. Третьяка [13] дается следующее определе­ние треугольника: «Треугольник – фигура, состоящая из трех точек, не лежа­щих на одной прямой, и трех отрезков, которые попарно их соединяют. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Тре­угольник обозначается указанием его вершин латинскими буквами. Также вместо слова «треугольник» употребляют знак ∆. Например, треугольник на рисунке 1 обозначается так: ∆ABC.

Углом треугольника ABC при вершине A называется угол, образованный прямыми AB и AC, обозначается как ∠BAC. Также определяются и углы треугольника при вершинах B и C, ∠CBAи ∠ACB. Часто их обозначают одной латинской буквой∠A, ∠B, ∠Cили одной греческой .

В учебнике по геометрии окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки [4].

Данная точка является центром окружности, а отрезок соединяющий центр с какой-либо точкой окружности является радиусом окружности. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром[7] (рис. 2).

Как мы уже упоминали ранее, рассмотрим взаимосвязь треугольника и окружности.

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон [13]. Также, можно сказать, что треугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности [3]. Центром в данной окружности будет точка пересечения биссектрис углов треугольника. Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника.

Докажем, что в любой треугольник можно вписать окружность.

∆ Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, OL, OM соответственно к сторонам AB, BC, CA (рис. 3). Т.к. точка О равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK= OL= OM. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки K, L, M. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, т.к. они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник ABC. ▲

К данной теореме предлагается замечание автора учебника геометрии Атанасяна Л.С. [6]: отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда в центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

В нашем исследовании мы рассмотрим формулы нахождения радиуса вписанной окружности в зависимости от вида треугольника:

1) Формулы нахождения радиуса вписанной окружности в произвольном треугольнике:

а)

(1.1)

∆ Рассмотрим треугольник ABC. Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

. По формуле нахождения площади треугольника через основание и высоту получаем:

Следовательно, ; где p -полупериметр. ▲

б)

(1.2)

∆ Из формулы (1.1) с помощью формулы Герона получаем:

. ▲

2) Формула нахождения радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике:

(2.1)

∆ Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC(рис.5). Т.к. для произвольного треугольника справедлива формула (1.2), где , то в равнобедренном треугольнике , . Получаем, ▲

3) Формула для нахождения радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольнике:

(3.1)

∆ Рассмотрим равносторонний треугольник, со сторонойa. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула (2.1) то, в случае равностороннего треугольника, когда b = a, получаем:

. ▲

4) Формула нахождения радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

(4.1)

∆ Рассмотрим рисунок 7.

Рис. 7

Четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого стороны DO и OF равны, следовательно, этот прямоугольник – квадрат. Поэтому, СD = СF= r. Теорема.Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны. В силу данной теоремы справедливы равенства:

Данную формулу можно также представить в виде: ), используя теорему Пифагора. ▲

Формулы, по которым можно найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде таблицы (см. приложение 1).

Окружность, описанная около треугольника

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины [13]. Или, наоборот, треугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности [3]. Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Докажем, что около любого треугольника можно описать окружность.

∆ Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки OA, OB, OC (рис. 8). Т.к. точка О равноудалена от вершин треугольника ABC, то OA= OB= OC. Поэтому окружность с центром О радиуса OA проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC. ▲

Также как и для вписанной в треугольник окружности, Атанасян Л.С. выделил и замечание к теореме об описанной около треугольника окружности [6]: отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадет с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Рассмотрим формулы нахождения радиуса описанной окружности в зависимости от вида треугольника:

1) Формула нахождения радиуса описанной окружности в любом треугольнике:

а)

(5.1)

Рис. 9

∆ Докажем, что длина хорды окружности радиуса R, на которую опирается вписанный угол величины φ, вычисляется по формуле:

(5.1.1)

Рассмотрим случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.10).

Рис. 10

Угол MPN, как угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (5.1.1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (5.1.1) доказана. Из формулы (5.1.1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.9):

▲

Следовательно, радиус описанной около треугольника окружности вычисляется по формуле:

б)

(5.2)

Рис. 11

∆ Рассмотрим треугольник ABC (рис.11). В силу теоремы синусов справедливо равенство:

, откуда Поэтому, площадь треугольника равна: Следовательно, радиус описанной около треугольника окружности равен: ▲

в)

(5.3)

∆ Рассмотрим треугольник ABC (рис. 12). В силу теоремы синусов справедливо равенство:

Поэтому, .

Воспользовавшись формулой нахождения площади из формулы (5.2), получается:

. Следовательно, радиус описанной около треугольника окружности равен:

.▲

2) Формула нахождения радиуса описанной окружности около прямоугольного треугольника:

(5.4)

∆ В прямоугольном треугольнике гипотенуза с проходит, через центр описанной окружности, следовательно, , где с - гипотенуза. ▲

Вневписанная в треугольник окружность

Окружность называют вневписанной в треугольник, или вневписанной окружностью, которая касается одной стороны и продолжений двух других сторон треугольника [2]. У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 13 изображена одна из них.

1) Формула нахождения радиуса вневписанной окружности касающейся одной из сторон:

(6.1)

∆ Рассмотрим рисунок 13, заметим, что выполнены равенства:

Следовательно, . ▲

Радиусы остальных вневписанных окружностей в треугольнике ABC вычисляются по формулам: .

2) Формула нахождения радиуса вневписанной окружности:

(6.2)

∆ Т.к. из доказательства формулы (6.1) было выявлено, что , то .

Складывая данные формулы, получим:

Воспользувавшись формулой (1.1) получаем: ▲

Вписанная и описанная в треугольник окружность

Интересная связь между центром вписанной и описанной окружностями описана через диаметр или радиус Эйлером, который предложил одноименную формулу [12].

(7.1)

Формула для определения расстояния d между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника выглядит так (рис. 14): где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника.

Рис.14

Таким образом, в теоретической части нашего исследования, мы рассмотрели формулы нахождения радиусов окружности, которые успешно могут быть использованы при решении планиметрических задач ОГЭ и ЕГЭ.

Некоторые из формул в школе не встречаются и не изучаются, поэтому данное исследование поможет школьникам подготовиться к государственным экзаменам.

Практическая часть

В практической части нашего исследования, мы рассмотрим задачи, которые классифицировали в зависимости от расположения треугольника и окружности. Это задачи на вписанную окружность, описанную окружность, вневписанную окружность и комбинированные задачи.

Первым типом задач рассмотрим задачи на вписанную в треугольник окружность.

Задача 1[8]. Расстояние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 5. Най­дите ра­ди­ус окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Решение:

1 случай. Рассмотрим ∆ABC(рис.15).AC = CB = 5. Пусть — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем АB, — ра­ди­ус окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Тогда — вы­со­та и медиана тре­уголь­ни­ка ABC.

= 4 (по условию). Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка находим .

По теореме Пифагора: ;

.

По формуле нахождения радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник (2.1) получаем:

Следовательно, радиус вписанной окружности равен 1,5.

2 случай. Рассмотрим ∆ABC(рис.17).AB = CB = 5. — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC.

Рис. 16

По теореме Пифагора найдем BH:

Чтобы найти сторону AC воспользуемся теоремой Пифагора:

По формуле нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности (1.1) необходимо знать площадь треугольника, поэтому

Следовательно, радиус вписанной окружности равен

3 случай. Рассмотрим ∆ABC, AB = CB = 5 и образуют острый угол. — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Найдем сторону AC.

По теореме Пифагора:

По теореме Пифагора найдем сторону AC:

По формуле нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности (1.1) получаем:

Ответ:

Задача 2 [18]. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение: Рассмотрим ∆ABC(рис.17).

BC = AC = (по условию). Найдем сторону AB по теореме Пифагора: ;

.

По формуле нахождения радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник (4.1) получаем:

Следовательно, искомый радиус вписанной окружности равен 1.

Ответ: 1.

Следующим видом задач, которые мы рассмотрим, будут задачи на описанную около треугольника окружность.

Задача 3 [18]. В треугольнике ABC (рис. 18) угол B равен 72°, угол C равен 63°, . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение: Рассмотрим ∆ABC(рис. 17), ,

С , (по условию). Т.к. сумма всех внутренних углов треугольника равна , то

А = .

По формуле нахождения радиуса описанной около треугольника (5.1) окружности, получаем: .

Ответ: 2.

Задача 4 [18]. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение: Рассмотрим ∆ABC(рис. 19),

(по условию). Для того, чтобы найти радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике (5.2) необходимо знать площадь треугольника, поэтому по формуле Герона получаем:

.

Зная стороны треугольника и его площадь, находим радиус описанной окружности:

Ответ: 25.

В теоретической части нашего исследования, мы также рассмотрели и вневписанные окружности. Приведем примеры задач и их решения на вневписанные в треугольник окружности.

Задача 5[18].Первая окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник KLM, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны KL в точке B, а ос­но­ва­ния ML — в точке A. Вто­рая окруж­ность с цен­тром O₁ ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния ML и про­дол­же­ний бо­ко­вых сторон. Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окружности, если известно, что ра­ди­ус пер­вой равен 6 и AK = 16.

Решение: Рассмотрим ∆KBO и ∆КAL(рис. 20). Данные треугольники подобны по второму признаку, поэтому .

Рассмотрим окружность с центром O₁. По условию, данная окружность вневписанная в равнобедренный треугольник , где а – основание треугольника. Чтобы найти радиус вневписанной окружности необходимо знать площадь, полупериметр и сторону треугольника, касающуюся окружности.

Найдем площадь треугольника по формуле: , где а – сторона треугольника, а – высота, проведенная к стороне а.

KА – высота и медиана ∆LKM (по свойству равнобедренного треугольника),

LM = 24.

Найдем полупериметр треугольника по формуле: , где a, b, c - стороны треугольника.

Т.к. ∆LKM– равнобедренный, а KA – высота, то по теореме Пифагора:

Следовательно, радиус вневписанной окружности касающейся стороны LM равен 24.

Ответ: 24.

Задача 6 [10]. Найдите радиус вневписанной в правильный треугольник, если сторона равна 6.

Решение: Рассмотрим ∆ABC, (по условию). Для нахождения радиуса вневписанной окружности (6.1) необходимо знать площадь треугольника и полупериметр. Поэтому, найдем площадь ∆ABC.

Проведем из вершины А к стороне CB высоту, которая также является и медианой. Следовательно, По теореме Пифагора:

Найдем полупериметр:

По формуле нахождения радиуса вневписанной окружности получаем:

Ответ: 5.

Рассмотрим комбинированные задачи по теме «Треугольник и окружность».

Задача 7 [18]. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей.

Решение: Рассмотрим ∆ABC(рис. 21),

 

 

, (по условию). Для того, чтобы найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружности (7.1), необходимо знать радиусы обоих окружностей.

Найдем радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник (4.1). По теореме Пифагора:

Найдем радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника (5.4):

Зная радиус обоих окружностей найдем расстояние между центрами О и О₁: ;

Ответ: .

Также, в нашем исследовании мы рассмотрим такие задачи, которые подразделяются по видам решения. Это задачи на доказательство, построение и вычисление.

Задача 8 [11]. Пусть —‍ радиусы вневписанных окружностей треугольника, касающихся сторон, равных a,‍ b‍ и c‍ соответственно, r —‍радиус вписанной окружности, R —‍ радиус описанной окружности треугольника. Докажите, что

Доказательство: Пусть S —‍ площадь треугольника, - его полупериметр. Применив формулу Герона, формулы площади треугольника через радиус вписанной и вневписанной окружностей и формулу получим, что

Следовательно, Что и требовалось доказать.

Задача 9 [9]. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение: По формуле нахождения радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник (2.1) получаем

Ответ:

Задача 10 [14]. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центрам описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей.

Рис. 22

Пусть O,‍ O‍₁,‍ O‍₂ —‍ данные центры в указанном порядке. Построим на отрезке O‍₁O‍₂‍ как на диаметре окружность. Тогда две вершины треугольника лежат на этой окружности, а её центр лежит на описанной окружности и на биссектрисе третьего угла. Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим на отрезке O‍₁O‍₂‍ как на диаметре окружность S‍₁.‍ Пусть M —‍ середина O‍₁O‍₂,‍ т. е. центр этой окружности. Радиусом OM‍ строим окружность S‍₂‍ с центром O.‍ Пересечение окружностей S‍₁‍ и S‍₂‍ даёт две вершины искомого треугольника, а пересечение прямой O‍₁O‍₂‍ с окружностью S‍₂—‍ третью вершину.

Заключение

Целью нашей работы была систематизация теоретического материала и его применение к решению задач. На начальном этапе нашего исследования мы рассмотрели понятия треугольника и окружности. Проанализировав научную литературу, мы рассмотрели взаимосвязь треугольника и окружности, в зависимости от вида треугольника и от его расположения с окружностью. Основной работой в теоретической части исследования было выведение формул радиуса окружности.

На основе материала, изученного в теоретической части, в практической части мы показали применение различных формул при решении разных типов геометрических задач в зависимости от расположения треугольника и окружности и вида задач: на доказательства, на построение, на вычисление.

Материал, изложенный в данном исследовании, может быть успешно использован обучающимися при решении заданий из основного и единого государственных экзаменов, т.к. большинство формул не изучается в курсе геометрии и при решении задач, в большинстве случаев, вызывают трудности.

Список источников

Арбелос Архимеда [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://rodnik.3dn.ru/publ/4-1-0-66, свободный.

Геометрия на плоскости: Теория, задачи, решения: Учеб. пособие по математике / В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич, В.Л. Тихомович. – Мн.: ООО «Асар», 2003. – 592 с.: ил.

Геометрия. 7 – 9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 9-изд., стер. – М. : Мнемозина, 2015. – 376 с. : ил.

Геометрия. 7 – 9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 383 с. : ил. – ISBN 978-5-09-032008-5.

Геометрия. 7 – 9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций / А. В. Погорелов. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-032301-7.

Геометрия: Учеб. для 7 – 9 кл. сред. шк. / Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 3-изд. – М.: Просвещение, 1992. – 335 с.: ил. – ISBN 5-09-003876-7.

Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 383 с.: ил. – ISBN 5-09-003854-6.

Гущин, Д.Д. Решу ЕГЭ [Электронный ресурс]: Образовательный портал. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/, свободный.

Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 229, с. 23

ЕГЭ 2017, Математика. Профильный уровень. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И. В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2017. – 247 с.

Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 16ж, с. 57

Куланин Е. О прямых Эйлера и окружности девяти точек // Математика. – 2000. – № 43.

Математика / И. В. Третьяк. – Москва : Эксмо, 2016. – 256 с. – (Весь школьный курс в схемах и таблицах).

Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 8.35, с. 19

Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. – 5-е изд., испр. и доп. – М.:МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. – 640 с.: ил.

Справочник [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolsev.htm, свободный.

Толковый словарь современного русского языка, Д.Н. Ушаков – М.: «Аделант» , 2013. – 800с.

Федеральный институт педагогических измерений [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.fipi.ru, свободный.

Приложение 1

Радиусы вписанных в треугольники окружностей

Фигура	Чертеж	Формула	Обозначения
Произвольный треугольник			a, b, c – стороны ∆, S – площадь, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
			a, b, c – стороны ∆, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
			a, b, c – стороны ∆, r – радиус вписанной окружности
			– углы ∆, S – площадь, r – радиус вписанной окружности
			- высоты, проведенные к сторонам ∆ a, b, c соответственно,r – радиус вписанной окружности
Равнобедренный треугольник			a – боковая сторона равнобедренного ∆, b – основание, r – радиус вписанной окружности
Равносторонний треугольник			a – сторона равностороннего ∆, r – радиус вписанной окружности
Прямоугольный треугольник			a, b – катеты прямоугольного ∆, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности

Приложение 2

Радиусы описанных около треугольников окружностей

Фигура	Чертеж	Формула	Обозначения
Равносторонний треугольник			R – радиус описанной окружности, h – высота ∆, a – сторона правильного ∆
Прямоугольный треугольник			R - радиус описанной окружности, c - гипотенуза прямоугольного треугольника
Произвольный треугольник			– углы ∆, S – площадь, R – радиус описанной окружности
			a, b, c – стороны ∆, S – площадь, R – радиус описанной окружности
			R – радиус описанной окружности, a - сторона ∆, – синус угла

Приложение 3

Радиусы вневписанных в треугольник окружностей

		p– полупериметр ∆, – углы ∆, – радиусы вневписанных окружностей.
		p– полупериметр ∆, – стороны ∆, – радиусы вневписанных окружностей, S – площадь треугольника
		– радиусы вневписанных окружностей
		– радиусы вневписанных окружностей, S – площадь треугольника

Код для цитирования: Скопировать