V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Ни для кого не секрет, что наука шагнула далеко вперед за прошедший век. Те или иные открытия находят свое применение в разных сферах деятельности человека. Во многом это стало возможным благодаря обширной теоретической базе, создававшейся великими умами на протяжении нескольких столетий. Однако если с практическим применением научных знаний и их развитием всегда было относительно просто, то исследования, проводимые в фундаментальных науках (математика, физика), всегда вызывали горячие споры. Чаще всего камнем преткновения становились так называемые парадоксы.

Именно проблеме парадоксов, на примере принципа неопределенности Гейзенберга и теореме Гёделя о неполноте, посвящена данная работа. Необходимо понять, что же есть парадокс для науки – исключение из правил или основной критерий развития.

Для начала следует понять, что называется парадоксом? Под парадоксом чаще всего понимается ситуация (утверждение, высказывание или суждение), которая может существовать в реальной жизни, но не иметь при этом логического объяснения. В самом широком смысле под парадоксом понимают высказывание, расходящееся с общепринятым мнением и кажущееся нелогичным. Таким образом, парадоксы возникают только тогда, когда на проблему человек пытается посмотреть с точки зрения логики.

Современные науки тем или иным образом используют логику в качестве инструмента познания, наталкиваясь при этом на теоретические противоречия либо противоречия теории опыту. Причин таких противоречий может быть бесчисленное множество, но ясны они становятся, когда удается разрешить парадокс. Для примера рассмотрим два парадокса – принцип неопределенности Гейзенберга и теорема Геделя о неполноте.

Принцип неопределенности в квантовой механике является фундаментальным неравенством, которое устанавливает предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических величин. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., остаётся одним из краеугольных камней квантовой механики.

Рассмотрим формально определение принципа неопределенности [1]. Если имеется несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности – это фундаментальный постулат квантовой механики. Согласно ему, измеряя величину среднеквадратического отклонения координаты и среднеквадратического отклонения импульса, будет получено следующее соотношение:

где – приведённая постоянная Планка.

По принципу неопределённости у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение и скорость (или импульс). Принцип неопределённости уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда ни одна из двух крайних ситуаций (полностью определенный импульс и полностью неопределенная пространственная координата – или полностью неопределенный импульс и полностью определенная координата) не реализуется.

Альберту Эйнштейн был не согласен с открытием Гейзенберга, и он бросил ему и Нильсу Бору вызов известным мысленным экспериментом: коробка заполняется радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом, время уже точно известно. Необходимо точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдет, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом, часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта; по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего. Что приведет к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показал, что неточность правильно даётся соотношением Гейзенберга.

В итоге пример, который был направлен показать несостоятельность принципа неопределенности, в конечном итоге лишь его подтвердил. В заключении также можно отметить, что принцип неопределенности, изначально рассматриваемый как парадокс, дал сильный толчок для дальнейшего развития квантовой механики в целом.

В 1931 г. Курт Гёдель доказал знаменитую теорему о природе математики. Эта теорема утверждает, что в любой формальной системе аксиом вроде тех, что используются в современной математике, всегда существуют положения, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты на основе аксиом, определяющих систему. Согласно данной теореме, в каждой логической системе, настолько богатой [2], чтобы содержать формализацию арифметики, существуют истинные, но не выводимые, недоказуемые утверждения.

Таким образом, эта теорема утверждает принципиальную невыразимость или невозможность вербализации математических объектов (или объектов математического, да и любого другого, мышления). Любопытно отметить, что Гёдель при доказательстве своей теоремы исходил из парадокса лжеца (лжец говорит, что он лжет). Но это утверждение можно расширить до градации оттенков выражения, т.е. ввести некоторую меру, что выявляет необходимость различения феноменального и семантического аспекта высказывания и снимает парадокс:

а) чем более формально он говорит «я лгу», тем более семантически он говорит правду. Таким образом, формальный аспект формулы констатирует утверждение, которое внутри себя истинно и непротиворечиво, т.е. внутренне семантически правдиво, но бессодержательно;

б) чем более эта фраза верна в семантическом, содержательном, истинностном аспекте, тем она менее верна формально, т.е. ее нельзя отнести к множеству формальных утверждений.

Таким образом, возникают два случая:

1) – определено, а – не определен;

2) – не определено, а – определено;

В зависимости от того, в каком аспекте, формальном или семантическом мы рассматриваем это или другое утверждение.

В общем виде можно записать: . Эта формула есть не что иное, как принцип неопределенности, открытый Гейзенбергом. Соотношение, изначально доказанное в квантовой механике, оказалось приемлемым для математической логики.

Следует отметить, что до появления теоремы Геделя, Гильбертом была предпринята попытка создания так называемой теории доказательств. Смысл данной теории заключался в том, что все утверждения какой-либо математической теории можно записать в виде формул. Тот факт, что можно вывести одно утверждение из другого, есть просто некая работа с формулами, которая не имеет никакого отношению к смыслу. Применяя аксиоматический метод, можно получить набор формул, называемых аксиомами, из которых все теоремы теории, т.е. истинные формулы, получаются с помощью правил вывода. Гильберт ожидал, что множество истинных формул совпадет с множеством выводимых и что при формальной работе со знаками никогда не получится противоречивое высказывание. С появлением теоремы Геделя, стало ясно, что попытки создания подобных теорий лишены смысла, что формализм не приведет к желаемому результату, а лишь отдалит от него. И невольно возникает вопрос, а нужна ли была вообще теорема Геделя? Ведь с её появлением появилось еще больше вопросов. Даже американский математик Коэн говорил: «Жизнь была бы гораздо приятнее, не будь гильбертовская программа потрясена открытиями Геделя». Ответом, я думаю, может послужить несколько перефразированное высказывание самого Коэна [3]: «Если бы не было теоремы Геделя, то жизнь не только не была бы приятнее, её просто не было бы». В самом деле, пусть теорема Геделя и доказала несостоятельность определенных теорий и породила некую неопределенность, зато она дала возможность проводить исследования в другом, ранее неизвестном направлении.

Подводя итог, можно сказать, что теорема Гёделя наложила фундаментальное ограничение на математику. Она стала настоящим шоком для научного сообщества, поскольку заставила отбросить широко распространенное убеждение, будто математика является согласованной и полной системой, основанной исключительно на логическом фундаменте [4].

Рассмотренные выше парадоксы принадлежат разным фундаментальным наукам. Но, тем не менее, можно увидеть, что и между ними существует неразрывная связь – причина, по которой они возникают. И причина эта заключается в необходимости совершенствования существующей методологической основы, без которой дальнейшее развитие науки просто немыслимо.

Таким образом, использование связи теорем Гёделя и принципа неопределенности позволяет выходить за рамки существующих теоретических схем с целью их обобщения и расширения границ познания. Понимание происхождения парадоксов мышления позволяет более целенаправленно перестроить основы математики или любой другой фундаментальной науки. Можно заметить, что парадоксы, так или иначе связаны с логикой и логическим мышлением человека, его способности смотреть на мир под разными углами. Именно это качество и позволяет развивать науку и совершать новые открытия, а наличие парадоксов стимулировать к новым исследованиям и более глубокому осмыслению теории.

Список источников

1. Давыдов, А. С. Квантовая механика, 2-ое изд. /А.С. Давыдов. – М.: Наука – 1973.

2. Клини, С. К. Математическая логика / С.К. Клини. – М.: Мир. – 1973.

3. Паршин, А. Н. Размышления над теоремой Геделя /А.Н. Паршин // Вопросы философии, 2000, № 6.

4.Пуанкаре А. О науке /А.Пуанкаре – М.: Наука – 1983.

5.http://ru.wikipedia.org

Код для цитирования: Скопировать