XVIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2026

Введение

Начало великой славе молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновой кислоты) было положено в 1953 г., когда Джеймс Уотсон и Френсис Крик [1, 2] построили свою знаменитую модель. Нуклеиновые кислоты, к которым относится ДНК, представляет собой сложные химические соединения, содержащие углерод, кислород, водород, азот и фосфор. Название этих соединений обусловлено тем, что они обладают кислотными свойствами и впервые были идентифицированы в клеточных ядрах. Первоначально предполагалось, что существует только две нуклеиновые кислоты: одна, - содержащая сахар рибозу, и называемая рибонуклеиновой кислотой (РНК), и другая, - содержащая сахар дезоксирибозу, и называемая дезоксирибонуклеиновой кислотой (ДНК). Позже было обнаружено много различных видов ДНК и РНК, различающихся деталями своего строения и ролью в обмене веществ. Молекула ДНК содержится в хромосомах клеточного ядра, а также (но в гораздо меньшем количестве) в митохондриях и хлоропластах. Значение и биологическая роль ДНК заключается в том, что она служит главным носителем генетической информации.

ДНК, встречающиеся в природе, представляют собой очень длинные нитевидные молекулы, диаметр ДНК 20Å, длина колеблется от нескольких микрон у микроорганизмов, до метра у человека и млекопитающих. Относительно химического состава ДНК известно следующее. Молекула состоит из множества мономеров, называемых нуклеотидами. Каждый нуклеотид содержит азотистое основание, пятиуглеродный сахар (пентозу) и фосфорную кислоту. В состав нуклеотидов ДНК входят четыре типа оснований аденин (А), тимин (Т), гуанин (G) и цитозин (С). Уотсон и Крик предложили модель молекулы ДНК, в которой аденин специфически соединяется с тимином, а гуанин – с цитозином с помощью водородных связей (рис. 1).

Рис.1. A-T и G-C пары оснований.

Исходя из рентгеновских данных Астбери и Уилкинса [3, 4], Уотсон и Крик сделали вывод, что пары оснований уложены наподобие стопки монет на расстоянии 3,4 Å друг от друга. При этом соседние пары повернуты на угол 36⁰, в результате чего образуется правая двойная спираль с десятью парами оснований на виток. На рис. 2 схематически изображена модель ДНК.

Рис. 2. Модель ДНК.

В ней сахаро-фосфатные цепи изображены в виде лент, а основания – в виде жердочек между ними. Сахаро-фосфатные цепи в такой модели расположены по периферии молекулы и направлены антипараллельно друг другу [5].

Одна из наиболее интересных и многообещающих моделей ДНК, была предложена в работах Инглэндера и соавторов [6], где было показано, что вращательные движения оснований в ДНК могут быть описаны уравнением синус-Гордона (s-G). Выводы авторов основывались, на аналогии между динамикой молекулы ДНК и простой механической моделью - цепочкой маятников.

Рис. 3 Цепочка маятников.

Действительно, основания ДНК, совершающие вращательные движения вокруг сахаро-фосфатной цепочки, можно рассматривать в первом приближении как маятники, сахаро-фосфатную цепочку - как нить, на которую подвешены эти маятники, а поле, наводимое второйполинуклеотидной цепочкой, взаимодействующей с первой через водородные связи, - как аналог гравитационного поля.

В дальнейшем s-G модель ДНК развивалась и улучшалась в работах многих авторов [7]. Она успешно использовалась для объяснения ряда экспериментальных данных [8]. Однако, даже в рамках простой s-G модели, представленной Инглэндером и соавторами [6], остаются нерешенными некоторые математические задачи. В данной работе будут рассмотрены некоторые из них.

В начале работы мы выводим нелинейное дифференциальное уравнение, имитирующее вращательные колебания оснований ДНК, и показываем, что оно действительно аналогично уравнению синус-Гордона. Далее рассматриваем свойства уравнения синус-Гордон и его решений. Затем исследуем движение кинка в ДНК. Строим профили нелинейных односолитонных волн для различных полинуклеотидных А-, Т-, G- и C-цепочек и оцениваем физические характеристики (размер солитон, энергию, массу, импульс) кинка распространяющегося в ДНК без учета влияния внешнего воздействия.

1. Вывод модельного уравнения, описывающего вращательные движения оснований ДНК

Вывод модельного уравнения начнем с хорошо известного уравнения - уравнения, описывающего вращательные движения отдельного изолированного n-го маятника,

, (1.1)

где m_n и R_n – масса и длина маятника, соответственно, _n – угол отклонения маятника от положения равновесия, g – гравитационная постоянная.

Чтобы описать колебания маятника, находящегося в цепочке маятников, введем в уравнение (1.1) два дополнительных слагаемых: первое слагаемое учитывает силу, действующую со стороны правого маятника, _, и второе - силу, действующую со стороны левого маятника, _. ЗдесьK – константа, характеризующая взаимодействие между соседними маятниками.

После введения дополнительных слагаемых и умножения правой и левой части на уравнение (1.1) преобразуется к виду

. (1.2)

Уравнение (1.2) называют дискретным уравнением синус-Гордона. Чтобы получить его континуальный аналог, предположим, что решения уравнения являются, достаточно, плавными функциями, то есть они заметно изменяются лишь на расстояниях много больше a – расстояния между ближайшими маятниками. Это условие дает возможность устремить параметр a к нулю, при этом слагаемые, входящие в уравнение (1.2), будут стремиться к следующим пределам

,

,

, (1.3)

.

Здесь учтено, что ось z направлена вдоль нити, на которую подвешены маятники, и что координаты маятников можно записать как z_n = na, n = 1,2,…N. При a→0 дискретная переменная z_n = na заменится непрерывной переменной z.

Осуществив в уравнении (1.2) предельный переход и предположив для упрощения расчетов, что массы (m_n) и длины (R_n) всех маятников одинаковы, получим континуальный аналог уравнения синус - Гордона

. (1.4)

В более компактном виде это уравнение можно переписать следующим образом

. (1.5)

Здесь I – момент инерции маятника; =KR – константа, характеризующая жесткость горизонтальной нити, V = mgR – потенциальная энергия, необходимая, чтобы поднять маятник на высоту R, равную длине маятника, или отклонить его на 90º.

Учитывая аналогию между механической моделью – цепочкой маятников и молекулой ДНК и следуя результатам работы [6], можно утверждать, что уравнение (1.5) описывает вращательную динамику оснований в ДНК. Только параметры I, , и V будут интерпретироваться теперь следующим образом: I – момент инерции основания; =KR – константа, характеризующая жесткость сахаро-фосфатной цепочки; – расстояние между ближайшими основаниями в ДНК ( = 3,4 Å), V – энергия, необходимая для того, чтобы повернуть основание на 90º, т.е. фактически разорвать водородные связи внутри пар.

2. Кинк и его графическое представление в параметрах ДНК

В случае ДНК решение уравнения (1.5) в виде кинка приобретает вид

, (2.1)

где , ^– относительная скорость, ^=_к/C₀, _к – скорость кинка, C₀ – скорость звука (C₀ = 1890 m/s), V_j, , I_j – параметры ДНК, j = А, Т, G, C. Численные оценки параметров ДНК представлены в Таблице 1.

Таблица 1. Значения параметров ДНК

Видыцепочки	Параметры ДНК
	I (10-47 kgm2)	(10-20 Nm)	V (10-20 J)
А-цепочка	7607.03	227.07	2.09
Т-цепочка	4862.28	155.52	1.43
G-цепочка	8217.44	220.28	3.12
C-цепочка	4106.93	149.77	2.12

Графическое представление решения (2.1) показано на рис. 4.

Рис. 4. Трехмерное представление односолитонных решений (кинков) уравнения (1.5), рассчитанных для A- и T-цепочек. Расчеты выполнены при , s.

3. Физические характеристики кинка в параметрах ДНК

Из формулы (2.1) определим размер кинка (d), распространяющегося вдоль молекулы ДНК,

. (3.1)

Подставляя значения параметров ДНК из таблицы 1 в формулу (3.1), получим численные значения размера кинка для А-, Т-, G- и C-цепочек

Таблица 2. Размер кинка

Виды цепочки	Значения размера d (Å)
А-цепочка	35.5
Т-цепочка	35.5
G-цепочка	28.6
C-цепочка	28.6

Из таблицы 1 следует, что размеры кинка движущегося в A и T, цепочках равны. Аналогично и размеры кинка движущегося в G и C, цепочках. Заметим также, что в A и T цепочках размер кинка больше, чем в G и C цепочках. Этот результат подтверждают и рис.4.

Аналитическое выражение для энергии кинка имеет вид

, (3.2)

где – энергия покоя кинка. Далее, подставляя значения параметров ДНК из таблицы 1 в формулу (3.2), получим численные значения для энергии покоя кинка.

Таблица 3. Значения энергии покоя кинка

Виды цепочки	Значения энергий покоя Е0 (kcal/mol)
А-цепочка	250.46
Т-цепочка	171.46
G-цепочка	301.47
C-цепочка	204.91

Из таблицы 3 видно, что в Т- и С-цепочках легче возбудить кинк, чем в А- и G-цепочках. Более того учитывая, что сумма энергий активации кинков в А- и Т-цепочках меньше, чем аналогичная сумма в G- и C-цепочках, можно сделать вывод о том, что для возбуждения кинка в ДНК более предпочтительными будут участки последовательности ДНК, насыщенные А-Т парами, и менее предпочтительны участки, насыщенные G-C парами, что хорошо коррелирует с экспериментальными данными.

Если предположить, что относительная скорость мала, то формула (3.15) преобразуется к виду

. (3.3)

Этот результат можно интерпретировать как сумму кинетической и потенциальной ( ) энергий.

Из формулы (3.3) находим массу покоя кинка

. (3.4)

Подставляя значения параметров ДНК из таблицы 1 в формулу (3.4), получим численные значения масс покоя кинка для четырех видов цепочек.

Таблица 3. Значения масс покоя кинка в параметрах ДНК

Виды цепочки	Значения масс покоя m0 (kg)
А-цепочка	487.78 × 10-27
Т-цепочка	333.92 × 10-27
G-цепочка	587.22 × 10-27
C-цепочка	399.09 × 10-27

Заключение

В данной работе было выведено нелинейное дифференциальное уравнение, имитирующее вращательные колебания оснований ДНК, и показано, что оно действительно аналогично уравнению синус-Гордона. Также были рассмотрены свойства уравнения синус-Гордон и его решений, исследовано движение кинка в ДНК. Были построены профили нелинейных односолитонных волн для различных полинуклеотидных А-, Т-, G- и C-цепочек. Это позволило обнаружить, что 1) профили совпадают для кинков распространяющихся в А- и Т-цепочках, аналогично в G- и С-цепочках; 2) размер кинка распространяющегося в poly(A)poly(T) больше, чем в poly(G)poly(C).

Были рассчитаны физические характеристики (энергия, масса) кинка, распространяющегося в ДНК, без учета влияния внешнего воздействия. Полученные формулы для энергии и массы кинка напоминают аналогичные формулы для релятивистской частицы.

Из численных оценок энергии кинка замечено, что в Т- и С-цепочках кинк легче возбудить, чем в А- и G-цепочках. Более того, учитывая, что сумма энергий активации кинков в А- и Т-цепочках меньше, чем аналогичная сумма в G- и C-цепочках, сделан вывод о том, что для возбуждения кинка в ДНК более предпочтительными будут участки последовательности ДНК, насыщенные А-Т парами, и менее предпочтительны участки, насыщенные G-C парами, что хорошо коррелирует с экспериментальными данными.

Списоклитературы

1. Watson J. D., Crick F.H.C. A structure of deoxyribose nucleic asid. // Nature. 1953. V. 171. P. 737-738.

2. Crick F.H.C., Watson J. D. The complementary structure of deoxyribonucleic acid // Proc. Roy. Soc. (London). Ser. A. 1954. V. 223. P. 80-96.

3. Astbury W.T. X-ray studies of nucleic acids // Nucleic Acids. 1947. V.1. P. 66-76.

4. Wilkins M. H.F. Molecular configuration of nucleic acids // Science. 1963. V.140. P. 941-950.

5. Зенгер В. Принципы структурной организации нуклеиновых кислот. –Москва : Мир, 1987. – 205 c.

6. Englander S.W., Kallenbach N.R., Heeger A.J., Krumhansl J.A. and Litwin A. //Proc. Natl. Acad. Sci. 1980. V. 77. P. 7222-7226.

7. Yakushevich L.V. // Quarterly Reviews of Biophisics. 1993. V. 26(2). P. 201-223.

8. Yakushevich L.V. Nonlinear Physics of DNA – Wiley : Weinheim, 2004. – 190 p.

9. Мак-Лафлин Д., Скотт Э. Солитоны в действии. –Москва : Мир, 1981. 268 с.

Код для цитирования: Скопировать