XVIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2026

Выражение тригонометрических функций

Переход от тригонометрических функций к алгебраическим осуществляется с помощью замены:

;

.

Данная замена обусловлена тем, что тригонометрическая окружность расположена в декартовой системе координат, её центр находится в начале координат, а радиус равен единице. В пределах этой окружности на оси абсцисс находятся значения косинусов углов на окружности, а на оси ординат значения синусов этих же углов. Заглавными буквами оси обозначаются для удобства, чтобы не путать их с переменной , которая находится в аргументах тригонометрических функций.

После перехода на новые переменные накладываются два ключевых ограничения, которые вытекают из основного тригонометрического тождества и области значений синуса и косинуса:

1. Ограничение-уравнение: .

2. Ограничение-неравенство: , .

Прямо выразить через и однозначно нельзя, потому что обратные тригонометрические функции дают конкретный угол в своей стандартной области значений.

• Если , то .

• Если , то .

• В общем случае, если известна четверть тригонометрической окружности, в которой находится угол , то его можно выразить комбинацией обратных функций, например: если и (1 четверть), то

.

При решении уравнений, сначала вычисляются все пары , удовлетворяющие алгебраической системе, а затем для каждой пары находятся соответствующие значения с помощью арксинуса или арккосинуса с учётом периодичности.

В Таблице 1 представлены некоторые тригонометрические функции, выраженные через и .

Таблица 1. Выражение тригонометрических функций через алгебраические переменные

Алгоритм решения тригонометрических уравнений

Рассмотрим алгоритм решения тригонометрических уравнений с помощью перехода к алгебраическим функциям:

1. Ввести переменные , .

2. Преобразовать исходное уравнение к виду и составить систему уравнений, добавив уравнение связи:

.

3. Решить систему уравнений относительно и .

4. Для каждой пары определить соответствующие точки на окружности и записать для них общие решения. Некоторые точки можно объединить в одну серию решений, если такое возможно.

Примеры решения тригонометрическихуравнений

Задача №1

Решить уравнение

.

Решение:

Заменим тригонометрические функции на алгебраические:

, .

После замены исходное уравнение примет следующий вид:

.

Составим систему уравнений, добавив уравнение связи:

.

Решим систему уравнений. Подставим переменную вместо во второе уравнение:

;

;

;

.

Таким образом, получаем совокупность двух систем:

.

Вернёмся к тригонометрическим функциям:

.

Каждой системе уравнений соответствует одна серия решений исходного уравнения:

.

Полученные две серии решений можно объединить в одну серию:

.

Ответ: .

Задача №2

Решить уравнение

.

Решение:

Заменим тригонометрические функции на алгебраические:

, .

После замены исходное уравнение примет следующий вид:

.

Составим систему уравнений, добавив уравнение связи:

.

Решим систему уравнений. Преобразуем второе уравнение системы:

.

Заметим, что данная система уравнений является симметрической. Сделаем замену:

, .

После замены система уравнений примет следующий вид:

.

Сложим два уравнения системы и получим квадратное уравнение относительно переменной :

.

Данное уравнение имеет два действительных корня:

.

Поочерёдно подставим оба значения в одно из уравнений системы и получим соответствующие значения переменной :

.

Таким образом, получаем совокупность двух систем:

.

Сделаем обратную замену:

.

Вторая система уравнений совокупности не имеет решений, а первая система уравнений имеет два решения:

.

Вернёмся к тригонометрическим функциям:

.

Каждой системе уравнений соответствует одна серия решений исходного уравнения:

.

Ответ: ; .

Задача №3

Решить уравнение

.

Решение:

В данном уравнении важно учесть ОДЗ, значения синуса и косинуса неотрицательны, следовательно, решения уравнения находятся только в первой координатной четверти. Заменим тригонометрические функции на алгебраические:

, .

После замены исходное уравнение примет следующий вид:

.

Составим систему уравнений, добавив уравнение связи:

.

Решим систему уравнений. Сделаем замену:

, , , .

После замены система уравнений примет следующий вид:

.

Преобразуем второе уравнение системы:

;

.

После замены и преобразований система уравнений по-прежнему является симметрической, поэтому сделаем ещё одну замену:

, .

После замены система уравнений примет следующий вид:

.

Подставим значение во второе уравнение и найдём значения :

;

;

;

;

Данное уравнение имеет два решения при :

.

Перепишем систему в виде совокупности:

.

Сделаем обратную замену:

.

Вторая система уравнений совокупности не имеет решений, а первая система уравнений имеет два решения:

.

Сделаем обратную замену:

;

.

Полученные значения и удовлетворяют ОДЗ. Вернёмся к тригонометрическим функциям:

.

Каждой системе уравнений соответствует одна серия решений исходного уравнения:

.

Ответ: ; .

Задача №4

Решить уравнение

.

Решение:

Заменим тригонометрические функции на алгебраические:

, .

После замены исходное уравнение примет следующий вид:

.

Составим систему уравнений, добавив уравнение связи:

.

Решим систему уравнений. Преобразуем второе уравнение системы:

.

Заметим, что данная система уравнений является симметрической. Сделаем замену:

, .

После замены система уравнений примет следующий вид:

.

Вычтем из второго уравнения системы первое и получим квадратное уравнение относительно переменной :

;

;

.

Данное уравнение имеет два действительных корня:

.

Поочерёдно подставим оба значения в одно из уравнений системы и получим соответствующие значения переменной :

.

Таким образом, получаем совокупность двух систем:

.

Сделаем обратную замену:

.

Вторая система уравнений совокупности не имеет решений, а первая система уравнений имеет два решения:

.

Вернёмся к тригонометрическим функциям:

.

Каждой системе уравнений соответствует одна серия решений исходного уравнения:

.

Ответ: ; .

Графическая визуализация решений тригонометрических уравнений

Метод решений тригонометрических уравнений с помощью перехода к алгебраическим функциям действительно упрощает процесс решения исходного уравнения, в этом также поможет убедиться графическая визуализация решений тригонометрических уравнений, которые были представлены ранее.

Рассмотрим графическое представление решений уравнения из задачи №1, графики тригонометрических и алгебраических функций, а также точки их пересечения, представлены на рисунках 1 и 2 соответственно.

Рисунок 1. Графическая визуализация решений уравнения из задачи №1

В данном случае красный график — функция синуса, а синий график — функция косинуса. Точки пересечения этих графиков являются решениями исходного уравнения.

Рисунок 2. Графическая визуализация решений алгебраического уравнения из задачи №1

Рассмотрим графическое представление решений уравнения из задачи №2, графики тригонометрических и алгебраических функций, а также точки их пересечения, представлены на рисунках 3 и 4 соответственно.

Рисунок 3. Графическая визуализация решений уравнения из задачи №2

Рисунок 4. Графическая визуализация решения алгебраического уравнения из задачи №2

Рассмотрим графическое представление решений уравнения из задачи №3, графики тригонометрических и алгебраических функций, а также точки их пересечения, представлены на рисунках 5 и 6 соответственно

Рисунок 5. Графическая визуализация решений уравнения из задачи №3

Рисунок 6. Графическая визуализация решений алгебраического уравнения из задачи №3

Рассмотрим графическое представление решений уравнения из задачи №4, графики тригонометрических и алгебраических функций, а также точки их пересечения, представлены на рисунках 7 и 8 соответственно.

Рисунок 7. Графическая визуализация решений уравнения из задачи №4

Рисунок 8. Графическая визуализация решений алгебраического уравнения из задачи №4

Заключение

В данной статье рассмотрен метод решения тригонометрических уравнений с помощью перехода от тригонометрических функций к алгебраическим, доказана эффективность применения данного метода в решении некоторых уравнений, которая дополнительно подтверждена графической визуализацией решений.

Список литературы

1. Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. М.: МЦНМО, 2002. – 199 с.

2. Фалин Г. И., Фалин А. И. Тригонометрия на вступительных экзаменах по математике в МГУ. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 327 с.: ил. – (Поступаем в вуз)

3. ЕГЭ Профиль №13 с ответами и решениями. Тригонометрические уравнения. URL: https://math100.ru/prof-ege_2022_12-4/ (дата обращения: 15.01.2026)

Код для цитирования: Скопировать