XVIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2026

1. Способы вычисления производных

Для того, чтобы изучить вывод различных формул для вычисления производных, рассмотрим способы вычисления производных функций:

Способ №1. Использование формулы вычисления производной по определению.

Производная функции в точке — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при его стремлении к нулю:

(1)

Пример:

Вычислить производную функции .

Решение:

Воспользуемся формулой (1) для вычисления производной:

Ответ: .

Способ №2. Использование свойств производных.

Формула производной суммы/разности двух функций:

(2)

Формула производной произведения двух функций:

(3)

Формула производной произведения функции и константы:

(4)

Формула производной частного двух функций:

(5)

Формула производной сложной функции:

(6)

Формула производной обратной функции:

(7)

Способ №3. Использование таблицы производных функций.

Таблица 1. Производные элементарных функций

Способ №4. Логарифмическая производная.

Рассмотрим на отрезке положительную функцию

.

Логарифм этой функции равен

,

а его производная, как сложной функции, имеет вид

.

Следовательно,

. (8)

Формула логарифмической производной (8) применяется в том случае, когда вычисление производной значительно проще, чем вычисление производной .

Способ №5. Производная степенно-показательной функции.

Степенно-показательная функция имеет вид

,

а её логарифм

.

Продифференцировав его, получим

,

то есть

. (9)

Способ №6. Производная неявно заданной функции.

Если функция неявно задана уравнением

,

то её производную можно вычислить по формуле

. (10)

Способ №7. Производная параметрически заданной функции.

Пусть функция параметрически задана уравнениями

,

то есть фактически задана в виде сложной функции

.

Тогда её производная равна

. (11)

2. Вывод формул свойств производных

Все свойства производных можно получить из определения производной, используя формулу (1), но также для получения свойств производных можно использовать другие свойства дифференцирования функций.

Задача №1

Вывести формулу для вычисления производной суммы n функций:

(12)

Решение:

Формула (12) является общим случаем формулы (2), она также справедлива и для разности функций, поскольку вычитание функции является сложением с функцией, умноженной на -1, а производная функции по формуле (5) равна .

Рассмотрим функцию, представляющую собой сумму n функций:

.

Тогда её производную можно вычислить по формуле (1):

Подставим выражение для :

Раскроем скобки и распишем знаменатель дроби отдельно для каждого слагаемого:

.

Каждый предел равен соответствующей производной функции:

.

Отсюда получаем искомое утверждение:

Таким образом, формула (12) доказана:

Задача №2

Вывести формулу производной произведения двух функций:

. (3)

Решение:

Рассмотрим функцию, представляющую собой произведение двух функций:

.

Вычислим её производную двумя способами.

Способ №1. Использование формулы (1).

Воспользуемся формулой (1) для вычисления производной по определению:

Подставим выражение для :

Преобразуем числитель, прибавив и вычтя одно и то же значение :

Вынесем и за скобки:

Запишем пределы отдельно:

После вычисления пределов отдельно получаем искомое утверждение:

.

Способ №2. Геометрический подход.

Интересный способ осмысления формулы производной произведения двух функций основан на наглядной геометрической интерпретации. Рассмотрим прямоугольник с длинами сторон и . Его площадь определяется как произведение длин его сторон:

.

Задача состоит в том, чтобы найти производную площади по переменной . Для этого будем рассматривать малое приращение длины каждой стороны на величину . Если каждая сторона увеличивается на бесконечно малую величину и , площадь изменится следующим образом (Рисунок 1).

Рисунок 1. Исследование приращений сторон прямоугольника

В данном случае прямоугольник делится на четыре части: часть A представляет собой исходную площадь, равную ; части B и C представляют собой дополнительные полосы с площадями и соответственно; часть D является маленьким прямоугольником с площадью , которую можно считать малой величиной и пренебречь ей. Таким образом, приращение площади прямоугольника равно сумме площадей полос B и C:

.

Так как и выражение принимает вид:

.

Разделим обе части уравнения на и перейдём к пределу при :

.

Таким образом, получена формула производной произведения двух функций:

.

Таким образом, формула (3) доказана:

.

Задача №3

Вывести формулу производной произведения трёх функций:

. (13)

Здесь

, , .

Решение:

Рассмотрим функцию, представляющую собой произведение трёх функций:

.

Вычислим её производную двумя способами.

Способ №1. Использование формулы (3).

Применим формулу (3) для вычисления производной произведения двух функций:

.

Пусть , . Тогда функция примет следующий вид:

.

Производная функции равна

,

а производные функций и равны

, .

Подставим полученные значения в исходное уравнение:

.

После раскрытия скобок получаем искомое утверждение:

.

Способ №2. Геометрический подход.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с длиной , шириной и высотой . Объём этого параллелепипеда равен произведению трёх функций:

.

Задача состоит в том, чтобы найти производную объёма по переменной . Рассмотрим малый прирост аргумента . За счёт этого прироста каждая сторона параллелепипеда увеличится на соответствующие значения: приросты длины, ширины и высоты составят , и соответственно. При увеличении размеров параллелепипеда его объём изменится. Но поскольку , и являются бесконечно малыми величинами, изменение объёма приближённо складывается из трёх частей:

1. Объём, соответствующий увеличению длины (фиксируя ширину и высоту):

.

2. Объём, соответствующий увеличению ширины (фиксируя длину и высоту):

.

3. Объём, соответствующий увеличению высоты (фиксируя длину и ширину):

.

Суммарное изменение объёма приблизительно равно:

.

Выразим приращения , и через производные функций:

, , .

Подставим эти выражения в уравнение для :

.

Разделим обе части уравнения на и перейдём к пределу при :

Таким образом, получена формула производной произведения трёх функций:

.

Таким образом, формула (13) доказана:

.

Задача №4

Вывести формулу производной произведения четырёх функций:

(14)

Здесь

, , , .

Решение:

Рассмотрим функцию, представляющую собой произведение четырёх функций:

.

Вычислим её производную двумя способами.

Способ №1. Использование формулы (3)

Применим формулу (3) для вычисления производной произведения двух функций:

.

Представим функцию как произведение двух множителей:

.

Тогда её производную можно представить в следующем виде:

.

Теперь распишем выражения и , снова применяя формулу (3):

, .

Подставим полученные значения в исходное уравнение:

.

После раскрытия скобок получаем искомое утверждение:

.

Способ №2. Использование формул (3) и (13).

В данном случае, помимо формулы (3), которая была использована в предыдущем способе, применим формулу (13) для вычисления производной произведения трёх функций:

.

Представим функцию как произведение двух множителей:

.

Тогда её производную можно представить в следующем виде, используя формулу (3):

.

Теперь распишем выражение , применяя формулу (13):

.

Подставим полученное значение в исходное уравнение:

.

После раскрытия скобок получаем искомое утверждение:

.

Таким образом, формула (14) доказана:

.

В задачах №3 и №4 не использовался способ вычисления производной по определению из-за больших преобразований, а использовались формулы, выведенные в предыдущих задачах. Также в задаче №4 не применялся геометрический подход, поскольку выход в четырёхмерное пространство придаст доказательству ещё более сложные формулировки. В формулах (3), (13) и (14) высматривается закономерность, количество множителей дифференцируемой функции равно количеству слагаемых производной этой функции, причём каждое слагаемое равно произведению производной одной функции и оставшихся функций (одной, двух или трёх в формулах (3), (13) и (14) соответственно). Данная закономерность будет строго доказана в следующей задаче.

Задача №5

Вывести формулу производной произведения n функций:

(15)

Решение:

Рассмотрим функцию, представляющую собой произведение n функций:

.

Тогда её производную можно вычислить по формуле (1):

Подставим выражение для :

Преобразуем разность в числителе таким образом, чтобы выделить каждую функцию отдельно:

Подставим данное разложение в формулу производной:

При переходе к пределу каждое слагаемое принимает вид:

Суммируя по всем индексам получаем итоговую формулу:

Таким образом, формула (15) доказана:

Данная формула позволяет легко находить производную любого количества перемноженных функций, суммируя произведения каждой функции на производные остальных функций.

Задача №6

Вывести формулу производной произведения функции и константы:

. (4)

Решение:

Формула (4) является частным случаем формулы (3).

Рассмотрим функцию, представляющую собой произведение функции и константы:

.

Вычислим её производную двумя способами.

Способ №1. Использование формулы (3).

Применим формулу (3) для вычисления производной произведения двух функций:

.

Вычислим производную функции с учётом того, что производная константы равна нулю:

.

Способ №2. Использование формулы (1).

Применим формулу (1) для вычисления производной функции по определению:

Подставим выражение для :

Вынесем константу за скобки:

По свойству пределов константу можно вынести за знак предела:

Таким образом, формула (4) доказана:

.

Задача №7

Вывести формулу производной частного двух функций:

(5)

Решение:

Рассмотрим функцию, представляющую собой частное двух функций и , где :

Вычислим её производную двумя способами.

Способ №1. Использование формул (3) и (6).

Применим формулу (3) для вычисления производной произведения двух функций:

.

В данном случае эта формула примет следующий вид:

Вычислим отдельно производную функции . Для этого воспользуемся формулой (6) для вычисления производной сложной функции, которая будет строго доказана в следующей задаче:

.

В данном случае эта формула примет следующий вид:

Подставим найденную производную в исходное выражение:

После приведения дробей к общему знаменателю получим искомое утверждение:

Способ №2. Использование формулы (1).

Применим формулу (1) для вычисления производной функции по определению:

Подставим выражение для :

Преобразуем числитель, прибавив и вычтя одно и то же значение:

Вынесем и за скобки:

Запишем пределы отдельно:

Вычислим пределы и получим искомое утверждение:

Таким образом, формула (5) доказана:

Задача №8

Вывести формулу производной сложной функции:

. (6)

Решение:

Рассмотрим сложную функцию :

.

Применим формулу (1) для вычисления производной функции по определению:

Подставим выражение для :

Сделаем замену:

.

Тогда:

.

Подставим выражение для в формулу производной :

Разделим числитель и знаменатель дроби на :

При малых значениях величина также стремится к нулю , поскольку функция непрерывна. Тогда второй множитель является определением производной функции в точке :

Первый множитель представляет собой отношение изменения внутренней функции к изменению независимой переменной :

Перемножая оба результата, получим искомое утверждение:

.

Таким образом, формула (6) доказана:

.

Задача №9

Вывести формулу производной обратной функции:

. (7)

Решение:

Рассмотрим функцию такую, что существует обратная ей функция :

.

Тогда обратная функция определяется выражением:

.

По определению производной имеем:

Аналогично для обратной функции:

Применим формулу (6) для вычисления производной сложной функции к уравнению :

.

Так как , получаем:

.

Отсюда выразим производную обратной функции:

Заменим переменную обратно и получим искомое утверждение:

Таким образом, формула (7) доказана:

3. Вычисление производных некоторых функций

Производные функций можно вычислять с помощью свойств производных, доказательства которых были приведены ранее, а также с помощью Таблицы 1, в которой представлены производные элементарных функций.

Задача №10

Вычислить производную функции , где .

Решение:

Рассмотрим функцию :

.

Вычислим её производную тремя способами:

Способ №1. Логарифмическая производная.

Рассмотрим на отрезке положительную функцию

.

Логарифм этой функции равен

.

Вынесем показатель степени за знак логарифма:

.

Найдём производную обеих частей уравнения:

.

Производную левой части можно вычислить с помощью формулы (6) для вычисления производной сложной функции, а производную правой части с помощью формулы (4):

Выразим :

Таким образом

.

Способ №2. Использование формулы (1).

Применим формулу (1) для вычисления производной функции по определению:

Подставим выражение для :

Раскроем скобки в выражении , для этого используем бином Ньютона:

.

Подставляя это выражение в предел, получаем:

Разделим каждое слагаемое на :

При стремлении к нулю все члены, кроме первого, стремятся к нулю, следовательно,

.

Способ №3. Метод математической индукции.

Найдём производную степенной функции с помощью метода математической индукции. Проверим базу индукции, то есть выполняется ли равенство в случае .

Рассмотрим выражение в случае :

.

Возведение числа в степень равную единице ничего не меняет, поэтому её можно убрать:

.

Из Таблицы 1 производная . Через цепочку равенств мы пришли от выражения к выражению . Следовательно, они равны:

.

Рассмотрим выражение в случае :

.

Умножение на единицу ничего не меняет, поэтому её можно убрать:

.

Так как , то степень обращается в ноль:

.

По определению, возведение любого числа, кроме ноля, в нулевую степень даёт единицу, поэтому

.

Через цепочку равенств мы пришли от выражения к выражению . Следовательно, они равны:

.

Итого установлены два равенства: и . То есть выражения и равны одному и тому же числу, а поэтому они равны между собой:

при .

Итого при гипотетическое тождество выполняется.

Проверим, устанавливается ли равенство выражений и в случае .

Рассмотрим выражение в случае :

.

Из Таблицы 1 производная . Через цепочку равенств мы пришли от выражения к выражению . Следовательно, они равны:

.

Рассмотрим выражение в случае :

.

Так как , то степень станет единицей:

.

Возведение в степень равную единице ничего не меняет, поэтому её можно убрать:

.

Через цепочку равенств мы пришли от выражения к выражению . Следовательно, они равны:

.

Итого установлены два равенства: и . То есть выражения и равны одному и тому же выражению, а поэтому они равны между собой:

при .

Итого при гипотетическое тождество выполняется. База индукции проверена.

Пусть для значения выполняется равенство . Если оно будет выполняться для значения , то равенство будет справедливым для всех .

Подставим в равенство вместо значение :

.

Установим равенство в случае . Подставим это выражение в выражение :

.

Разобьём выражение на произведение двух множителей в степенях:

.

Найдём производную этого выражения по формуле (3):

.

Ранее мы условились, что для справедливо равенство , то есть при значении выполняется равенство . Из этого следует, что:

.

Заметим, что множители и — это степени с одинаковыми основаниями, поэтому при их умножении основание переписывается, а показатели и складываются:

.

С учётом этого следует, что

.

Через цепочку равенств мы пришли от выражения к выражению . Следовательно, они равны:

.

Подставим выражение в выражение :

.

Раскроем скобки:

.

Через цепочку равенств мы пришли от выражения к выражению . Следовательно, они равны:

.

Итого мы установили два равенства: и . То есть выражения и равны одному и тому же выражению, а поэтому они равны между собой:

при .

Таким образом, из справедливости равенства для случая мы смогли доказать равенство для случая . Следовательно, это равенство выполняется для всех натуральных , то есть является тождеством.

Ответ: .

Задача №11

Вычислить производную функции , где и .

Решение:

Рассмотрим функцию :

.

Вычислим её производную двумя способами:

Способ №1. Логарифмическая производная.

Рассмотрим положительную функцию

.

Логарифм этой функции равен

.

Вынесем переменную за знак логарифма:

.

Найдём производную обеих частей уравнения:

.

Производную левой части можно вычислить с помощью формулы (6) для вычисления производной сложной функции, а производную правой части с помощью формулы (4):

Выразим :

.

Таким образом

.

Способ №2. Использование формулы (1).

Применим формулу (1) для вычисления производной функции по определению:

Подставим выражение для :

Преобразуем выражение в числителе:

Поскольку выражение не зависит от , вынесем его за знак предела:

Ответ: .

Примечание: Частным случаем производной показательной функции является производная экспоненты, которая позволяет вывести общую формулу:

.

Задача №12

Вычислить производную функции , где и .

Решение:

Рассмотрим функцию :

.

Вычислим её производную с помощью формулы (1):

Подставим выражение для :

Преобразуем числитель, используя свойство логарифмов:

Введём замену, пусть , тогда и при также . Таким образом, исходный предел примет следующий вид:

Ответ: .

Примечание: Частным случаем производной логарифмической функции является производная натурального логарифма, которая позволяет вывести общую формулу:

Задача №13

Вычислить производную функции .

Решение:

Рассмотрим функцию :

.

Вычислим её производную с помощью формулы (1):

Подставим выражение для :

Распишем по формуле синуса суммы:

Вынесем за скобки:

Разобьём предел на сумму двух пределов:

Вынесем постоянные множители и за знаки пределов:

Известно, что

и .

Подставим эти пределы в формулу производной и получим искомое выражение:

Ответ: .

Примечание 1: Используя аналогичные рассуждения, можно найти производную функции :

.

Примечание 2: Если взять производную функции четыре раза, то получится исходная функция. То же самое правило работает и для функции . Таким образом, периодичность тригонометрических функций наблюдается даже в их дифференцировании.

Задача №14

Вычислить производную функции .

Решение:

Рассмотрим функцию :

.

Вычислим её производную двумя способами:

Способ №1. Использование формулы (5).

Применим формулу (5) для вычисления производной частного двух функций:

По определению тангенса:

Подставим это выражение в формулу (5):

Преобразуем выражение, зная, что и :

Способ №2. Использование формулы (1).

Применим формулу (1) для вычисления производной функции по определению:

Подставим выражение для :

Воспользуемся формулой тангенса суммы:

Подставим в предел:

Приведём выражение в числителе к общему знаменателю:

Вынесем постоянный множитель за знак предела:

Представим предел как произведение двух пределов:

Вычислим пределы отдельно:

Таким образом, исходный предел:

Подставим значение этого предела в выражение для :

Ответ: .

Примечание 1: Используя аналогичные рассуждения, можно найти производную функции :

Примечание 2: Производную функции можно также вычислить с помощью формулы (6), зная производную функции :

Задача №15

Вычислить производную функции .

Решение:

Рассмотрим функцию :

.

Вычислим её производную двумя способами:

Способ №1. Использование формулы (6).

Применим формулу (6) для вычисления производной сложной функции:

.

Представим функцию в виде сложной функции:

.

Вычислим производную функции :

Способ №2. Использование формулы (1).

Применим формулу (1) для вычисления производной функции по определению:

Подставим выражение для :

Умножим числитель и знаменатель дроби на :

Раскроем скобки в числителе:

Преобразуем числитель:

Вынесем в числителе за скобки и вычислим предел:

Ответ: .

Задача №16

Вычислить производную функции .

Решение:

Рассмотрим функцию :

.

Вычислим её производную тремя способами:

Способ №1. Использование формулы (7).

Применим формулу (7) для вычисления производной обратной функции:

Выразим через :

.

Найдём производную :

Выразим через :

Поскольку мы находим производную по переменной , избавимся от переменной в правой части уравнения, для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

.

В данном случае перед корнем стоит знак +, поскольку функция принимает значения на промежутке . Теперь вместо можно подставить , после подстановки получаем искомое выражение:

.

Способ №2. Использование формулы (6).

Применим формулу (6) для вычисления производной сложной функции:

.

Руководствуясь тем, что синус и арксинус — взаимно-обратные функции, запишем следующее уравнение:

.

Найдём производную обеих частей уравнения по переменной :

Для вычисления производной левой части уравнения воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Выразим через , используя основное тригонометрическое тождество:

.

В данном случае перед корнем ставится знак +, поскольку функция принимает значения на промежутке . Функция в данном уравнении является независимой переменной, поэтому её можно для наглядности заменить другой буквой. Пусть , тогда:

.

Таким образом, производная арксинуса найдена.

Способ №3. Использование формулы (1).

Применим формулу (1) для вычисления производной функции по определению:

Подставим выражение для :

Пусть

;

.

Тогда:

;

.

Предел принимает вид:

Из определений и :

.

Воспользуемся формулой разности синусов:

Тогда:

Предел принимает вид:

Разделим числитель и знаменатель на 2:

При :

• (так как );

• .

Используя первый замечательный предел, получаем:

.

Также при :

.

Подставим найденные пределы:

.

Из основного тригонометрического тождества:

.

В данном случае перед корнем ставится знак +, поскольку .

Таким образом:

.

Ответ: .

Примечание: Используя аналогичные рассуждения, можно найти производную функции :

.

Задача №17

Вычислить производную функции .

Решение:

Рассмотрим функцию :

.

Вычислим её производную тремя способами.

Способ №1. Использование формулы (7).

Применим формулу (7) для вычисления производной обратной функции:

Выразим через :

.

Найдём производную :

Выразим через :

Поскольку мы находим производную по переменной , избавимся от переменной в правой части уравнения, для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

.

Теперь вместо можно подставить , после подстановки получаем искомое выражение:

.

Способ №2. Использование формулы (6).

Применим формулу (6) для вычисления производной сложной функции:

.

Руководствуясь тем, что тангенс и арктангенс — взаимно-обратные функции, запишем следующее уравнение:

.

Найдём производную обеих частей уравнения по переменной :

Для вычисления производной левой части уравнения воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Выразим через , используя основное тригонометрическое тождество:

Пусть , тогда:

Таким образом, производная арктангенса найдена.

Способ №3. Использование формулы (1)

Применим формулу (1) для вычисления производной функции по определению:

Подставим выражение для :

Воспользуемся формулой разности арктангенсов:

,

при условии

.

Применим её к числителю:

.

Теперь предел принимает вид:

.

Сделаем замену переменной. Пусть

.

Тогда при имеем , и . Подставим в предел:

Заметим, что при слагаемое , поэтому:

.

Таким образом:

.

При , следовательно,

.

Ответ: .

Примечание: Используя аналогичные рассуждения, можно найти производную функции :

Заключение

В данной статье рассматривались различные способы вычисления производных функций, среди них были традиционные способы, например, использование определения производной и использование свойств дифференцирования, которые также были доказаны отдельно, и нетрадиционные подходы, такие, как геометрический и метод математической индукции. Для большинства элементарных функций и свойств рассматривались разные методы вычисления их производных, которые привели к одним и тем же результатам, что подтверждает достоверность этих методов. В данной статье не рассматривались производные гиперболических и обратных гиперболических функций, поскольку дифференцирование таких функций имеет большую схожесть с дифференцированием тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Список литературы

1. Абрамян А. В. Непрерывная математика: теория и практика: предел последовательности и предел функции, непрерывные и дифференцируемые функции: учебник. Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону; Таганрог: Южный федеральный университет, 2018. – 254 с.

2. Шведенко С. В. Начала математического анализа (Числа и множества чисел. Последовательности и их пределы. Пределы и непрерывность функций. Дифференциальное исчисление функций одной переменной): Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 324с.

3. Производная и ее применение в математике с примерами и образцами решения и выполнения. URL: https://zubrila.net/proizvodnaya/ (дата обращения 17.11.2025).

Код для цитирования: Скопировать