XVIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2026
Применение механических колебаний в определении моментов инерции различных тел
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1. Нахождение момента инерции твёрдых тел с использованием крутильных колебаний
Научно-экспериментальная методология определения инерционных характеристик твердотельных объектов посредством торсионных осцилляций представляет собой комплексный исследовательский подход, имеющий принципиальное значение для физико-механических изысканий. Торсионными осцилляциями принято считать динамические перемещения системы, характеризующиеся деформационными процессами кручения, при которых формируется крутильная нагрузка, индуцирующая упруго-колебательные трансформации исследуемого объекта.
Для проведения научного анализа динамических параметров предлагается экспериментальная конфигурация, включающая пространственную рамку, геометрический куб и соединительные проводники, где исследуемый куб фиксируется относительно пространственных координатных осей, с приоритетным выбором диагональной оси AC' и дополнительным рассмотрением осей OZ, OX и прочих пространственных направлений (Рисунок 1).
Рисунок 1. Система для изучения момента инерции твердого тела, состоящая из рамки, куба и проволок
Основное уравнение, описывающее динамику вращательного движения, может быть записано в следующем виде:
,
где представляет собой суммарный момент всех сил, воздействующих на рассматриваемую систему. Применяя соотношение
,
которое описывает момент упругих сил, можно вывести уравнение движения системы:
.
В этом уравнении обозначает момент инерции рамки относительно её оси, тогда как представляет собой момент инерции куба, который закреплён по диагонали , относительно оси рамки; — угол поворота рамки; и — коэффициенты возвращающего момента первой и второй проволок:
,
где G — модуль сдвига, L — длина проволоки, а r — радиус проволоки. Суммарный момент инерции всей системы определяется как сумма моментов инерции её составляющих тел:
.
Исходя из уравнения движения системы, можно вывести формулу, позволяющую вычислить период крутильных колебаний относительно оси :
.
Периоды колебаний системы относительно осей OX, OY и OZ согласно рис. 1 можно найти аналогичным образом:
.
В общем случае из формулы периода крутильных колебаний можно получить момент инерции :
,
откуда
,
где — период колебаний пустой рамки.
Аналогично можно найти , , :
= , = , = .
2. Нахождение момента инерции махового колеса с помощью колебаний
Научно-экспериментальное исследование зависимости момента инерции от параметров колебательной системы предполагает использование специализированной установки, состоящей из ряда взаимосвязанных элементов: опорной платформы, металлического ротационного элемента, кинематически организованного таким образом, что геометрический центр масс совпадает с осью вращательного движения, а также дополнительного массивного элемента, присоединенного к периферийной окружности вращающегося объекта. При выведении системы из состояния статического равновесия, что визуализировано на графической иллюстрации (Рисунок 2), наблюдается динамический процесс колебательного характера, который при незначительных угловых отклонениях может быть интерпретирован как гармоническое движение с присущими ему математическими закономерностями.
Рисунок 2. Маховое колесо на подставке с дополнительным грузом
Механическая система, отклоняясь от исходного, статически устойчивого положения, характеризуется потенциальной энергией, которая математически выражается как произведение совокупности параметров: массы исследуемого объекта, гравитационной константы и вертикального смещения относительно начальной точки отсчета, что представлено следующим аналитическим выражением:
.
В динамическом процессе перемещения к положению равновесия, при условии минимизации энергетических потерь, обусловленных трением и сопротивлением среды, происходит полная трансформация потенциальной энергии в кинетическую, что описывается комплексной физико-математической моделью энергетических превращений в замкнутой механической системе:
,
где представляет собой момент инерции колеса относительно оси вращения О; обозначает максимальную угловую скорость, достигаемую системой в момент пересечения положения равновесия.
Согласно закону сохранения энергии
.
На рис. 2 представлено, что высота может быть выражена через расстояние между осями колеса и груза, а также через угол отклонения :
.
Для малых углов можно считать . Тогда из этого следует, что
и .
При гармонических колебаниях угловая скорость вычисляется по формуле
,
а при
.
Скорость достигает своего максимального значения в тот момент, когда , следовательно
.
Если в уравнение, полученное на основании закона сохранения энергии, подставить выведенные ранее значения и , то можно получить формулу для вычисления периода колебаний:
.
Используя теорему Штейнера и учитывая, что момент инерции системы равен сумме момента инерции колеса и момента инерции дополнительного груза, получим:
,
где — масса груза, — радиус груза (дополнительный груз имеет форму цилиндра)
Полученное уравнение можно записать в следующем виде:
.
Отсюда для момента инерции колеса получаем расчётную формулу
.
3. Нахождение момента инерции тела с помощью трифилярного подвеса
Комплексная научно-экспериментальная установка, представляющая собой трифилярный подвес, демонстрирует сложную динамическую систему с пространственно-геометрическими характеристиками, где диск радиусом R и массой m, закрепленный посредством трех симметрично расположенных нитей длиной L, фиксируется относительно неподвижного диска меньшего радиуса r, причем (Рисунок 3а).
При незначительном угловом смещении нижнего диска относительно верхнего, когда угол отклонения приближается к 10°, наблюдается существенная пространственная трансформация положения несущих нитей, сопровождающаяся вертикальным перемещением центра тяжести, которое характеризуется дифференциальной величиной , определяемой разностью высотных значений и .
Описанная кинематическая конфигурация, обладающая сложной геометрией взаимосвязей между элементами подвеса, демонстрирует нелинейную зависимость пространственных перемещений, где незначительные угловые отклонения приводят к существенным изменениям в топологии системы, что визуально представлено на рисунке 3б.
Рисунок 3. Трифилярный подвес
Научно-физическое описание механических колебаний диска при отсутствии диссипативных воздействий характеризуется циклическим преобразованием потенциальной и кинетической энергий, что демонстрирует фундаментальные принципы энергетического обмена в механических системах. При освобождении диска от начального положения наблюдается гармонический характер крутильных осцилляций, где энергетические трансформации происходят непрерывно и симметрично, причем максимальные значения потенциальной энергии сменяются полным переходом в кинетическую при прохождении точки равновесия. Математическое моделирование динамических процессов, характеризующихся пренебрежением фрикционными явлениями, целесообразно представить посредством следующей формализованной зависимости, учитывающей ключевые параметры механической системы:
,
где фигурируют такие значимые величины, как момент инерции диска ( ), максимальная высота перемещения центра тяжести ( ) при отклонении от исходного положения равновесия, а также максимальная угловая скорость в критический момент прохождения диском нейтральной позиции ( ).
Крутильные гармонические осцилляции, подчиняющиеся определенной математической закономерности, характеризуются функциональной зависимостью углового отклонения от положения равновесия, которая может быть описана тригонометрической функцией:
,
где представляет амплитудное значение колебательного процесса, а — период полного цикла колебаний.
Угловая скорость диска рассчитывается по формуле
,
где — амплитуда угловой скорости.
Рассчитаем высоту :
.
С учётом того, что можно считать . Тогда
.
По рис. 3 видно, что
,
.
Из этого следует, что
.
Поскольку угол мал, то
,
и тогда
.
При подстановке параметров и в уравнение закона сохранения механической энергии, в критический момент прохождения диском положения равновесия, формируется математическая зависимость:
,
и из этого уравнения следует
,
где — коэффициент пропорциональности, зависящий от параметров , и :
.
Принципиальная особенность представленной модели заключается в линейной зависимости момента инерции от массы подвеса, что математически описывается функцией , где J представляет собой момент инерции нагруженного подвеса, m — суммарную массу системы, а T — период крутильных гармонических колебаний. Такой подход к анализу трифилярного подвеса демонстрирует высокую информативность при изучении динамических характеристик механических систем с переменными параметрами.
Определение момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести, требует точного экспериментального подхода с использованием специально подготовленной установки и эталонных грузов. Методика исследования предполагает создание прецизионного измерительного стенда с многоуровневой системой концентрических окружностей на диске подвеса .
Ключевая особенность методики заключается в стратегическом размещении эталонных грузов на различных радиальных траекториях. Диск оснащается концентрическими окружностями с радиусами , каждая из которых содержит серию равномерно распределенных отверстий. Симметричное позиционирование контрольных масс на определенном радиусе позволяет получить математическую модель для прецизионного расчета момента инерции:
,
в которой интегрирует несколько ключевых параметров: — момент инерции базового недеформированного диска, - количественная характеристика цилиндрических грузов, — массовые характеристики груза, — радиальные параметры, причем составляющая отражает момент инерции каждого груза относительно осевой системы координат в соответствии с теоремой Штейнера.
Заключение
В данной статье подробно рассмотрены примеры использования механических колебаний для определения моментов инерции различных тел. Также выведены расчетные формулы, позволяющие находить моменты инерции для разных установок.
Список литературы
1. Определение момента инерции махового колеса методом колебаний. URL: http://www.unn.ru/books/met_files/Ovsetsina_metod_kolebanii.pdf (дата обращения 11.07.2024)
2. Определение момента инерции твердых тел методом крутильных колебаний (унифилярный подвес). URL: https://miem.hse.ru/data/2016/08/19/1118738494/%D0%9B%D0%A0%20%E2%84%96%208.pdf (дата обращения 11.07.2024)
3. Определение момента инерции и проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний. URL: http://yumsh.ru/phsc533/alt-pend.pdf (дата обращения 11.07.2024)