XVIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2026

Введение. Математическое моделирование геометрических форм является одной из базовых задач компьютерной графики, лежащей в основное создания визуального контента для кинематографа, видеоигр, САПР(систем автоматизированного проектирования) и научной визуализации[1][7]. Качество и реалистичность итогового изображения или трёхмерной модели напрямую зависят от точности математического аппарата, используемого для описания кривых линий и поверхностей.

Исторически первой попыткой решения задачи точного проведения линии через набор точек стала полиномиальная интерполяция. Однако использование интерполяционных многочленов высокой степени приводит к сильным неконтролируемым осцилляциям(явление Рунге), что делает данный метод непригодным для задач плавного моделирования форм в графике [1][2]. Это порождает фундаментальную проблему необходимости разработки таких математических моделей, которые бы обеспечивали визуальную гладкость, локальный контроль форм, вычислительную эффективность и возможность точного представления широкого класса кривых, включая конические сечения.

Актуальность решения этой проблемы обусловлена непрерывным ростом требований к детализации, реализму и интерактивности в цифровом производстве, что определяет необходимость глубокого анализа и синтеза существующих подходов.

Цель исследования. На основе анализа источников разобраться, как разные типы параметрических кривых стали основой для моделирования в компьютерной графике, также сравнить их и показать, почему каждый из них важен.

Материал и методы исследования. Основу исследования составил анализ ключевых научных источников, посвящённых математическим основам моделирования кривых. В работе использовались специализированные публикации, учебные пособия и технические спецификации, охватывающие теорию интерполяции, сплайнов, кривых Безье, В-сплайнов и NURBS[1-6]. Главным методом стал систематический аналитический обзор, позволивший проследить развитие математических моделей и выявить причинно-следственные связи между их совершенствованием и практическими потребностями компьютерной графики. Для решения поставленных задач применялся метод сравнительного анализа, который дал возможность оценить каждый класс кривых по единым критериям: гладкость результата, уровень локального контроля, скорость вычислений и универсальность. Это позволило сформировать целостное представление о роли параметрических кривых в графическом моделировании.

Результаты исследования и их обсуждение. Моделирование кривых в компьютерной графике основано на параметрическом способе их задания. В отличие от привычного графика функции, где координата У вычисляется напрямую от ,параметрическая кривая описывает обе координаты X и Y как функции от третьего, независимого параметра. Этот параметр(часто обозначаемый t) можно представить как «время» движения точки вдоль кривой или как нормальную длину пути[1].

Формула 1 - запись кривой в параметрической форме.

Формула 2 - формула 1 в более компактной векторной форме.

Основное преимущество такого подхода - универсальность. Параметрическая форма позволяет легко описывать замкнутые контуры(например, окружность), кривые с вертикальными касательными и сложные траектории, которые невозможно задать одной функцией y(x).

Для управления формой этой траектории используется концепция контрольных точек. Вместе того чтобы кривая проходила через все заданные точки(интерполяция), она строится как взвешенная сумма влияния контрольных точек. Каждая точка «притягивает» к себе кривую с силой, которая меняется в зависимости от параметра t. Эта «сила притяжения» задаётся базисной функцией, уникальной для каждой контрольной точки.

где  - контрольные точки, а - соответствующие им базисные функции[2].

Формула 3 - взвешенная сумма контрольных точек.

Именно выбор разных семейств базисных функций порождает различные типы кривых со своими свойствами. Например, базисные функции кривых Безье(полиномы Бернштейна) обеспечивают гладкий переход и интуитивный контроль, но заставляют кривую реагировать на изменение лишь часть кривой, оставляя остальные участки нетронутыми. Эта математическая модель, где форма управляется комбинацией контрольных точек и базисных функций, является универсальным языком описания кривых в современных графических системах.

Кривые Безье представляют собой наиболее распространённый и визуально интуитивный класс параметрических кривых, широко применяемый в компьютерной графике. Данная модель определяет гладкую кривую с помощью набора контрольных точек, при этом лишь первая и последняя точка гарантированно лежат на самой кривой. Промежуточные точки формируют управляющий полигон, который «натягивает» на себя кривую, определяя её форму [3][2]. Формальное определение кривой Безье степени n(где t изменяется от 0 до 1) вычисляется по формуле:

где суммирование ведётся от i=0 до n, а – биномиальные коэффициенты[3][2].

Формула 4 - кривая Безье степени n;

На практике наибольшее применение нашли кубические кривые Безье (n=3), определяемые четырьмя контрольными точками, что обеспечивает достаточную гибкость при сохранении простоты управления. Кривые Безье обладают набором фундаментальных свойств, которые обусловили их популярность. Во-первых, кривая всегда начинается в первой контрольной точке и заканчивается в последней точке . Во-вторых, вся кривая лежит внутри выпуклой оболочки, образованной своими контрольными точками, что обеспечивает предсказуемость её форм. В-третьих, касательные векторы в начальной и конечной тачках совпадают с первым и последним отрезком контрольного полигона соответственно, то есть направление кривой на концах легко контролируется[3][2]. Важным аспектом является также глобальный характер влияния контрольных точек: изменение положения любой из них приводит к модификации всей кривой, хотя степень этого влияния максимальна в окрестности перемещаемой точки. Для эффективного и геометрически наглядного вычисления точек на кривой Безье используется алгоритм де Кастельжо. Этот алгоритм основан на рекурсивной линейной интерполяции между контрольными точками. Процесс начинается с исходного набора точек. Для заданного значения параметра t на каждом отрезке между текущими точками находится точка, делящая этот отрезок в пропорции t:(1-t). Эти новые точки образуют полигон на один порядок меньше. Процедура повторяется до тех пор, пока не будет получена единственная точка, которая и является искомой точкой P(t) на кривой Безье[2]. Данный метод не только обеспечивает устойчивое вычисление, но и имеет простую графическую интерпретацию, что способствует глубокому пониманию природы кривых Безье. На практике кривые Безье стали основой векторной компьютерной графики. Они лежат в основе описания контуров в таких стандартах, как: PostScript, PDF и SVG. Практически все современные шрифты используют кривые Безье для определения глифов. В графических редакторах, таких как: AdobeIllustrator или CorelDRAW, инструмент «Перо» реализует именно принцип построения и редактирования кубических кривых Безье, позволяя дизайнерам создавать плавные и сложные формы. Благодаря сочетанию математической элегантности, вычислительной эффективности и интуитивной ясности, кривые Безье остаются одним из краеугольных камней в инструментарии компьютерного дизайна.

В-сплайны(базисные сплайны) представляют собой следующую ступень эволюции параметрических кривых, созданную для преодоления ключевых ограничений модели Безье. Если кривая Безье реагирует на изменение любой контрольной точки изменением всей своей формы, то В-сплайны обеспечивают локальность контроля, позволяя редактировать отдельные участки сложной кривой, не затрагивая остальные её части [5][2][6]. Основное отличие заключено в математическом аппарате. В дополнение к массиву контрольных точек, В-сплайн задаётся узловым вектором:

Формула 5 - разбиение области определения параметра.

Это неубывающая последовательность значений параметра t, которая определяет, как базисные функции «сшиваются» между собой и на каких интервалах они активны. Степень сплайна p(порядок = p+1) задаётся независимо от количества контрольных точек n+1, причём между этими параметрами существует соотношение: m = n + p + 1 [4][2]. Базисные функции строятся рекурсивно с использованием формулы Кокса –

де Бура:

Формула 6 - базовый случай рекурсии(p=0).

Формула 7 - рекурсивный шаг(p>0)[][2].

Критически важным следствием такого построения является свойство локального носителя. Каждая базисная функция отлична от нуля только на интервале . Следовательно, контрольная точка влияет на форму кривой исключительно в пределах этого интервала, который охватывает не более p+1 отрезков кривой [5][2]. Это обеспечивает искомы локальный контроль. К другим ключевым преимуществам В-сплайнов относятся. Первое, независимость степени: степень p можно выбирать низкой для обеспечения гладкости, даже при работе с очень большим количеством контрольных точек, что предотвращает нежелательные осцилляции. Второе, гибкость управления гладкостью: кратность значений в узловом векторе позволяет напрямую управлять непрерывность кривой в определённых точках[2]. Третье, обобщение: кривые Безье являются частным случаем В-сплайна, когда узловой вектор имеет специальную форму(кратные узлы на концах)[5]. Таким образом,

В-сплайны, сохраняя все положительные свойства кривых Безье, устраняют их основной недостаток - глобальность изменений. Это делает их мощным и гибким инструментом для моделирования сложных контуров в САПР и трёхмерной анимации, где требуется точное и детализированное управление формой.

NURBS (Non-UniformRationalB-Splines), или неоднородные рациональные В-сплайны, представляют собой завершающее звено в эволюции кривых для компьютерного моделирования. Они объединили гибкость

В-сплайнов со способностью к точному описанию широкого класса форм, недоступной полиномиальным моделям [2]. Математически NURBS являются рациональным обобщением В-сплайнов, где к набору контрольных точек, узловому вектору и степени добавляется массив положительных весов . Кривая определяется как взвешенная комбинация:

Формула 8 - NURBS-кривая с весами[2].

Введение весов придаёт модели принципиально новые свойства. Первое и наиболее наглядное - это геометрическая интерпретация веса как «силы притяжения» контрольной точки. Увеличение веса заставляет кривую сильнее стремиться к соответствующей точке, что даёт дизайнеру дополнительный, более тонкий параметр для управления формой. Из этого ключевого свойства вытекает второе, фундаментальное преимущество - способность к точному параметрическому представлению конических сечений(окружностей, эллипсов, парабол). Именно наличие весов позволяет точно смоделировать эти формы, что является критическим требованием в инженерном проектировании и было невозможно для обычных В-сплайнов или кривых Безье[2]. Третьим важным следствием рациональной формы является инвариантность NURBS к проективным преобразованиям. Это означает, что кривая остаётся NURBS того же типа не только при аффинных преобразованиях(перенос, поворот, масштабирование), но и при проективных искажениях(перспектива), что существенно упрощает работу в системах трёхмерного моделирования и визуализации. Благодаря сочетанию локального контроля В-сплайнов, независимости степени и уникальной способности точно моделировать как свободные формы, так и аналитические примитивы, NURBS стали отраслевым стандартом. Они составляют математическую основу современных систем автоматизированного проектирования (AutoCAD, SolidWorks, CATIA) и являются предпочтительным форматом для обмена геометрическими данными(IGES, STEP), что окончательно закрепляет за ними рол универсального инструментария в компьютерной графике и инженерном анализе[1].

Выводы. Таким образом, развитие математических моделей кривых прошло путь от неустойчивых интерполяционных полиномов к локально управляемым и универсальным параметрическим представлениям. Обобщая всё выше сказанное, кривые Безье утвердились как стандарт интуитивного дизайна в векторной графике благодаря своей простоте и наглядности. В-сплайны, в свою очередь, решили проблему глобальности изменений, обеспечив необходимый локальный контроль для сложного моделирования. Из этого следует, что NURBS, объединив локальность и точное задание конических сечений, стали фундаментом профессиональных САПР систем. Следовательно, параметрический подход на основе контрольных точек и базисных функций сформировал универсальный язык описания формы в компьютерной графике. В результате, перспективы исследований логично связаны с интеграцией этих моделей в изогеометрический анализ, разработкой адаптивных алгоритмов и применением методом глубокого обучения. Очевидно, что параметрические кривые сохранят роль фундаментального каркаса для моделирования, отвечая на новые вызовы вычислительной геометрии.

Литература:

1. Сплайны в 3d графике, максимально автоматизированный вариант // harb.com URL 2019 https://harb.com/ru/articles/473790 (дата обращения 01.12.2025);

2. Р.Р.Нигматуллин Компьютерная графика: Казань, 2019. 52 с.;

3. Кривая Безье // ru.ruwiki.ruURL 2025https://ru.ruwiki.ru/wiki/Кривая_Безье(дата обращения 01.12.2025);

4. Сплайн // ru.ruwiki.ru URL 2025https://ru.ruwiki.ru/wiki/Сплайн#Литература(дата обращения 01.12.2025);

5. Разница между сплайнами, В-сплайнами и кривыми Безье // geeksforgeeks.org URL 2025 https://www.geeksforgeeks.org/engineering-mathematics/difference-between-spline-b-spline-and-bezier-curves/(дата обращения 11.12.2025);

6. Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксимации // dslib.net URL 2003 http://www.dslib.net/vychislit-mat/teorija-i-algoritmy-variacionnoj-splajn-approksimacii.html(дата обращения 11.12.2025);

7. Трусова И.С., Гурина В.М. Технологии web-приложений и приложений для мобильных платформ // Современные проблемы геометрического моделирования и информационные технологии 2024; URL https://elibrary.ru/item.asp?id=73805836&pff=1 (дата обращения: 14.12.2025).