XVIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2026

Введение. Инерциальная навигация необходима для автономного определения положения, ориентации и скорости движущегося объекта, главным образом используя данные, полученные от инерциальных датчиков. Её уникальность и практическая ценность заключаются в независимости от внешних сигналов, что делает такие системы незаменимыми в условиях, где недоступны, нестабильны или подавлены спутниковые и иные сигналы. Это определяет их важную роль в аэрокосмической отрасли, навигации подводных аппаратов, высокоточном вооружении и беспилотных технологиях.

Ключевым математическим аппаратом, лежащим в основе функционирования инерциальных систем навигации, является операция интегрирования. Именно интегрирование данных акселерометров и данных гироскопов позволяют осуществить переход от измеряемых величин (ускорений и угловых скоростей) к координатам, скорости и углам ориентации. Поэтому инерциальные системы навигации являются практически значимым примером применения интегрального исчисления в решении сложных прикладных задач.

В данной статье рассмотрены базовые принципы функционирования инерциальных систем навигации включая примерный математический алгоритм навигационного расчёта.

Анализ последних исследований и публикаций. Анализ показал, что данная тема является актуальной. Например, в статье [1] сказано, что инерциальные системы навигации применимы в космонавтике, геодезии, управлении морскими и воздушными судами с целью обеспечения полной автономности. А в статье [2] говорится об инерциальной системе навигации как об одном из способов ориентации смартфона в пространстве без сигнала GPS наряду с определением положения через беспроводные сети и с использованием сотовой инфраструктуры.

Существует много публикаций и книг, посвящённых описанию инерциальной системы навигации с математической точки зрения, однако некоторая часть их информации устарела. Например, в учебном пособии «Инерциальные навигационные системы» [3, с. 8-9] используется референц-эллипсоид Ф.Н. Красовского, на данный момент признанный устаревшим, когда сейчас, согласно Постановлению Правительства Российской Федерации от 24.11.2016 г. № 1240, принято использовать системы координат ПЗ-90.11 или ГСК-2011, в которых параметры референц-эллипсоидов отличаются.

А в статьях [4] и [5] исследуются возможности уменьшить накапливающиеся со временем ошибки нахождения позиции объекта в инерциальных навигационных системах путём внедрения искусственного интеллекта или же структурной избыточности (т.е. наличия избыточного числа датчиков) соответственно.

Цель исследования.Ознакомить читателя с основными принципами инерциальных систем навигации, на примере инерциальной навигации продемонстрировать, как операции интегрирования помогают определить координаты и ориентацию объекта без внешних источников данных.

Методы исследования. Для рассмотрения данной темы использовался теоретический анализ научной литературы, а также анализ различных подходов к коррекции ошибок. Кроме того, были рассмотрены примеры отраслей, где на практике применяются инерциальные системы навигации.

Результаты исследования и их обсуждение. Процесс получения координат инерциальной системой навигации может быть условно разделён на следующие части: измерение, компенсация гравитации и преобразование координат, интегрирование, коррекция ошибок.

Согласно учебному пособию [3, с. 7], при компенсации гравитации используется основное уравнение инерциальной навигации:

,

где – кажущееся ускорение, измеряемое акселерометром; – абсолютное ускорение; – гравитационное ускорение.

Далее выполняется преобразование координат вектора кажущегося ускорения в геоцентрическую систему координат. Азимут можно получить либо с помощью магнитометра, либо зная начальную ориентацию объекта. Когда, согласно [3], в каждой точке геоида нормаль к его поверхности совпадает с направлением силы тяжести, т.е. с равнодействующей сил тяготения и центробежной силы от вращения Земли. Переход между системами координат необходим для точной навигации на больших расстояниях или в глобальном масштабе, чтобы учитывать, что Земля является не плоскостью или же идеальной сферой, а эллипсоидом вращения, параметры которого, во избежание возможных ошибок, следует брать с современных систем координат (согласно Постановлению Правительства Российской Федерации от 24.11.2016 г. № 1240, в России приняты ГСК-2011, эллипсоид которого имеет большую полуось 6378136,5 м и сжатие 1/298,2564151, и ПЗ-90.11, эллипсоид которого имеет большую полуось 6378136 м и сжатие 1/298,25784).

Поскольку акселерометр измеряет ускорение, а необходимо вычислить координату объекта, применяется двойное интегрирование вектора ускорения с учётом начальной скорости и начального положения объекта. Для нахождения вектора скорости используется следующая формула:

где – вектор скорости, – начальная скорость, – время.

Далее выполняется нахождение вектора перемещения относительно начального положения. Согласно учебному пособию [3, с. 4]:

После чего, зная исходные координаты объекта, можно вычислить текущее его положение. Параллельно с этим происходит интегрирование угловых скоростей для обновления данных об ориентации объекта с учётом наличия вращения Земли.

Поскольку входные данные от акселерометра дискретны, то при вычислении интегралов следует использовать, например, метод прямоугольников, или метод трапеций, или же более ресурсоёмкие методы, как метод Адамса, метод Рунге-Кутты или же формулу Симпсона.

После чего возможна коррекция ошибок измерения углового ускорения с помощью данных магнитометра и фильтра Калмана. Согласно статье [6], при наличии барометра или сигнала спутниковой навигационной системы возможна коррекция ошибок с помощью фильтра Калмана и для найденных координат, учитывая доверительные интервалы (матрицы ковариации). Кроме этого, если ИНС будет использоваться на дорогах, можно рассмотреть подход навигатора Etak, который, согласно статье [7], осуществлял коррекцию ошибок из расчёта на то, что машины обычно ездят по дорогах.

Рисунок 1 [8, с. 21] – системы координат: геоцентрические прямоугольные ( ), криволинейные ( и ), горизонтальные сопровождающие ( ).

Далее последует конвертация координат с геоцентрической прямоугольной системы в криволинейную систему, координаты которых, согласно книге [8, с. 21], связаны следующими формулами:

где , и – геоцентрические координаты, – радиус от центра земли до объекта, и – долгота и широта соответственно.

Следует заметить, что интегрирование дискретных данных датчиков является основой инерциальных навигационных систем. Не стоит забывать, что в процессе интегрирования со временем погрешности датчиков накапливаются и усиливаются, таким образом без коррекции ошибок точность со временем уменьшается. Этот недостаток напрямую следует из интегрирования, т.к. во время него суммируется не только полезный сигнал, но и погрешности. А использование двойного интеграла при вычислении вектора перемещения ещё больше усугубляет погрешности при использовании измерений ускорения.

Для количественной оценки погрешностей ИНС в зависимости от времени рассмотрим математические модели роста погрешностей, которые вытекают с использования интегрирования. Постоянное смещение акселерометра вызывает ошибку в скорости (рост линеен), которая, в свою очередь, приводит к ошибке нахождения вектора перемещения (рост квадратичен). Также возможна ошибка нахождения угла ориентации (её рост линеен), которая далее может наслаиваться при определении вектора скорости и вектора перемещения в геоцентрической системе из-за неправильного преобразования координат в геоцентрическую систему.

Рост ошибки определения позиции со временем в ИНС приводит к тому, что полностью автономная работа ИНС ограничена по точности и по времени, что является стимулом для комбинирования инерциальных систем навигации с иными системами навигации, например ГНСС, или же использования различных методов для минимизации погрешностей.

Ошибки определения положения при работе ИНС можно уменьшить с помощью применения фильтра Калмана, метода наименьших квадратов [6], коррекции от высотомера, допплеровского измерителя скорости (или от лага), астрономической коррекции [8], коррекции по картах дорог по аналогии с навигатором Etak [7], структурной избыточности ИНС [5], коррекции с помощью ИИ [4], коррекции с помощью совмещения данных ИНС с данными спутниковых систем навигации, коррекции по магнитометру, коррекции по сотовым вышкам или беспроводным сетям и т.д.

Алгоритмы, такие как фильтр Калмана, выполняют роль обратной связи: они не «исправляют» прошлое интегрирование, а постоянно переоценивают текущее состояние системы, используя данные от внешних источников. Таким образом коррекция периодически «сбрасывает» накопленную погрешность, обеспечивая долгосрочную точность инерциальной системы навигации.

Современное развитие ИНС связано с прогрессом в области вычислительных технологий и алгоритмов. Как отмечается в смежных исследованиях, «технологии разработки […] способствуют цифровой трансформации, повышают производительность и эффективность работы компаний, а также помогают им адаптироваться к меняющимся требованиям рынка» [9]. Этот принцип в полной мере применим к эволюции инерциальной навигации, где внедрение сложных алгоритмов фильтрации, коррекции и машинного обучения является ответом на «меняющиеся требования» к точности и автономности систем (например, беспилотных) в условиях отсутствия сигналов ГНСС.

Выводы. В данной статье рассмотрены основные принципы работы инерциальных навигационных систем, в ходе чего была продемонстрирована прочная связь между ИНС и интегрированием. Данные навигационные системы главным образом основаны на интегрировании векторов ускорения и угловой скорости, а также коррекции ошибок. Накопление ошибок является прямым и неизбежным следствием процесса интегрирования данных, полученных с измерительных приборов, т.к. они имеют определённую погрешность и являются дискретными. Дальнейшее развитие ИНС связано с попытками минимизировать нарастающие со временем ошибки.

Для коррекции ошибок можно использовать фильтр Калмана с коррекцией по GPS, или по иным способам определения позиции, или по различным физическим датчикам. Главная ценность инерциальных навигационных систем состоит в их независимости от внешних факторов. Это определяет их важную и часто незаменимую роль в аэрокосмической отрасли, навигации подводных аппаратов, высокоточном вооружении и беспилотных технологиях.

Изучение инерциальной навигации как примера применения интегрирования наглядно демонстрирует, что математический анализ используется не только для решения теоретических примеров, но и применяется на практике при создании востребованных разными отраслями высокотехнологичных решений. Поэтому инерциальные системы навигации являются практически значимым примером применения интегрального исчисления в решении сложных прикладных задач. Использование таких конкретных, полезных практически примеров отвечает современным требованиям к образовательному процессу, в котором, как отмечается в педагогических исследованиях, «роль педагогов в обществе растёт, а педагогическое образование становится всё более интегрированным» [10]. Объяснение роли и применения интегрирования на примере систем, которые активно применяются в аэрокосмической отрасли и БПЛА, позволяет преодолеть барьер между абстрактной теорией и современной технологической практикой, формируя у обучающихся понимание применения изучаемого предмета.

Список литературы

1. Инерциальная навигационная система: как это работает: // Ростех. [Электронный ресурс]. URL: https://rostec.ru/media/news/kak-eto-rabotaet-inertsialnaya-navigatsionnaya-sistema-/. (Дата обращения: 10.12.2025).

2. Как смартфон узнаёт, где находится пользователь, даже если отключен интернет и GPS: // IXBT. [Электронный ресурс]. URL: https://www.ixbt.com/live/mobile/kak-smartfon-uznaet-gde-nahoditsya-polzovatel-dazhe-esli-otklyuchen-internet-i-gps.html. (Дата обращения: 10.12.2025).

3. Селиванова Л.М., Шевцова Е.В. Инерциальные навигационные системы, Москва, Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012 г., 48 стр. // https://library.bmstu.ru/DigitalResources/Download/41148.

4. Альбитар Н., Гаврилов А.И., Халаф В. Методы на основе искусственного интеллекта для повышения точности интегрированной навигационной системы при отсутствии сигнала ГНСС. Аналитический обзор: // Научная электронная библиотека «КиберЛенинка». [Электронный ресурс]. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metody-na-osnove-iskusstvennogo-intellekta-dlya-povysheniya-tochnosti-integrirovannoy-navigatsionnoy-sistemy-pri-otsutstvii-signala/viewer. (Дата обращения: 10.12.2025).

5. Павлов Д.В., Телина И.С., Самуйлова К.Д. Алгоритмическая модель системы ориентации и навигации со структурной избыточностью: // Научная электронная библиотека «КиберЛенинка». [Электронный ресурс]. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/algoritmicheskaya-model-sistemy-orientatsii-i-navigatsii-so-strukturnoy-izbytochnostyu/viewer. (Дата обращения: 10.12.2025).

6. Часть 2. Теория: как работает инерциальная навигация и почему она «плывёт»: // Хабр. [Электронный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/articles/934286/. (Дата обращения: 10.12.2025).

7. Кому нужен GPS? Забытая история навигатора 1985 года от компании Etak: // Хабр. [Электронный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/articles/385989/. (Дата обращения: 10.12.2025).

8. Андреев B.A. Теория инерциальной навигации (корректируемые системы), Москва, Издательство «Наука», 1967 г., 648 стр. // https://dwg.ru/lib/4576.

9. Трусова И.С., Гурина В.М. Технологии разработки web-приложений и приложений для мобильных платформ: // Научная электронная библиотека elibrary.ru. [Электронный ресурс]. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=73805836. (Дата обращения: 13.12.2025).

10. Трусова И.С. Этическая компетентность как составляющая профессионального будущего преподавателя: // Научная электронная библиотека elibrary.ru. [Электронный ресурс]. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=73805849. (Дата обращения: 13.12.2025).