XVIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2026

Введение

Понятие унитарности играет центральную роль в математическом описании физических явлений [1–3]. В современной теоретической физике основным языком является язык линейных операторов, действующих в гильбертовых пространствах [1–3]. Именно в этой структуре формулируются основные постулаты квантовой механики, теории поля и квантовых вычислений [1, 2, 5].

Одним из ключевых классов операторов, используемых для описания симметрий, эволюции и преобразований квантовых состояний, являются унитарные операторы [1, 2, 4]. Их основное свойство заключается в сохранении внутреннего произведения между векторами, что эквивалентно сохранению длины (нормы) векторов и вероятностной интерпретации квантового состояния [1–3].

Физический смысл унитарности заключается в сохранении вероятности: если квантовая система эволюционирует во времени или подвергается какому-либо симметричному преобразованию, суммарная вероятность нахождения её в каком-либо состоянии должна оставаться равной единице [1–3].

В данной статье рассматриваются математическое определение унитарных операторов, их свойства и доказательства, физическая интерпретация, а также примеры и применение в квантовой механике, квантовой информатике и теории симметрий [1, 7, 10].

1. Теоретические основы унитарных операторов

1.1. Определение и основные понятия

Пусть H — комплексное гильбертово пространство с внутренним произведением ⟨ψ|φ⟩. Линейный оператор U: H → H называется унитарным, если он удовлетворяет условию:

U†U = UU† = I [1–3],

где U† — эрмитово-сопряжённый оператор (адъюнкт), а I — единичный оператор.

Это означает, что унитарный оператор не изменяет внутреннего произведения между любыми двумя векторами ψ и φ:

⟨Uψ | Uφ⟩ = ⟨ψ | φ⟩.

Из этого следует сохранение нормировки вектора:

‖Uψ‖ = ‖ψ‖.

Иными словами, унитарный оператор — это обобщение понятия поворота или отражения в евклидовом пространстве на случай комплексных пространств [1–3].

1.2. Геометрическая интерпретация

Унитарные преобразования сохраняют не только длину, но и угол между векторами. Это свойство делает их аналогом ортогональных преобразований в действительных пространствах [1–3].
Можно рассматривать унитарное преобразование как вращение в комплексном пространстве, где множители вида exp(iφ) представляют фазовые сдвиги [1–3].

Таким образом, унитарный оператор описывает преобразование, при котором система изменяет своё представление, но не физическое состояние.

2. Математические свойства унитарных операторов

2.1. Обратимость

Каждый унитарный оператор обратим, причём обратный оператор равен сопряжённому:

U⁻¹ = U† [1–3].

Это свойство обеспечивает возможность обратимого описания физических процессов, что особенно важно для замкнутых систем в квантовой механике.

2.2. Сохранение ортонормированности

Если {ψ₁, ψ₂, …, ψₙ} образует ортонормированный базис в H, то множество {Uψ₁, Uψ₂, …, Uψₙ} также будет ортонормированным. Это доказывается напрямую из равенства ⟨Uψi | Uψj⟩ = ⟨ψi | ψj⟩ [1–3].

Таким образом, унитарные операторы сохраняют структуру базиса и не искажают пространства состояний.

2.3. Собственные значения

Все собственные значения λ унитарного оператора лежат на единичной окружности комплексной плоскости, то есть |λ| = 1 [1, 4, 9].

Это легко показать: если U|ψ⟩ = λ|ψ⟩, то
⟨ψ|ψ⟩ = ⟨ψ|U†U|ψ⟩ = |λ|²⟨ψ|ψ⟩,
откуда следует |λ| = 1.

Таким образом, спектр унитарного оператора состоит из комплексных чисел, представляющих фазовые множители exp(iφ) [1–3].

2.4. Связь с эрмитовыми операторами

Любой унитарный оператор может быть представлен в экспоненциальной форме:

U = exp(iA),

где A — эрмитов оператор (A† = A).
Эта форма позволяет описывать унитарные преобразования как «повороты» на бесконечно малые углы, аналогично тому, как эрмитовые операторы представляют генераторы симметрий [1, 3, 9].

3. Физический смысл унитарных операторов

3.1. Унитарность и сохранение вероятности

Одним из постулатов квантовой механики является сохранение общей вероятности нахождения системы в любом состоянии. Если система находится в состоянии |ψ(t)⟩, то её эволюция описывается оператором U(t):

|ψ(t)⟩ = U(t)|ψ(0)⟩.

Для сохранения нормы требуется:

⟨ψ(t)|ψ(t)⟩ = ⟨ψ(0)|ψ(0)⟩.

Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда оператор U(t) унитарен. Таким образом, унитарность является математическим выражением принципа сохранения вероятности [2, 6, 7].

3.2. Связь с уравнением Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера имеет вид:

iħ ∂|ψ⟩/∂t = H|ψ⟩,

где H — гамильтониан системы, эрмитов оператор [1–3]. Решение имеет вид:

|ψ(t)⟩ = exp(-iHt/ħ)|ψ(0)⟩.

Оператор эволюции
U(t) = exp(-iHt/ħ)
является унитарным, так как H эрмитов.

Таким образом, временная эволюция квантовой системы всегда описывается унитарным оператором [3, 6].

3.3. Принцип обратимости

Так как U(t)⁻¹ = U†(t), временная эволюция в квантовой механике обратима. Это фундаментальное отличие квантовых процессов от классических необратимых явлений, таких как трение или рассеяние энергии [4].

4. Применение унитарных операторов в физике

4.1. Симметрии и законы сохранения

Согласно теореме Нётер, каждой непрерывной симметрии соответствует закон сохранения. Унитарные операторы являются математическим представлением этих симметрий[3, 4, 9].

Например:

• оператор вращения в пространстве связан с сохранением углового момента,

• оператор сдвига по времени — с сохранением энергии,

• оператор сдвига по координате — с сохранением импульса.

Все эти операторы унитарны, поскольку они сохраняют норму состояния и, следовательно, физическую вероятность.

4.2. Оператор вращения

В трёхмерном пространстве оператор вращения вокруг оси e на угол θ записывается в виде:

U(R) = exp(-iθ·J/ħ),

где J — оператор углового момента [1–3].
Поскольку J эрмитов, U(R) унитарен. Это означает, что вращение не изменяет вероятность нахождения частицы в пространстве.

4.3. Преобразования базиса

В квантовой механике часто требуется перейти от одного базиса к другому — например, от базиса координатных состояний к базису собственных состояний импульса. Такой переход осуществляется с помощью унитарных операторов, обеспечивающих сохранение ортонормированности [4].

Типичным примером является оператор Фурье-преобразования, который также унитарен [1–3].

4.4. Квантовые вычисления

В квантовой информатике унитарные операторы представляют квантовые логические гейты. Любое квантовое вычисление описывается последовательностью унитарных преобразований над состояниями кубитов [5].

Примеры унитарных гейтов:

• Гейт Паули X: σx = [[0, 1], [1, 0]]

• Гейт Адамара: H = (1/√2)[[1, 1], [1, -1]]

• Гейт Фурье: F|x⟩ = (1/√N) Σ exp(2πixy/N)|y⟩

Каждый из них унитарен и обратим, что гарантирует сохранение информации при вычислениях [5].

5. Примеры унитарных операторов

1. Матрица поворота:
   U =
   | cosθ -sinθ |
   | sinθ cosθ |
   Для действительных элементов она ортогональна, а в комплексной форме — унитарна [1–3].

2. Оператор фазового сдвига:
   U = exp(iφ)
   Он изменяет только фазу состояния, не влияя на вероятность [1–3].

3. Оператор Паули σz:
   σz =
   | 1 0 |
   | 0 -1 |
   Проверка: σz†σz = I, следовательно, оператор унитарен [5].

4. Оператор эволюции:
   U(t) = exp(-iHt/ħ) — фундаментальный пример унитарного оператора, определяющего динамику замкнутых квантовых систем [4, 8, 10].

Заключение

Унитарные операторы являются неотъемлемой частью математического аппарата физики, обеспечивая строгую основу для описания обратимых и консервативных процессов. Их ключевое свойство — сохранение нормы и внутреннего произведения — напрямую связано с принципом сохранения вероятности, лежащим в основе квантовой теории.

Благодаря унитарности формализм квантовой механики остаётся внутренне согласованным: эволюция состояния системы не нарушает законов сохранения и не приводит к потере информации.

Кроме квантовой механики, унитарные операторы применяются в квантовой теории поля, квантовой оптике, физике частиц и квантовых вычислениях, где они обеспечивают строгую математическую описательность физических симметрий [1–10].

Таким образом, изучение унитарных операторов не только имеет фундаментальное значение для физики, но и служит основой для современных технологий, таких как квантовые компьютеры и квантовая криптография [5,9].

Список литературы

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.: Наука, 1989.

2. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Физматлит, 2001.

3. Сакурай Дж. Современная квантовая механика. — М.: Мир, 1999.

4. Фейнман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Наука, 1986.

5. Нильсен М., Чуан И. Квантовые вычисления и квантовая информация. — М.: Мир, 2006.

6. Мессия А. Квантовая механика. Том 1. — М.: Наука, 1978.

7. Брагинский В. Б., Киселёв А. Н. Основы квантовой теории измерений. — М.: Физматлит, 2010.

8. Зельдович Я. Б., Мищенко В. А. Элементы квантовой механики. — М.: МГУ, 2003.

9. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984.

10. Шредингер Э. Что такое жизнь с точки зрения физика. — М.: Наука, 1989.

Код для цитирования: Скопировать