XVII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2025

Введение

Наиболее оптимальные стратегии в области математического моделирования учёные предлагали ещё в XVIII веке. В XIX веке задачи ценообразования и производства в условиях рынка с малой конкуренцией, впоследствии ставшие классическими примерами теории игр, рассматривались такими учёными, как Жозеф Бертран и Антуан Курно. А в начале XX столетия выдающимися математиками Эмилем Борелем и Эрнстом Цермело была выдвинута идея математической теории конфликта интересов.

Истоки математической теории игр следует искать в неоклассической экономике. Изначально основы и аспекты этой теории излагались в работе Оскара Моргенштерна и Джона фон Неймана «Теория игр и экономическое поведение» в 1944 году.

Представленная математическая область также нашла некоторое отражение и в социальной культуре. Например, в 1998 году Сильвия Назар (американская журналистка и писательница) выпустила книгу, посвящённую Джону Нэшу – лауреату Нобелевской премии по экономике и специалисту по теории игр.

Основная часть

Само значение теории игр расшифровывается как: Теория игр – математический метод изучения оптимальных стратегий в играх.

Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две или более сторон (лиц), ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу – в зависимости от поведения других игроков.

Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учетом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

Также, Теория игр – это раздел прикладной математики, точнее исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в международных отношениях, экономике, чуть реже в других общественных науках – социологии, политологии, психологии, этике, юриспруденции и других.

Значение игры невозможно исчерпать и оценить развлекательно-рекреативными возможностями. В том и состоит ее феномен, что, являясь развлечением, отдыхом, она способна перерасти в обучение, в творчество, в терапию, в модель типа человеческих отношений и проявлений в труде.

Игру как метод обучения, передачи опыта старших поколений младшим люди использовали с древности.

В структуру игры как деятельности органично входят:

- мотивация;

- целеполагание;

- планирование;

- реализация цели;

- анализ результатов.

Игры представляют собой строго определенные математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указанием выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму.

Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации:

1. наличие нескольких участников;

2. неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них несколько вариантов действий;

3. различие (несовпадение) интересов участников;

4. взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников;

5. наличие правил поведения, известных всем участникам.

Рассмотрим следующую задачу.

Задание. Найти стратегии игроков А, В и цену игры, заданной матрицей (с помощью формул и графически)

Решение. Найдем наилучшую стратегию первого игрока: минимальное число в каждой строке обозначим αi. Получаем: α1 = 0, α2 = −1. Выберем максимальное из этих значений α = 0 - нижняя цена игры.

Аналогично для второго игрока. Найдем максимальные значения выигрыша по столбцам: β1 = 6, β2 = 5, β3 = 3 , β4 = 5 и минимальное из этих чисел β = 3 - верхняя цена игры.

Так как верхняя и нижняя цены игры различны, игра не имеет решения в чистых стратегиях, цена игры находится в промежутке от 0 до 3 (между нижней и верхней ценой игры).

Игра имеет большую размерность, попробуем ее уменьшить, выделив невыгодные стратегии и вычеркнув их из матрицы: все элементы столбца В1 больше элементов столбца В3, поэтому вычеркиваем столбец В1. . Получили матрицу (А1, А2, В2, В3, В4): .

Теперь найдем решение игры, заданной данной платежной матрицей в смешанных стратегиях.

Найдем две активные стратегии игрока B. Для этого определим оптимальные смешанные стратегии игрока A. Игрок B имеет три чистые стратегии, им будут соответствовать три прямые в геометрическом решении игры. Вычислим средний выигрыш первого игрока, при условии, что он применяет свою смешанную стратегию, а второй – свою чистую j -ю стратегию:

M_j(x₁) = (α_1j – α_2j) x₁ + α_2j.

Получаем:

M₁(x₁) = (α₁₁ – α₂₁) x₁ + α ₂₁= 6x₁ – 1

M₂(x₁) = (α₁₂ – α₂₂) x₁ + α ₂₂= -x₁ + 3

M₃(x₁) = (α₁₃ – α₂₃) x₁ + α ₂₃= -5x₁ + 5

Строим соответствующие прямые линии в прямоугольной системе координат:

:

Цель второго игрока – минимизировать выигрыш первого за счет выбора своих стратегий, поэтому берем самые нижние отрезки. Цель первого игрока – максимизировать выигрыш за счет выбора x1 , поэтому берем самую высокую точку M (см. чертеж). Те линии стратегии, пересечением которых образована точка M , являются активными стратегиями игрока B , в нашем случае это B1 и B3 . Таким образом, игра сводится к игре 2×2 с матрицей

Находим оптимальные стратегии:

6x₁ – 1 = -5x₁ + 5 = ν

x₁ + x₂ = 1

Откуда: x₁ = , x₂ = , ν =

Теперь найдем стратегии второго игрока:

5q₁ + 0q₂ = ν = → q₁ = , q₂ =

Получили P^* = ( , Q^* = ( . ν = – цена игры.

Заключение

В заключение важно отметить, что теория игр представляет собой сложную и многогранную область знаний. Работая с ней, необходимо проявлять осторожность и четко понимать пределы её применения. Анализ и консультации, основанные на теории игр, целесообразны лишь в случаях, когда речь идет о значительных и сложных проблемах. Практика показывает, что применение соответствующих инструментов особенно эффективно при принятии ключевых стратегических решений. Тем не менее, теория игр помогает лучше понять происходящие процессы и предоставляет разнообразные методы, которые можно успешно применять в различных сферах деятельности.

Теория игр прививает человеку дисциплину ума. Она требует от принимающего решения системного подхода: четкой формулировки возможных альтернатив, оценки их последствий и, что особенно важно, учета поведения других участников. Человек, знакомый с теорией игр, менее склонен считать окружающих глупее себя, что помогает избежать многих серьезных ошибок. Однако сама по себе теория игр не придает уверенности и настойчивости в достижении целей, особенно в условиях неопределенности и риска. Знание основ теории игр не гарантирует успеха, но защищает от глупых и ненужных ошибок. Теория игр всегда связана со стратегическим мышлением.

Список литературы

1. Дж. Мак Кинси - «Введение теорию игр», 1960.

2. Колобашкина Л. - «Основы теории игр», 2014.

3. Бинмор, К. Теория игр. Очень краткое введение / К. Бинмор. - М.: ИД "Дело" РАНХиГС, 2019. - 256 c.

4. Саитгараев С.С. Элементы теории игр. Челябинск: ЧелГУ, 2001. - 72 с.

Код для цитирования: Скопировать