XVII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2025
Метод наименьших квадратов как один из способов обработки экспериментальных данных
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Математико-статистические методы исследования имеют широкое применение в различных сферах деятельности. Один из наиболее часто используемых методов при обработке экспериментальных данных – метод наименьших квадратов [1].
Целью данной работы является установление функциональной зависимости между двумя случайными величинами – бег на 30 метров и прыжок в длину с места.
Для достижения цели выполнялись наблюдения за студентами первого курса Уральского государственного лесотехнического университета (УГЛТУ) на занятиях физической культуры. Всю совокупность студентов вуза будем считать генеральной совокупностью. Проведем наблюдение не за всеми студентами генеральной совокупности, а лишь за некоторой частью – выборкой. По результатам, полученным для этой части, будем судить о совокупности студентов в целом [2].
Результаты физических нормативов в категориях «бег на 30 метров» и «прыжок в длину с места» приведены в таблице 1.
Таблица 1
Физические нормативы студентов в категориях «бег на 30 метров» и «прыжок в длину с места»
-
№ Студента
Бег на 30 м, X (с)
Прыжок в длину с места,
Y (м)
1
4
2,1
2
5,13
2
3
5,4
2,5
4
4,3
2,45
5
4,3
2,4
6
5,13
2,4
7
4,4
2,25
8
5,7
1,83
9
5,9
1,5
10
6
1,5
11
5,8
1,44
12
5,7
1,7
13
6,2
1,62
14
5,7
1,55
15
4,8
2,3
16
4,9
2,29
17
4,8
2,52
18
5
2,21
19
4,74
1,95
20
5,16
2,3
21
5,16
2
22
5,15
2,41
23
5,02
2,19
24
5,19
2,21
25
6,7
1,53
26
5,1
2,35
27
4,9
2,75
28
5,74
2,25
29
4,9
2,35
30
6
1,5
31
5
2,2
32
4,9
2,4
33
5,6
1,69
34
5,9
1,61
35
5,89
1,85
36
4,73
2,39
37
4,59
2,86
38
4,52
2,5
39
5,94
1,95
Выясним, существует ли взаимосвязь между бегом на 30 м и прыжком в длину. Корреляционной зависимостьюмежду случайными величинами X и Y называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой [3].
В результате обработки данных (множество значений каждого спортивного показателя) авторам удалось распределить значения бега и прыжка с места по интервалам, а также составить таблицу спортивных достижений студентов (табл. 2).
Таблица 2
Распределение спортивных показателей студентов
|
Прыжок в длину с места, Y (м) |
Бег на 30 м, X (с) |
|||||
|
(3,75;4,25] |
(4,25;4,75] |
(4,75;5,25] |
(5,25;5,75] |
(5,75;6,25] |
(6,25;6,75] |
|
|
4 |
4,5 |
5 |
5,5 |
6 |
6,5 |
|
|
(1,30; 1,58] 1,44 |
2 |
6 |
1 |
|||
|
(1,58; 1,86] 1,72 |
2 |
1 |
||||
|
(1,86; 2,14] 2,00 |
1 |
1 |
3 |
1 |
||
|
(2,14; 2,42] 2,28 |
4 |
11 |
1 |
|||
|
(2,42; 2,70] 2,56 |
1 |
1 |
1 |
|||
|
(2,70; 2,98] 2,84 |
1 |
1 |
||||
Предположим, что между величинами X и Y существует корреляционная связь, которая выражается следующей формулой:
.
Корреляционной зависимостьюмежду случайными величинами X и Y называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой [3].
Наилучшие значения параметров aиb находим, решая систему уравнений:
Для удобства вычислений составим вспомогательную таблицу:
|
№ |
||||
|
1 |
1,44 |
5,94 |
2,0736 |
8,5536 |
|
2 |
1,72 |
5,7 |
2,9584 |
9,804 |
|
3 |
2,00 |
4,92 |
4,0 |
9,84 |
|
4 |
2,28 |
4,91 |
5,1984 |
11,1948 |
|
5 |
2,56 |
5 |
6,5536 |
12,8 |
|
6 |
2,84 |
4,75 |
8,0656 |
13,49 |
|
∑ |
12,84 |
31,22 |
28,8496 |
65,6824 |
Получаем систему следующего вида:
Решим систему по формулам Крамера.
Вычислим основной определитель системы:
.
Затем вычислим вспомогательные определители:
.
Находим коэффициенты уравнений системы:
Запишем уравнение линии регрессии X на Y:
.
Таким образом, авторам работы удалось определить с помощью метода наименьших квадратов коэффициенты приближенного описания зависимости одного спортивного показателя от среднего значения другого. Однако следует отметить, что согласованные изменения значений изучаемых признаков (спортивных достижений) не могут говорить наверняка о причине изменений.
Список литературы
1.Метод наименьших квадратов: методические указания и индивидуальные задания по выполнению лабораторной работы №15 /Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: Л.И.Студеникина, Т.В.Шевцова. Курск,2011. 50 с. табл. 4. Библиогр.: 7 назв.
2. Рычков, А. С. К вопросу существования связи между спортивными достижениями студентов / А. С. Рычков, В. М. Горяева, Е. С. Федоровских // Эффективный ответ на современные вызовы с учетом взаимодействия человека и природы, человека и технологий: социально-экономические и экологические проблемы лесного комплекса : УГЛТУ; – Екатеринбург, 2024. – С. 690–694.
3. Александрова О.В. Статистические методы решения технологических задач / О.В. Александрова, Т.А. Мацеевич, Л.В. Кирьянова. - Москва : МИСИ—МГСУ, 2017. - 154 с. - ISBN 978-5-7264-1645-8. - URL: https://ibooks.ru/bookshelf/362351/reading (дата обращения: 02.02.2025). - Текст: электронный.