XVII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2025

В теории вероятностей и математической статистике распределением Вейбулла принято называть специальное абсолютно непрерывное распределение, сосредоточенное на неотрицательной полуоси, хвост которого убывает экспоненциально-степенным образом. Свое название распределение получило в честь шведского ученого Валодди Вейбулла (Waloddi Weibull, 1887–1979), предложившего в 1939 г. применение данного распределения для анализа прочности материалов [4, 6], однако оно использовалось еще задолго до этого в моделировании размеров частиц. Вейбулл, детально описав и исследовав это распределение, выявил его широкие возможности при описании многих статистических закономерностей [5].

Распределение Вейбулла является двухпараметрическим распределением и используется часто для оценки показателей надёжности при постепенных отказах, вызываемых старением, износом, недостаточной прочностью изделий или объектов [2]. Функция плотности вероятности и функция обеспеченностей этого распределения описываются выражениями:

, ,

где b  0, c > 0 – параметры распределения.

Это распределение является необычайно универсальной функцией плотности распределения вероятности, поскольку оно может принимать различные формы. Оно может даже приближаться к нормальному распределению и другим распределениям. Часто распределение Вейбулла критикуют за то, что оно не имеет физического смысла, в то время как, например, нормальное считается присущим самой природе. Имеющихся в данный момент знаний недостаточно для утверждения, что в качестве априорного распределение Вейбулла менее пригодно, чем нормальное. Благодаря своей гибкости распределение Вейбулла используется аналитиками в самых разных областях, таких как контроль качества, анализ возможностей, медицинские исследования и инженерное дело. Оно часто применяется для анализа данных о жизни, надёжности и гарантийных обязательств, чтобы оценить время до отказа систем и деталей. Анализ на основе распределения Вейбулла, используемый как оценка надежности электроприборов, применим не только на этапе их производства, но и на этапе проектирования, а также во время эксплуатации.

Теория надежности – это наука, изучающая закономерности отказов технических систем, и располагающая методами, позволяющими на основе анализа статистических данных по совокупности одинаковых объектов определять вероятность возникновения отказов объектов в процессе их эксплуатации.

В прошлом методы проведения анализа Вейбулла вручную были утомительными и длительными. Сейчас этот процесс заменён статистическими программами и является наиболее широко используемым методом анализа данных о продолжительности жизни в мире. Попробуем решить задачу по нахождению вероятности возникновения поломки электроприбора с использованием электронных таблиц Excel и специализированной функции, существующей в Excel для описания этого закона распределения. Рассмотрим следующую задачу:

Установлено, что время до поломки наушников в днях есть случайная величина X, распределенная по закону Вейбулла с параметром формы равным 2 и параметром масштаба: а) равным 1; б) равным 1,5; в) равным 2. Найти значения плотности распределения вероятности и функции распределения и построить соответствующие графики для Х .

Решение:

Для решения задачи будут использованы функции Microsoft Excel. Изначально необходимо создать таблицу и заполнить столбец А значениями заданной случайной величины. Дальнейшие вычисления будут выполняться, опираясь на специализированную функцию – ВЕЙБУЛЛ.РАСП(). Эта функция имеет следующий синтаксис:

=ВЕЙБУЛЛ.РАСП(x; α; β; интегральная),

где х – значение для которого вычисляется функция (неотрицательное число), α – параметр масштаба (положительное число), β – параметр формы (положительное число), интегральная – логическое значение, определяющее вид функции («ИСТИНА» применяется для представления функции распределения Вейбулла в кумулятивном виде, а
«ЛОЖЬ» – когда используется функция плотности вероятности Вейбулла).

Применив описанную выше формулу, получилась следующая таблица (рис.1):

Рис.1 Таблица значений функции распределения вероятности и плотности распределения вероятности для различных значений случайной величины Х

На основе данных этой таблицы были построены графики для функции распределения (рис.2) и для плотности распределения (рис.3).

Рис.2 Значения функции распределения F(x)

Рис.3 Значение плотности распределения f(x)

Исходя и полученных расчетов, можно сделать вывод о влиянии параметра формы α на поведение вероятности отказа. При увеличении α кривая функции распределения становится более пологой. Это говорит о том, что с увеличением α, вероятность отказа в начале эксплуатации снижается, а вероятность отказа в более поздние сроки увеличивается. Также с увеличением параметра формы, плотность распределения сдвигается вправо, что указывает на увеличение среднего времени до отказа.

Распределение Вейбулла не только улучшает понимание процессов отказов, но и способствует повышению надежности и эффективности систем, что делает его важным инструментом в арсенале специалистов по надежности и инженеров. В условиях стремительного технологического прогресса и увеличения сложности систем, использование распределения Вейбулла остается востребованным в исследовательской и практической деятельности. Популярность распределения Вейбулла связана с его эффективностью, благодаря чему его применяют в моделировании различных процессов и не только в теории надежности. В частности, распределение Вейбулла используется для описания временных характеристик в таких областях, как метеорология, гидрология, сельское хозяйство, экономика и здравоохранение.

Список литературы

1. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник и практикум для вузов / Н. Ш. Кремер. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2024. — 538 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-10004-4. — Текст: электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. с. 150 — 152 — URL: https://urait.ru/bcode/541918/p.150 (дата обращения: 17.01.2025).

2. Шкляр В. Н. Надежность систем управления учебное пособие для студентов / В.Н. Шкляр — Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. — 125 с. — ISBN 978-5-98298-873-7.

3. Microsoft. WEIBULL.DIST function [Электронный ресурс]. – URL: https://support.microsoft.com/en-us/office/weibull-dist-function-4e783c39-9325-49be-bbc9-a83ef82b45db (дата обращения: 19.01.2025).

4. Weibull W. A statistical theory of the strength of materials / W. Weibull – Ingeniors Vetenskaps Akademien Handlingar, 1939. – No. 151. – P. 1 – 45.

5. Weibull W. A statistical distribution function of wide applicability // J. Appl. Mech. Trans. ASME, 1951. – Vol. 18. – No. 3. – P. 293–297

6. Weibull W. The phenomenon of rupture in solids / W. Weibull – Ingeniors Vetenskaps Akademien Handlingar, 1939. – No. 153. – P. 16 – 53.