XVII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2025

При стрельбе большим количеством боеприпасов распределение попаданий на мишени подчиняется определенной статистической закономерности. Это распределение, аналогичное нормальному закону распределения случайных ошибок, в баллистике называется законом рассеивания. Данный закон описывается тремя ключевыми характеристиками.

Во-первых, плотность попаданий неравномерна: она максимальна в центре рассеивания и снижается к периферии. Во-вторых, существует точка, называемая центром рассеивания (или средняя точка попадания), относительно которой распределение попаданий симметрично. Это означает, что количество попаданий в пределах одинаковых по величине, но противоположно направленных отклонений от центра рассеивания равно. В-третьих, площадь рассеивания конечна.

Таким образом, закон рассеивания можно сформулировать следующим образом: при достаточно большом числе выстрелов, выполненных в практически идентичных условиях, распределение попаданий характеризуется неравномерностью, симметричностью и ограниченностью площади рассеивания.

На сегодняшний день существует немалое количество математических моделей, посредством которых мы можем описывать закономерности рассеивания. Они применимы, в том числе, и по отношению к спортивной стрельбе. Рассмотрим несколько из них:

1. Нормальное (Гауссово) распределение;

2. Распределение Рэлея;

3. Круговое распределение фон Мизеса;

4. Математические модели, учитывающие систематические ошибки.

Итак, в качестве первой модели рассмотрим самую распространенную, а именно – нормальное (Гауссово) распределение. Гауссово распределение характеризуется высокой концентрацией вероятностной массы в окрестности математического ожидания, демонстрируя симметричное убывание частоты встречаемости значений по мере удаления от центральной тенденции. Проще говоря, данный тип распределения подразумевает, что все значения так или иначе сосредоточены вокруг среднего. Математически эта модель выглядит так:

f(x) = * [3] (1)

где a и   это параметры распределения

Гауссово распределение в контексте спортивной стрельбы поможет описать рассеивание пробоин (согласно модели, горизонтальные и вертикальные отклонения пробоин независимы и подчиняются нормальному закону распределения), однако только на средних дистанциях и при отсутствии сопутствующих систематических ошибок.

Вторая математическая модель – распределение Рэлея. Математический вид модели представлен ниже:

f(x) = * exp ( ) (2)

Согласно этой модели, случайная величина, подчиняющаяся закону распределения Рэлея, характеризуемому нулевой плотностью вероятности на отрицательной полуоси и экспоненциально убывающей, положительной плотностью вероятности A ≥ 0, где σ  положительный масштабирующий параметр, описывается распределением, которое может быть классифицировано как специфический случай распределения вероятностей с односторонней, монотонно возрастающей и затем монотонно убывающей плотностью вероятности на неотрицательной области определения.

В контексте спортивной стрельбы распределение Рэлея можно использовать для описания распределения радиальных отклонений пробоин от центра рассеивания (иначе говоря, от средней точки попадания). Данная модель удобна для математической оценки кучности стрельбы, она помогает определить вероятность появления пробоины от боеприпаса в круге заданного радиуса (мишени).

Третья модель – распределение фон Мизеса. В контексте круговой статистики, распределение фон Мизеса выделяется как наиболее трактуемая математически модель, обеспечивающая значительное упрощение процедур статистического вывода. Его функциональные свойства делают его предпочтительным инструментом анализа данных, распределенных по окружности. Математический вид модели представим ниже: [2]

f(; ; k) = (3)

где – модифицированная функция Бесселя (порядка 0)

Данное распределение демонстрирует высокую степень аппроксимации для обернутого нормального распределения, которое, в свою очередь, является асимптотическим пределом суммирования многочисленных, независимых, малых угловых возмущений. В контексте спортивной стрельбы данная модель может быть использована при расчетах рассеивания пробоин на движущихся мишенях.

В качестве четвертой группы математических моделей нами выделены те, которые учитывают систематические ошибки. Их суть заключается в том, что они прибавляют к величине случайного отклонения определенные детерминированные составляющие. Последние связаны с систематическими ошибками. В нашем случае – с ошибками прицеливания, различными внешними факторами (например, скорость ветра, температура и т.д.). В качестве примера подобной модели рассмотрим фильтр Калмана.

Итак, метод оптимальной оценки состояния динамической системы, известный как фильтр Калмана, основан на рекурсивном алгоритме, состоящем из двух взаимодополняющих стадий. На первом этапе, этапе предсказания (предикции), осуществляется экстраполяция вектора состояния системы на основе ее динамической модели и известных управляющих воздействий, с одновременным распространением ковариационной матрицы ошибки прогнозирования. Математически это выглядит следующим образом. Предсказание состояния выбранной системы:

= F + B (4)

Предсказание ошибки ковариации:

= F * + Q (5)

Вторая стадия, корректирующая, включает в себя интеграцию измерений, полученных с определенным уровнем шума, для уточнения оценки вектора состояния путем взвешенного усреднения предикта и измеренных данных. Веса при усреднении определяются относительными уровнями неопределенности прогноза и измерений. Математически это выглядит следующим образом.Усиление Калмана:

= * (6)

В целом, алгоритм обеспечивает последовательную оценку параметров состояния системы на основе ее динамической модели.

Перейдем к моделям, описывающим показатели кучности при спортивной стрельбе. В качестве первого рассмотрим СТП – среднюю точку попадания. Она представляет собой среднее арифметическое, рассчитанное для координат пробоин. На рисунке 1 представим пример расчета СТП в случае наличия 3 и 4 пробоин соответственно [1].

Рис. 1. Расчет СТП при наличии 3 и 4 пробоин

Следующий показатель – радиус круга,содержащего заданный процент попаданий. Чаще всего это R50 или R100. Иными словами, это тот радиус мишени, внутри которого располагается 50 % (R50) или 100 % (R100) пробоин после стрельбы. Графически это выглядит следующим образом (рисунок 2).

Рис. 2. Радиус круга (мишени)

Следующий показатель – среднеквадратическое отклонение (СКО). С помощью показателя можно рассчитать разброс пробоин по мишени относительно СТП (как по вертикали, так и по горизонтали). Формула расчета СКО имеет следующий вид:

 = при N < 25 (7)

 = при N > 25 (8)

В качестве разновидности СКО можно выделить еще один, более специализированный показатель кучности, а именно – СКО радиального рассеивания (RSD). В декартовой системе координат RSD определяется как квадратный корень из суммы квадратов дисперсий по осям абсцисс и ординат. Расчет RSD, подобно вычислению среднего радиуса, включает все доступные координаты поражений. Однако, принятая терминология не в полной мере адекватно отражает методологию расчета. В действительности, вычисление стандартного радиального отклонения отличается от прямого использования формулы RSD. При условии анизотропии дисперсии (σ_x ≠ σ_y), фактическое стандартное отклонение радиусов (r_i) определяется через полный эллиптический интеграл K следующим образом:

σ = (9)

В изотропном случае (σ_x = σ_y), распределение радиусов подчиняется закону Рэлея. Таким образом, RSD является аналогом параметра масштаба распределения Рэлея, однако, ввиду неопределенности истинного центра рассеяния, практическое вычисление ведется относительно выборочного центра. Данная метрика представляет собой ценный вспомогательный инструмент.

Таким образом, рассмотренные в статье модели основаны на определенных статистических закономерностях, которые в своей основе аналогичны нормальному распределению случайных ошибок. Универсального подхода к описанию исследуемых закономерностей нет – все зависит от условий, в которой организуется спортивная стрельба, от требуемой точности расчетов и прочих факторов.

Список использованных источников

1. Аренд Л.А. Прикладная баллистика спортивной малокалиберной винтовки: методические рекомендации. ВГТУ, 2014. – 25 с.

2. Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. Математические модели, описывающие закономерности рассеивания пробоин и показатели кучности при спортивной стрельбе по мишеням. Аналитический обзор // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. 2024. 4(121). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/17356 (дата обращения: 10.01.2025).

3. Евсеев Д. А. Гауссово распределение случайных величин как S–образное ранговое распределение / Д. А. Евсеев, К. В. Шарипова, Р. В. Гурина // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. – С. 435-438.

4. Попов А. М.  Теория вероятностей и математическая статистика: учебник и практикум для вузов / А. М. Попов, В. Н. Сотников; под редакцией А. М. Попова. – 3-е изд., перераб. и доп. – Москва: Издательство Юрайт, 2024. – 425 с. 

References

1. Arend L.A. Applied ballistics of a small-caliber sports rifle: methodological recommendations. VSTU, 2014. – 25 p.

2. Bogoslovskiy V.N., Kadomkin V.V., Zhukov I.G. Mathematical models describing patterns of hole dispersion and accuracy indicators in target sports shooting. Analytical review // Universum: technical sciences: electron. scientific journal. 2024. 4(121). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/17356 (accessed: 01/10/2025).

3. Evseev D. A. Gaussian distribution of random variables as an S–shaped rank distribution / D. A. Evseev, K. V. Sharipova, R. V. Gurina // International Student Scientific Bulletin, 2015– No. 3-4, pp. 435-438.

4. Popov A.M. Probability theory and Mathematical Statistics: textbook and workshop for universities / A.M. Popov, V. N. Sotnikov; edited by A.M. Popov. – 3rd ed., reprint. and additional – Moscow: Yurait Publishing House, 2024. – 425 p.