XVII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2025

Обоснование необходимости численного дифференцирования возникает в контексте ситуаций, когда аналитический подход к вычислению производных оказывается невозможным из-за сложности функции или ограничений, связанных с её заданием [1]. Особенности разностных формул для вычисления первой производной в определении точности и устойчивости результата крайне важно, что обуславливает интерес исследователей к данному методу. Проблема определения производной с использованием разностных формул связана с ограниченностью информации о функции в фиксированных точках, что приводит к необходимости учета ряда факторов, влияющих на точность вычислений [2].

Точность численного дифференцирования напрямую зависит от характеристик используемого шага сетки, который выступает основным параметром метода. Уменьшение шага способствует снижению погрешностей, связанных с аппроксимацией, однако при этом возрастает чувствительность результата к численным ошибкам округления, неизбежно возникающим при выполнении операций с конечной точностью. Совокупность данных факторов формирует основную проблему численного дифференцирования, заключающуюся в необходимости нахождения компромиссного значения шага, минимизирующего общую погрешность [3].

Существенное значение в данном контексте приобретают разностные формулы, которые реализуются на основе разложения функции в ряд Тейлора. Возможность использования разностных приближений обусловлена тем, что анализ зависимости значения функции в соседних точках позволяет приблизительно вычислить значение её производной. Порядок разностной формулы определяет степень её точности, которая увеличивается по мере учета дополнительных членов разложения [4].

Рассматривая свойства разностных формул, следует отметить их классификацию в зависимости от направления, в котором используется информация о значениях функции. Наряду с этим срединные формулы предполагают использование данных, равномерно расположенных по обе стороны от точки, в которой требуется вычислить производную [5].

Проблема оценки погрешности численного дифференцирования требует детального анализа источников ошибок, включающих в себя аппроксимационные и вычислительные составляющие. Аппроксимационная ошибка возникает вследствие ограничения числа членов ряда Тейлора, используемых для построения разностной формулы. Числовые ошибки, напротив, связаны с ограниченной точностью представления данных в памяти компьютера, что обуславливает необходимость учета влияния конечной разрядности при реализации численных методов [5].

Зависимость результата численного дифференцирования от выбранного шага сетки требует анализа параметров, которые влияют на поведение метода. Увеличение шага приводит к снижению чувствительности к числовым ошибкам, однако сопровождается ростом аппроксимационных ошибок, что делает использование крупных шагов неприемлемым для задач, требующих высокой точности. Уменьшение шага, напротив, способствует повышению точности аппроксимации, но увеличивает воздействие ошибок округления, что в некоторых случаях делает результаты нестабильными.

При выборе метода численного дифференцирования необходимо учитывать специфику задачи, а также свойства функции, подлежащей дифференцированию. Гладкость функции оказывает существенное влияние на эффективность разностных формул, так как разрывы или резкие изменения производной приводят к значительному увеличению погрешностей. Анализ поведения метода при изменении характеристик функции позволяет определить границы применимости разностных формул, что имеет значение для их использования в реальных задачах.

Особое внимание уделяется случаям, когда требуется оценить производную на границе заданного интервала. Ограничение доступных данных в этих точках делает использование стандартных формул невозможным, что приводит к необходимости разработки специальных методов, учитывающих асимметрию доступной информации. Подходы, основанные на асимметричных формулах, обеспечивают возможность вычисления производных при минимальных потерях точности, хотя их реализация сопряжена с дополнительными трудностями, связанными с увеличением вычислительных затрат.

Исследование зависимости погрешностей от параметров метода численного дифференцирования позволяет определить оптимальные условия, при которых разностные формулы обеспечивают минимальное отклонение от истинного значения производной. Такой подход требует учета как аппроксимационных, так и численных ошибок, а также их взаимодействия, что делает выбор метода важным этапом при решении задач, связанных с численным анализом.

Особенности численного дифференцирования становятся особенно значимыми при решении задач, связанных с обработкой экспериментальных данных. Необходимость определения производной на основе измеренных значений функции приводит к увеличению погрешности, обусловленной наличием случайных ошибок в исходных данных. Учет специфики экспериментальных данных позволяет адаптировать разностные формулы к условиям, обеспечивающим минимизацию воздействия шума на результат.

Анализ эффективности численного дифференцирования демонстрирует, что выбор разностной формулы оказывает существенное влияние на точность и устойчивость метода. Прямые и обратные формулы обладают различной чувствительностью к числовым ошибкам, что делает их использование предпочтительным в зависимости от параметров задачи. Срединные формулы, напротив, обеспечивают высокую точность, но требуют больших вычислительных затрат, что ограничивает их применение в задачах, требующих обработки больших объемов данных. Оценим погрешности методов вычисления. Для разностных правой и левой производных будут справедливы следующие выражения

и

,

а для центральной

.

Для оценки погрешностей левых и правых разностных производных первую производную можно получить из разложения в ряд Тейлора в виде

.

Здесь и ниже и – некоторые точки, расположенные на интервалах и соответственно. Откуда погрешности этих методов будут иметь вид

,

а оценка абсолютных погрешностей будет удовлетворять неравенству ,

где .

Таким образом, формулы вычисления правой и левой разностных производных имеют первый порядок точности по .

Для центральной разностной производной соответствующие разложения функций в ряд Тейлора должны учитывать и производную третьего порядка (вторая производная при вычитании исчезает)

.

Отсюда получим

и для оценки абсолютной погрешности будет справедливо неравенство

где

Таким образом, производная вычисляется при помощи формул центральной разностной производной со вторым порядком точности по , т.е. точнее, чем по формулам выше. Очень часто уменьшение погрешности метода, в данном случае метода численного дифференцирования, сопровождается ростом влияния погрешности исходных данных и вычислительной погрешности. Численное дифференцирование относится именно к таким задачам, которые обычно называют плохо обусловленными. Оценим совместное влияния погрешностей вычисления и метода для вычисления первой производной. Пусть значение производной вычисляется по формуле, тогда погрешность метода можно оценить по соотношению ниже. Если значения функции известны с некоторой погрешностью ( ), то погрешность вычисления будет содержать дополнительное слагаемое

,

Пренебрегая для простоты погрешностью округления, имеем оценку погрешности в следующем виде

Из формулы очевидно, что уменьшение не приводит к увеличению точности вычисления производной, так как возрастает ошибка, связанная с погрешностью определения функции (рисунок 1). Погрешности возникают вследствие ошибок измерения или предыдущего вычисления по приближенным формулам. Из соотношения выше можно найти оптимальное значение разбиения, находя экстремум правой части, такое будет равно

Отметим, что повышение точности метода лишь отчасти повышает точность вычисления производной.

Рисунок - Зависимость погрешности вычисления первой производной от величины шага

Перспективы развития численного дифференцирования связаны с использованием адаптивных методов, которые позволяют автоматически изменять параметры разностных формул в зависимости от локальных характеристик функции. Такие методы обеспечивают возможность увеличения точности при сохранении стабильности результатов, что делает их особенно полезными для задач, связанных с численным моделированием сложных систем.

Подводя итог исследованию разностных формул, можно отметить их значимость для численного анализа, а также выявить основные ограничения, которые необходимо учитывать при их использовании. Возможность адаптации разностных методов к специфике задачи позволяет расширить их область применения, обеспечивая высокий уровень точности и устойчивости.

Список использованных источников

1. Зенков А. В. Численные методы: учебное пособие для вузов. — М.: Издательство Юрайт, 2021. — 122 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-10893-4.

2. Численные методы в физике и технике: учебное пособие / под ред. А. В. Зенкова. — СПб.: Университет ИТМО, 2020. — 200 с. — ISBN 978-5-7577-0731-8.

3. Численные методы: учебное пособие для вузов / Пименов В. Г. — М.: Юрайт, 2024. — 107 с. — ISBN 978-5-534-10891-0.

4. Численные методы: учебное пособие / Лапчик М. П., Рагулина М. И. — М.: ИНФРА-М, 2022. — 381 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI: 10.12737/1021461.

5. Воропаева О. Ф. Основы численного анализа динамических систем: учебное пособие. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2020. — 150 с.