XVII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2025

Введение. Оптимизация — это процесс поиска наилучшего решения при наличии ограничений на ресурсы. В производственных процессах оптимизация помогает минимизировать затраты, ускорить время выполнения операций и использовать ресурсы наиболее эффективно. В условиях ограниченных ресурсов, таких как сырьё, рабочее время и оборудование, важность оптимизации становится особенно актуальной.[5,6]

В современных условиях, когда конкуренция на рынке продуктов питания крайне высокая, оптимизация является ключевым фактором для поддержания прибыльности предприятий. Она позволяет не только снизить производственные издержки, но и улучшить качество продукции, повысить гибкость производства и адаптировать его к изменяющимся рыночным условиям.[4]

Значимость планирования для снижения издержек и повышения эффективности:
Планирование производства необходимо для оптимального распределения ресурсов и минимизации потерь. Для того чтобы сократить затраты и повысить эффективность работы, важно учитывать все доступные ресурсы, их стоимость, а также требования к качеству продукции и скорости её производства. Например, на хлебозаводе оптимизация позволяет точно рассчитать необходимое количество сырья, время работы оборудования и численность персонала, что приводит к значительному снижению издержек.[5,6]

Хорошо спланированное производство позволяет предприятию гибко реагировать на изменения спроса, своевременно удовлетворять потребности рынка и избегать перепроизводства, которое также ведет к лишним расходам.[6]

Примеры оптимизации в пищевой или другой российской промышленности:
В России многие предприятия используют методы оптимизации для повышения конкурентоспособности. Например, на предприятиях молочной промышленности с помощью методов линейного программирования оптимизируют расход сырья и время производства, что помогает повысить доходность. В пищевой промышленности, включая хлебопекарную отрасль, оптимизация с использованием линейного программирования помогает избежать избыточных запасов и излишков продукции, что снижает издержки на хранение и транспортировку.[7,6]

Цель исследования. Целью настоящего исследования является разработка и применение симплекс-метода для оптимизации производственного плана хлебозавода, с целью максимизации прибыли при учёте ограничений на ресурсы, такие как мука, электроэнергия и время работы оборудования. В рамках исследования рассматривается построение математической модели задачи оптимизации, включая целевую функцию и систему ограничений, а также применение симплекс-метода для нахождения оптимальных значений переменных и максимизации прибыли [1, 4, 5, 7].

Материалы и методы исследования. В качестве материала для исследования использовались данные о производственном процессе Омского хлебозавода №1, включая информацию о сырьё (мука, дрожжи), времени работы оборудования и потреблении электроэнергии. Для решения задачи оптимизации использовался симплекс-метод, который является мощным инструментом линейного программирования. Методы исследования включают построение математической модели задачи, формулировку целевой функции и ограничений, а также итерационный процесс поиска оптимального решения с помощью симплекс-метода. Для реализации методов использовалось математическое ПО, обеспечивающее решение задач линейного программирования[6, 7, 9, 10].

Результаты исследования и их обсуждение

Постановка задачи:

Описание производственного процесса:

Омский хлебозавод №1 — одно из крупнейших предприятий в Омской области, специализирующееся на производстве хлебобулочной продукции. Производственные процессы на заводе включают следующие этапы:

1. замес теста: этот процесс начинается с загрузки муки, воды и других ингредиентов в миксеры. Здесь также происходит добавление дрожжей и других добавок для улучшения вкуса и текстуры.

2. формовка и расстойка: изготовленное тесто делится на порции, формируется в определенные изделия (батоны, буханки, багеты) и оставляется для расстойки.

3. выпекание: готовое тесто отправляется в печи, где при температуре 200-250°C происходит выпекание.

4. упаковка и транспортировка: после выпекания хлеб фасуется и отправляется в транспортные контейнеры для доставки в магазины и торговые сети.

Основные ограничения (сырьё, мощность оборудования, персонал)

• сырьё: ограниченные запасы муки, дрожжей и других ингредиентов.

• мощность оборудования: ограничение на количество производимой продукции в зависимости от мощности печей, миксеров и других машин.

• персонал: рабочие, занятые на различных этапах, могут работать только в ограниченном количестве часов в день. [6]

Формализация задачи оптимизации:

Цель задачи — максимизация прибыли при ограниченных ресурсах.

Целевая функция: Максимизация прибыли от продажи хлебобулочных изделий, которая зависит от количества произведенной продукции:

​,

где ​ — количество произведённых единиц пшеничного хлеба, ржаного хлеба и батонов, соответственно, а 18, 22 и 15 — это прибыли от продажи одной единицы продукции.[7]

Теоретическое обоснование симплекс-метода:

Основные принципы и алгоритмы:
Симплекс-метод представляет собой итеративный процесс поиска оптимального решения для задачи линейного программирования. Алгоритм включает несколько ключевых этапов:

1. выбор начального базисного решения.

2. построение симплекс-таблицы на основе исходных значений.

3. итерации, при которых осуществляется переход от текущего решения к следующему, более оптимальному.

4. проверка условий завершения: если нет улучшений по целевой функции, то найдено оптимальное решение. [7,9]

Математическая основа линейного программирования:
Линейное программирование решает задачу вида:

при ограничениях:

и неотрицательности переменных:

[8]

Практическое применение:

Модель оптимизации для выбранного производства:
Для Омского хлебозавода №1 задача оптимизации заключается в максимизации прибыли при учёте ограничений на сырьё, оборудование и рабочее время. Для решения этой задачи применяется метод линейного программирования, что позволяет найти оптимальные значения для количества произведённой продукции с учётом всех ограничений.[9]

Процесс оптимизации включает несколько шагов:

1. определение целевой функции: задача максимизации прибыли, которая зависит от количества произведённой продукции.[1]

2. формулировка ограничений: учитываются все ограничения, такие как доступное количество сырья, время работы оборудования и энергия.[2, 10]

3. решение задачи с помощью симплекс-метода: используется для нахождения оптимального распределения ресурсов и максимизации прибыли. [2, 10]

Этапы решения задачи:

Шаг 1. Формулировка целевой функции

Целевая функция описывает прибыль, которую предприятие получает от продажи хлебобулочных изделий. Пусть:

• ​ — количество произведённого пшеничного хлеба.

• — количество произведённого ржаного хлеба.

• ​ — количество произведённых батонов.

Тогда целевая функция будет:

где 18 ,22, 15 — это прибыли от продажи одной единицы продукции, соответственно для пшеничного хлеба, ржаного хлеба и батонов.[5]

Шаг 2. Построение системы ограничений

Для того чтобы эффективно использовать ресурсы, необходимо учесть несколько ограничений:

1. ограничение по муке:

(кг).

2. ограничение по времени работы оборудования:

(часов).

3. ограничение по электроэнергии:

(кВт∙ч).

4. неотрицательность переменных:

[4, 9]

Шаг 3. Решение задачи методом симплекс

Симплекс-метод — это итерационный метод, который используется для решения задачи линейного программирования. Суть метода заключается в том, чтобы улучшать решение, переходя от одной вершины многогранника к другой, пока не будет найдено оптимальное решение.

1. подготовка симплекс-таблицы: на первом этапе формируется начальная симплекс-таблица на основе исходных данных.

2. проверка оптимальности: если решение не является оптимальным, происходит переход к следующей итерации, где будет улучшаться значение целевой функции.

Итерации. В каждой итерации определяется, какой из факторов (переменных) необходимо увеличить или уменьшить для улучшения решения. После нескольких итераций решается задача, и находят оптимальные значения [2, 8, 10]

Шаг 4. Получение результата

После применения симплекс-метода и нескольких итераций получаем оптимальные значения переменных:

Где ​ — это количество произведённых единиц пшеничного хлеба, ржаного хлеба и батонов соответственно.

Оптимальная прибыль, полученная от этих значений:

Таблица 1: Пример входных данных для задачи оптимизации

[3, 7]

Шаг 5. Анализ результатов

После решения задачи и получения оптимальных значений переменных можно провести анализ результатов. Учитывая полученные данные, предприятие сможет:

• использовать ресурсы (муку, время работы оборудования, электроэнергию) наиболее эффективно.

• повысить прибыль за счёт оптимального распределения продукции.

• снизить затраты и повысить конкурентоспособность на рынке. [5, 9]

Шаг 6. Влияние оптимизации на деятельность предприятия

Оптимизация позволяет предприятию значительно сократить операционные затраты. Улучшение планирования производства приводит к следующим выгодам:

• снижение издержек на сырьё и электроэнергию.

• повышение производительности оборудования.

• сокращение времени на производство и доставку продукции.

• увеличение прибыли, что способствует долгосрочной финансовой стабильности и конкурентоспособности предприятия. [6, 10]

Заключение:

Применение линейного программирования и симплекс-метода позволяет значительно повысить эффективность работы предприятия. Пример Омского хлебозавода №1 показал, как с помощью математических методов можно минимизировать затраты и оптимизировать производственные процессы, обеспечивая предприятиям существенные финансовые выгоды.

Список использованной литературы:

1. Джонсон, Р. Л., Линд, С. С. "Основы линейного программирования". – М.: Высшая школа, 2015.

2. Шарыгин, В. В. "Методы оптимизации: Линейное программирование и симплекс-метод". – СПб.: Питер, 2014.

3. Барц, Л. Р. "Математические методы оптимизации в производственных системах". – М.: Наука, 2017.

4. Гамза, Л. В., Иванова, М. К. "Применение линейного программирования для оптимизации производственных процессов". – М.: МГУ, 2019.

5. Томас, Д. М. "Программирование и оптимизация: Теория и практика". – 3-е издание. – М.: Физматлит, 2018.

6. Селезнёв, С. А. "Математические методы в управлении производственными процессами". – М.: Экономика, 2016.

7. Левин, И. С. "Введение в линейное программирование". – М.: Финансы и статистика, 2014.

8. Панкратов, В. И. "Линейное программирование и его приложения в экономике и производстве". – СПб.: Издательство СПбГУ, 2020.

9. Рыбкин, А. А. "Методы математического моделирования для оптимизации производственных процессов". – М.: ИТД, 2022.

10. Галкин, М. В. "Симплекс-метод в производственном планировании". – М.: Экономика и статистика, 2017.