XVII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2025

Рассмотрим данные скорости легкового автомобиля на участке дороги, полученные с панели прибора автомобиля. Все множество моментов времени движения с определенной скоростью представляет собой генеральную совокупность. Количество моментов движения на участке дороги достаточно велико, поэтому для изучения возьмем случайным образом часть моментов в объеме 30 штук. Отобранная часть будет представлять выборочную совокупность.

Рассмотрим признак Х – скорость (км/ч), а признак Y – ход (л/100км). Определим вид распределения генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона (критерия согласия ꭓ-квадрат).

Для достижения цели выполним ряд дополнительных рассуждений, позволяющих выдвинуть предположение о виде распределения.

По выборке получено следующее эмпирическое распределение для признака X:

xi	10	15	20	30	34	39	40	41	49	52	57	60	66	69	72
ni	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

xi	77	80	85	88	89	97	100	109	120	129	134	140	145	152	160
ni	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Перейдем к соответствующему интервальному вариационному ряду. Для этого по формуле Стерджесса найдем количество интервалов:

.

Получим .

Так как наибольшая скорость равна 160 км/ч, а наименьшая – 10 км/ч, то вся выборка попадет в промежуток (10; 160).

Величина интервала вычисляется по формуле

.

За начало первого интервала примем x₀ =x_min = 10 км/ч, а конец первого интервала– х₁ =x_min+ h = 160 км/ч . Получим последовательность интервалов: [10; 35), [35; 60), …, [135; 160].

Таким образом, интервальное распределение будет иметь вид:

[xi ; xi+1)	[10; 35)	[35; 60)	[60; 85)	[85; 110)	[110; 135)	[135; 160]
ni	5	6	6	6	3	4

Геометрическим представлением интервального распределения является гистограмма частот (рис.).

Рисунок. Гистограмма частот признака X

Вид гистограммы частот напоминает график плотности функции нормального распределения непрерывной случайной величины Х [1]. Поэтому есть основания предполагать, что распределение генеральной совокупности также имеет нормальное распределение.

Эмпирическое распределение для признака Y:

yi	2,2	2,6	3,0	3,6	3,8	4,0	4,1	4,2	5,2	5,4	6,0	6,5	7,0	7,2	7,5
ni	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

yi	8,0	8,3	8,4	8,6	8,9	9,1	9,7	10,4	11,8	12,8	13,6	13,8	15,8	17,3
ni	1	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Перейдем к соответствующему интервальному вариационному ряду. Для этого по формуле Стерджесса найдем количество интервалов: .

Получим .

Так как наибольший расход равен 17,3 л/100км, а наименьший – 2,2 л/100км, то вся выборка попадет в промежуток (2,2; 17,3).

Величина интервала вычисляется по формуле

.

Сделать правильный вывод о виде распределения нам поможет критерий Пирсона (критерий согласия χ-квадрат). Данный критерий позволит ответить на вопрос о том, является ли различия между выборочным и теоретическим распределениями столь незначительными, что они могут быть приписаны лишь случайным факторам [2]. Проверку по критерию Пирсона проведем для признака X, отвечающего за скорость автомобиля.

1. Введем гипотезы:

H₀: генеральная совокупность имеет нормальное распределение.

H₁: генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.

2. Выберем уровень значимости α=0,05.

3. Выберем статистику .

4. Вычислим точечные оценки параметров нормального распределения.

Признак X:

Для этого определим середину каждого интервала в интервальном распределении.

xi	22,5	47,5	72,5	97,5	122,5	147,5
ni	5	6	6	6	3	4

Среднее значение скорости для выборочных данных:

(км/ч);

выборочная дисперсия:

((км/ч)²).

Тогда исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:

или (км/ч).

5. Далее заполним следующую таблицу:

интервал	эмпирическая частота		теоретическая частота
-∞; 35	5	0,1401	4,686	0,314	0,098596	0,0210405
35; 60	6	0,1791	5,322	0,678	0,459684	0,086374
60; 85	6	0,2365	6,78	-0,780	0,6084	0,0897
85; 110	6	0,2177	6,231	-0,231	0,053361	0,0086
110; 135	3	0,1397	4,179	0,019	0,000361	0,00005171
135; +∞	4	0,0869	2,802
	30	1	30			0,20576621

Искомые вероятности попадания значений признака Х в i-й интервал определим по формуле .

Используя таблицы значений функции Лапласа, находим:

;

;

;

;

;

.

В ходе заполнения таблицы мы объединили некоторые теоретические частоты, чтобы их суммарная частота была больше или равна 5. Соответствующие им теоретические частоты также нужно объединить.

Тогда =0,20576621 (см. последний столбец таблицы).

6) Определим критическое значение критерия Пирсона по заданному уровню значимости α =0,05 и числу степеней свободы ν =5-2-1=2, то есть или (0,05;2)=6 по таблице «Критические точки распределения Пирсона ».

Так как , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, то есть гипотеза о нормальном распределении скорости согласуется с опытными данными при уровне значимости α =0,05 [2].

Таким образом, на примере скорости автомобиля авторы работы рассмотрели алгоритм проверки гипотезы о нормальном распределении по критерию Пирсона.

Составим доверительный интервал для истинной скорости легкового автомобиля на участке дороги:

, где

_{Следовательно, скорость легкового автомобиля на участке дороги для всей генеральной совокупности будет принимать значение из промежутка (63,859; 94,461) км/ч.}

Список литературы

1. Агишева Д. К., Матвеева Т.А., Светличная В.Б., Зотова С.А. Методические указания, контрольные работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» [Электронный ресурс]: методические указания / Д. К. Агишева,Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, С. А. Зотова // Сборник «Методические указания». Выпуск 4. – Электрон. текстовые дан.– Волжский: ВПИ (филиал) ВолгГТУ, 2012.

2. Демин С.Е., Демина Е.Л. Математическая статистика : учеб.-метод. пособие / авт.-сост. : С. Е. Демин, Е. Л. Демина ; М-во образования и науки РФ ; ФГАОУ ВО «УрФУ им. первого Президента России Б.Н.Ельцина», Нижнетагил. технол. ин-т (фил.). — Нижний Тагил : НТИ (филиал) УрФУ, 2016. — 284 с.

Код для цитирования: Скопировать