XVII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2025

Корень многочлена представляет собой значение переменной, при котором многочлен становится равным нулю. Уравнения с многочленами — это алгебраические уравнения, в которых неизвестная величина (переменная) входит в виде многочлена [3]. Многочлен — это сумма одночленов, каждый из которых состоит из произведения числового коэффициента и одной или нескольких переменных, возведенных в целые неотрицательные степени.

В данной статье будет рассмотрено сравнении двух распространенных методов нахождения корня многочлена: Феррари [2] и Виета [1], а также проведен сравнительный анализ точности обоих методов, скорости выполнения, а также их преимущества и недостатки.

На основе полученных результатов можно будет сделать выводы о том, какой метод, Феррари или Виета, более предпочтительный в различных ситуациях . Это может помочь людям, в выборе наиболее подходящего метода вычисления корня многочлена для конкретных задач.

Метод Виета (Vieta's formula) – это метод, позволяющий выразить корни многочлена через его коэффициенты [3]. Он был разработан французским математиком Франсуа Виетом в XVI веке и особенно эффективен для нахождения корней многочленов низких степеней, обычно до четвертой степени включительно Он назван в честь Франсуа Виета, который впервые описал его в 1591 году [1].

Пример: Найти корни уравнения

1. сумма корней уравнения равна

2. произведение

3. Теперь нам нужно найти такие два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении 6. Рассмотрим пары чисел: 2 и 3.

4. Сумма:

5. Произведение:

6. Таким образом, корни уравнения:

Таким образом, корнями уравнения являются числа 3 и 2. Для решения уравнений высших степеней метод Виета не подходит, так как он не дает явных формул для нахождения корней [3]. В таких случаях используются другие методы, например, метод Феррари [2].

Метод Феррари (Ferrari) — это метод решения алгебраических уравнений высоких степеней [3]. Он основан на следующих шагах:

Пусть у нас есть уравнение: для его решения необходимо:

1. В уравнении делаем замену . 

2. В результате замены уравнение принимает вид .

3. Для коэффициентов уравнения справедливы равенства

4. Кубической резольвентой для уравнения служит уравнение которое при сокращении на 2 принимает вид: .

5. Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

6. Подставляя значения в формулу, получаем уравнение

7. Подставляя значения в другую формулу, получаем уравнение

8. В завершение, воспользовавшись формулой, из полученных уравнений находим корни исходного уравнения.

Практическое сравнение методов Феррари и Виета: Метод Виета и метод Феррари имеют разные подходы к решению уравнений, и их точность и скорость решения зависит от типа уравнения и способа применения. Чтобы показать различия между этими методами, давайте рассмотрим пример, где метод Виета дает приближенный результат, тогда как метод Феррари приводит к точному решению.

Пример уравнения: Рассмотрим следующее уравнение четвертой степени:

1)Решение методом Виета. Метод Виета основан на том, что если уравнение имеет вид: , то все корни равны a. В нашем случае уравнение можно представить как: . Отсюда следует, что: , x=√5

Таким образом, методом Виета мы получили корни √5 и -√5 Решение методом Феррари

Метод Феррари требует больше вычислений, но обеспечивает точное решение

Шаг 1: Приведение уравнения к каноническому виду

Уравнение уже приведено к каноническому виду, так что переходим к следующему шагу.

Шаг 2: Удаление члена с

Поскольку в нашем уравнении нет члена c , этот шаг пропускается.

Шаг 3: Поиск резольвенты

Для уравнения вида резольвента имеет вид: Подставляем и

Шаг 4: Решение резольвенты

Решим это кубическое уравнение методом Кардано. Получаем корни резольвенты.

Шаг 5: Нахождение корней исходного уравнения

Используя корни резольвенты, решаем соответствующие квадратные уравнения и возвращаемся к исходной переменной x Сравнение результатов Метод Виета дал нам корни √5 и -√5, которые являются приближенными значениями.

Возьмем как пример еще одно уравнение

Метод Феррари:

1. Найти резольвенту уравнения третьей степени, которая связана с исходным уравнением четвертой степени.

2. Решить полученное кубическое уравнение.

3. Использовать корни резольвенты для нахождения корней исходного уравнения.

Этот процесс требует выполнения множества вычислений и занимает значительное количество времени даже для опытного математика.

Метод Виета:

1. Уравнение можно сразу же упростить до , что делает применение метода Виета крайне простым

2. Находим корень , который повторяется четыре раза.

Итог: Метод Феррари требует значительных вычислительных усилий и времени, особенно для уравнений общего вида, потребовалось провести большое количество промежуточных расчетов. Метод Виета оказался гораздо проще и быстрее, поскольку позволил сразу увидеть структуру уравнения и легко определить все корни. Таким образом, для данного конкретного уравнения метод Виета явно предпочтительнее благодаря своей простоте и эффективности.

Теперь сравним скорость решения уравнений обоими методами, так как вручную решая уравнения мы не сможем вычислить потраченное время, используем язык программирования Python для измерения точного времени вычисления.

Метод Феррари:

Метод Виета:

Таким образом, метод Феррари требует больше времени и усилий для решения уравнения. Метод Виета быстрее и проще.

Методы Феррари и Виета представляют собой два различных подхода к решению уравнений. Метод Феррари более точен и сложен, он подходит для решения кубических и уравнений высших степеней. В то время как метод Виета менее точен, но проще и быстрее для решения квадратных уравнений. Выбор между методами зависит от требований к точности решения и доступного времени. Оба метода находят свое применение в различных областях науки и техники (Ширяев, 2019; Ларин, 2022).

Список литературы

1. Эрик В. Ванштейн. Метод Виета // Статья «Википедия». URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B_%D0%92%D0%B8%D0%B5%D1%82%D0%B0 (дата обращения: 14.12.2024).

2. Лодовико Феррари. Метод Феррари // Статья «Википедия». URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%80%D0%B8 (дата обращения: 14.12.2024).

3. Алламурадова, М. К. Алгебраические уравнения и их решения / М. К. Алламурадова, М. А. Гулмурадова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2023. — № 27 (474). — С. 1-4. — URL: https://moluch.ru/archive/474/104803/(дата обращения: 14.12.2024).