XVII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2025

Аппроксимация функции является одной из ключевых задач в вычислительных методах. Она используется для представления сложных функций в более простой форме, что позволяет упростить вычисления и анализ данных. Применение аппроксимации охватывает широкий спектр областей: от инженерии до финансового анализа. В данной работе рассматриваются два часто используемых метода — интерполяция полиномом Чебышёва и интерполяция полиномом Ньютона. Каждый из методов имеет свои особенности, которые определяют его применение в различных областях.

В статье рассматриваются два основных метода аппроксимации функций:

• метод Ньютона

• метод Чебышева.

Метод Ньютона используется для решения нелинейных уравнений и интерполяции функций. Он основан на построении многочленов Ньютона через разделенные разности, что позволяет последовательно добавлять узлы и корректировать аппроксимирующую функцию.

Метод Ньютона использует интерполяционный многочлен Ньютона, который записывается в виде:

Где – разделённые разности, вычисляемые рекурсивно

Преимущества

• Простота реализации.

• Возможность последовательного добавления узлов.

• Высокая точность при равномерном распределении узлов.

Недостатки

• Необходимость пересчета коэффициентов при добавлении новых узлов.

• Меньшая точность при неравномерном распределении узлов.

Пример использования

Рис.1. Метод Ньютона

Метод Чебышёва использует узлы, оптимально расположенные для минимизации максимальной погрешности интерполяции. Эти узлы определяются как корни многочленов Чебышёва первого рода:

,

где k = 0, 1, 2 …, n; [a, b] — интервал интерполяции, n — степень интерполяционного многочлена. Коэффициенты интерполяционного многочлена Чебышёва определяются методом наименьших квадратов или другими методами, например, с помощью матрицы Вандермонда.

Формула интерполяции Чебышева основана на использовании многочленов Чебышева для выбора узлов интерполяции с целью минимизации остаточного члена интерполяции.

Преимущества

• Минимизация максимальной ошибки.

• Высокая устойчивость к изменению данных.

• Хорошая точность при различных типах функций.

Недостатки

• Сложность вычисления коэффициентов полиномов.

• Трудоемкость реализации.

• Меньшая точность при неравномерных данных.

Пример использования

Рис. 2. Метод Чебышёва

Построим фундаментальные полиномы Лагранжа для найденных узлов Чебышева:

Таким образом,

Коэффициенты полинома Чебышева (степени 8): [-2367,499 ; -385,342].

Для сравнения методов аппроксимации функции были использованы следующие критерии:

• Точность. Метод Чебышева обеспечивает минимальную максимальную ошибку и высокую устойчивость к распределению данных. Метод Ньютона показывает хорошие результаты при равномерном распределении узлов.

• Вычислительная сложность. Метод Ньютона обладает наименьшей вычислительной сложностью и простотой реализации. Метод Чебышева также требует значительных вычислительных ресурсов для нахождения коэффициентов полиномов.

• Стабильность. Метод Чебышева демонстрирует высокую устойчивость благодаря минимизации максимальной ошибки. Метод Ньютона чувствителен к выбросам и изменению данных.

В результате проведенного анализа было установлено, что:

• Метод Чебышева является предпочтительным для задач, требующих минимальной максимальной ошибки и высокой устойчивости.

• Метод Ньютона обеспечивает простую и эффективную аппроксимацию при равномерном распределении узлов.

Таким образом, выбор метода интерполяции зависит от конкретной задачи. Если требуется высокая устойчивость к погрешностям и минимизация колебаний за пределами интервала интерполяции, предпочтительнее метод Чебышёва. Если же важна простота реализации и удобство добавления новых точек, предпочтительнее метод Ньютона. В некоторых случаях, особенно при большом количестве точек, могут быть использованы другие методы, например сплайны, для обеспечения большей устойчивости и точности. Необходимо тщательно проанализировать данные и требования к результатам, чтобы определить наиболее подходящий метод интерполяции для конкретной задачи.

Список литературы

1. Кобельков Г.М. Численные методы часть 1 / Г.М. Кобельков. - Текст электронный: Москва: механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, - 87 с. - URL: https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/numerical-methods-part-1-M.pdf (дата обращения: 30.11.2024).

2. Ф.Г. Авхадиев, Р.К. Губайдуллина, Р.Г. Насибуллин Учебно-методическое пособие по численным методам анализа. / Ф.Г. Авхадиев, Р.К. Губайдуллина, Р.Г. Насибуллин – Текст: электронный // Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2019. – 113 с. – URL: https://kpfu.ru/staff_files/F1947724999/ChMA.pdf