XVII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2025

Постановка проблемы. В современных экономических исследованиях часто возникает необходимость моделирования динамических процессов, как экономический рост, потребление и инфляция. Традиционные методы анализа не всегда позволяют точно предсказать поведение этих систем. В связи с этим, использование дифференциальных уравнений, в частности численных методов решения, становится актуальным для создания более точных и надежных моделей.

Цель статьи. Исследование применения методов Эйлера и Рунге-Кутты для моделирования экономических процессов. В частности их эффективности и точности при прогнозировании динамики экономического роста. Преимущества и недостатки каждого метода.

Основная часть. Дифференциальные уравнения играют важную роль в моделировании экономических процессов, поскольку они позволяют описать динамические системы, изменения которых происходят во времени. В экономике многие явления, как рост производства, инфляция, безработица, потребление, инвестиции, зависимы от изменения различных факторов в течение времени. Дифференциальные уравнения становятся мощным инструментом для их анализа и предсказания будущих состояний.

Давайте для начала рассмотрим несколько ключевых моделей дифференциальных уравнений, которые примененяются в экономическом моделировании:

• Модель Солоу. Разработанная Робертом Солоу в 1956 году. Она описывает, как накопление капитала, труд и технологический прогресс влияют на долгосрочный экономический рост. Основные компоненты модели включают производственную функцию, которая связывает выпуск с капиталом и трудом, и уравнение накопления капитала, которое показывает, как инвестиции и амортизация влияют на капитал. Модель Солоу используется для анализа факторов, влияющих на экономический рост, и для разработки экономической политики, направленной на повышение уровня жизни. В этой модели основное дифференциальное уравнение связывает изменения в капитале (инвестиции и амортизация) с ростом производства. Это уравнение позволяет изучить долгосрочные тенденции роста и устойчивости экономики. ^{[1] [2] [3]}

где k — капитал, I — инвестиции, δ — коэффициент амортизации.

Рис. 1. Исходная модель Солоу

• Ещё один пример модель Харрода-Домара, дифференциальное уравнение для вычислений динамики потребления, описания изменений в потреблении и капитале во времени, широко применяется для моделирования в экономике имеет вид:

где G — темпы экономичекого роста, S — доля сбережений в национальном доходе, C — коэффициент капиталоемкости (основной капитал деленный на выпуск продукции). ^{[4] [5]}

Рис. 2. Модель Харрода-Домара

• Уравнение Фишера (для низких уровней инфляции):

где i — номинальная процентная ставка, r — реальная процентная ставка, а π — уровень инфляции. ^[6]

Метод Рунге-Кутты является одним из наиболее популярных численных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Он широко применяется в экономике для моделирования различных динамических процессов.

Метод Эйлера — это один из самых простых и базовых численных методов для решения дифференциальных уравнений. Он используется для аппроксимации решения начальных задач, когда нужно найти значение функции y(t) в момент времени t, зная её значение в начальный момент времени t₀.

Рис. 3. Геометрическая интерпритация метода Эйлера

Применение для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:

метод Эйлера аппроксимирует значение y(t) в момент времени t_n+1 через значение функции в предыдущем шаге y_n:

​ где h — шаг по времени (размер шага), t_n = t₀ + n ⋅ h — текущий момент времени.

Метод Эйлера используется для моделирования простых экономических процессов, таких как рост капитала, изменения потребления или сбережений, где точность не всегда критична, и возможно использование больших шагов по времени. ^{[7] [8]}

Метод Рунге-Кутты — это более сложный и точный численный метод для решения дифференциальных уравнений, который включает в себя несколько промежуточных оценок значений функции для вычисления следующего шага. Наиболее часто используется метод Рунге-Кутты 4-го порядка, который обладает хорошим соотношением точности и вычислительных затрат.

Рис. 4. Склоны, используемые по классическому методу Рунге-Кутты

Для решения дифференциального уравнения:

метод Рунге-Кута 4-го порядка аппроксимирует y(t) через несколько промежуточных шагов:

Вычисляются четыре промежуточных значения (которые оценивают наклон функции на разных уровнях t в пределах шага):

Затем новое значение вычисляется как взвешенная сумма этих значений:

Метод Рунге-Кута 4-го порядка часто используется для моделирования более сложных экономических процессов, где требуется высокая точность и стабильность, например, в моделях, описывающих долгосрочный экономический рост, оптимизацию потребления и сбережений, а также в расчетах для сложных финансовых моделей. Он применим в ситуациях, когда экономические данные или условия изменяются быстро и необходимо учитывать точные изменения со временем. ^{[9] [10]}

Давайте рассмотрим пример – моделирование накопления капитала в модели экономического роста, теперь с использованием метода Эйлера и Рунге-Кутты 4-го порядка.

Метод Эйлера. Модель можно описать дифференциальным уравнением следующего вида:

где K(t) — капитал в момент времени, I(t) — инвестиции, δ — коэффициент амортизации, t — время.

Допустим, что инвестиции I(t)— это постоянное значение, I=5000 рублей в год, а амортизация капитала δ=0.1 (10% в год). Условия задачи:

• Начальная сумма капитала K(0)=10,000 рублей,

• Темп накопления капитала I=5000 рублей в год,

• Амортизация δ=0.1,

• Срок моделирования 10 лет.

Метод Эйлера использует приближённое решение для каждого шага времени, используя формулу:

где h — шаг по времени. Пусть шаг h = 1 год, чтобы рассчитывать капитал по годам.

Год 1:

Год 2:

Год 3:

Год 4:

Год 5:

Год 6:

…

После 10 лет сумма капитала будет приближённо равна K(10) ≈ 67899.55 рублей.

Метод Рунге-Кутты. Дифференциальное уравнение, описывающее динамику капитала:

где K(t) — капитал в момент времени, I — инвестиции, δ — коэффициент амортизации, t — время.

Для уравнения данного схемы вычислений будут следующими:

Обновление значения K(t + h):

где K_n — капитал в момент времени, h — шаг по времени (в нашем случае 1 год).

Теперь обновим капитал:

Теперь повторим расчеты для следующего шага:

Снова обновим капитал:

…

Применив метод Рунге-Кутты для всех шагов, итоговая сумма капитала через 10 лет составит около 72899.56 рублей.

Далее воспользовавшись интернет-ресурсом – калькулятором инвестиций мы можем построить 2 диаграммы, чтобы посмотреть насколько сильны результаты отклонений при использовании этих методов.

Рис. 5. Диаграмма соотношений конечной суммы ^[11]

Рис. 6. Диаграммы по результатам методов Эйлера и Рунге-Кутты

Выводы. По результатам расчетов становится ясно, что методы Эйлера и Рунге-Кутты имеют гораздо более меньшую точность чем предназначенные для подсчета инвестиций формулы. В то время как начальная сумма (10000) и сумма пополнений (50000) не меняется, сумма дохода имеет различия:

Метод	Доход	Погрешность
Эйлера	7899.55	в 4 раза меньше
Рунге-Кутты	12899.56	в 2.5 раза меньше
Калькулятор инвестиций	32500	—

Таблица 1. Результаты подсчетов

Чтобы повысить точность результатов необходимо уменьшить h — шаг по времени, но тогда вычисления будут занимать гораздо больше времени. Теперь мы можем построить таблицу для сравнения этих двух методов:

Характеристика	Метод Эйлера	Метод Рунге-Кутты
Точность	низкая	средняя
Сложность вычислений	простая реализация	требуется больше вычислений
Устойчивость	не устойчив для больших шагов	более устойчив к жестким уравнениям
Применимость	простые модели, когда точность не критична	более сложные и динамичные модели
Вычислительная нагрузка	низкая	высокая

Таблица 2. Сравнение эффективности методов Эйлера и Рунге-Кутты

Литература

1. Модель Р. Солоу: Модель экономического роста Р. Солоу — неоклассическая модель [Электронный ресурс] URL: https://economics.studio/ekonomicheskaya-teoriya/model-solou-86443.html (дата обращения: 28.11.2024)

2. Модель Солоу [Электронный ресурс] URL: https://spravochnick.ru/ekonometrika/model_solou/ (дата обращения: 28.11.2024)

3. Модель Солоу. Экономический рост [Электронный ресурс] URL: https://finzz.ru/model-solou.html (дата обращения: 28.11.2024)

4. А. П. Черняев ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ Учебно-методическое пособие // Москва: МФТИ. 2019. С. 5-6.

5. Адамян Л.М. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ [Электронный ресурс] URL: https://scienceforum.ru/2016/article/2016019393 (дата обращения: 28.11.2024)

6. Уравнение Фишера - Альт-Инвест [Электронный ресурс] URL: https://www.alt-invest.ru/lib/fisher_equation/ (дата обращения: 28.11.2024)

7. Метод Эйлера [Электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0 (дата обращения: 29.11.2024)

8. Уравнение Эйлера: метод решения дифференциальных уравнений URL: https://fb.ru/article/488494/2023-uravnenie-eylera-metod-resheniya-differentsialnyih-uravneniy (дата обращения: 29.11.2024)

9. Метод Рунге — Кутты [Электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%A0%D1%83%D0%BD%D0%B3%D0%B5_%E2%80%94_%D0%9A%D1%83%D1%82%D1%82%D1%8B (дата обращения: 30.11.2024)

10. Метод Рунге-Кутта: решение дифференциальных уравнений и их систем [Электронный ресурс] URL: https://fb.ru/article/488258/2023-metod-runge-kutta-reshenie-differentsialnyih-uravneniy-i-ih-sistem (дата обращения: 30.11.2024)

11. Инвестиционный калькулятор сложных процентов с пополнением [Электронный ресурс] URL: https://calcus.ru/kalkulyator-investicij?ysclid=m46tn2bsee146153993 (дата обращения: 01.12.2024)

APPLICATION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS IN MODELING ECONOMIC PROCESSES

Yakomaskina T.A., bakalavr, tana0yakov@yandex.ru

Nauchnyj rukovoditel: Pokusa T.V., st. prepodavatel,

tamilapokusa@mail.ru

Annotation

This article discusses the application of differential equations in modeling economic processes, with an emphasis on numerical methods of solution: the Euler method and the Runge-Kutta method.

Keywords: differential equations, economic modeling, Euler's method, Runge-Kutta method, economic growth, investment, numerical solution.

Referenses

1. R. Solow's Model: R. Solow's model of economic growth is a neoclassical model [Electronic magazine] URL: https://economics.studio/ekonomicheskaya-teoriya/model-solou-86443.html (date of reference: 28.11.2024)

2. The Solow model [Electronic magazine] URL: https://spravochnick.ru/ekonometrika/model_solou/ (date of reference: 28.11.2024)

3. The Solow model. Economic growth [Electronic magazine] URL: https://finzz.ru/model-solou.html (date of reference: 28.11.2024)

4. A. P. Chernyaev EXACT SOLUTIONS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF SOME MODELS OF ECONOMIC DYNAMICS Educational and methodical manual // Moscow: MIPT. 2019. P. 5-6.

5. Adamyan L.M. THE USE OF DIFFERENTIAL EQUATIONS IN ECONOMIC DYNAMICS [Electronic magazine] URL: https://scienceforum.ru/2016/article/2016019393 (date of reference: 28.11.2024)

6. The Fischer-Alt-Invest Equation [Electronic magazine] URL: https://www.alt-invest.ru/lib/fisher_equation/ (date of reference: 28.11.2024)

7. Euler's method [Electronic magazine] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0 (date of reference: 29.11.2024)

8. The Euler equation: методрешениядифференциальныхуравнений URL: https://fb.ru/article/488494/2023-uravnenie-eylera-metod-resheniya-differentsialnyih-uravneniy (date of reference: 29.11.2024)

9. The Runge — Kutta method [Electronic magazine] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%A0%D1%83%D0%BD%D0%B3%D0%B5_%E2%80%94_%D0%9A%D1%83%D1%82%D1%82%D1%8B (date of reference: 30.11.2024)

10. The Runge-Kutta method: solving differential equations and their systems [Electronic magazine] URL: https://fb.ru/article/488258/2023-metod-runge-kutta-reshenie-differentsialnyih-uravneniy-i-ih-sistem (date of reference: 30.11.2024)

11. Investment calculator of compound interest with replenishment [Electronic magazine] URL: https://calcus.ru/kalkulyator-investicij?ysclid=m46tn2bsee146153993 (date of reference: 01.12.2024)

Код для цитирования: Скопировать