XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Теоретические сведения

Численные методы - это группа методов, которая широко используются для нахождения приближенного способа решения математических задач. Нередко встречаются задачи, которые трудно или даже невозможно решить аналитически, поэтому для их решения применяются численные методы.

На практике редко когда удаётся вычислить определённый интеграл, т.к. он не всегда может выражаться. Конкретно численное интегрирование применяется когда подынтегральная функция задана таблицей экспериментально полученных значений или первообразную функции не всегда удается выразить через простые функции. Подынтегральная функция заменяется на более простую, обеспечивающую заданную точность, вычисление интеграла для которой не составляет труда. При решении любой задачи эффективность один из наиболее важных критериев оценки метода.

Метод средних прямоугольников

Метод средних прямоугольников, или как его называют метод прямоугольника, считается самым простым для понимания. Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на равные отрезки. Чем больше этих отрезков, тем точнее будет решение. Далее вычисляется шаг разбиения по формуле:

, где a, b - границы отрезка интегрирования, n - кол-во разбиений на отрезке.

На каждом отрезке строится прямоугольник. Затем вычисляется площадь каждого прямоугольника и все они складываются. Итоговая формула метода прямоугольника представлена ниже:

Помимо метода средних прямоугольников также существует метод правых и левых прямоугольников. Он отличается тем, что в методе средних прямоугольниках в качестве значения подынтегральной функции берется её значение в середине отрезка. В свою очередь при решении методом правых прямоугольников берётся значение в правом конце отрезка, по аналогии для метода левых прямоугольников - левый конец отрезка.

Так как объём вычислений во всех 3 модификациях примерно одинаков, то на практике применяется метод средних прямоугольников.

Метод трапеции

Идея аналогична ранее рассмотренному методу. Отрезок интегрирования разбивается на более маленькие отрезки, а график подынтегральной функции строится с помощью кривой линии. Искомая площадь будет примерно равна сумме площадей построенных трапеций. Формула метода трапеций:

, где

h - шаг, f(x_i) - значения подынтегральной функции в точках.

Метод Симпсона (парабол)

Общая идея решения схожа с методом трапеций. В методе Симпсона применяется интерполирующий полинов второй степени, поэтому отрезок интегрирования разбивается на строго чётное кол-во отрезков n = 2m. Для применения метода Симпсона необходимо знать значения функции в трех точках: начале интервала , середине интервала и конце интервала. Затем, используя эти значения, можно построить параболу, которая будет аппроксимировать функцию на данном интервале. [3]

Формула Симпсона имеет следующий вид:

где h - шаг, f(x_i) - значения подынтегральной функции в точках.

Данный метод считается улучшенной версией ранее рассмотренных методов, т.к. он учитывает значение функции в начале, середине и конце отрезка.

Практическая часть

Для оценки эффективности было решено написать программы на языке С++ в среде программирования Visual Studio 2022. Для реализации всех методов был написан класс Func, реализующий функцию y = 4x⁴ - 5x² + 1.

Рисунок 1 - класс Func

Рисунок 2 - решение методом прямоугольников

Рисунок 3 - решение методом трапеции

Рисунок 4 - решение методом Симпсона

Для оценки эффективности возьмем простейшее биквадратное уравнение y = 4x⁴ - 5x² + 1 c числом отрезков разбиения равным 100, пределы интегрирования [-1; 1] и представим результаты в виде таблицы. Также для метода Симпсона указывается допустимая погрешность равная 0,001. Значение интеграла, вычисленное аналитически = 0,266667.

Таблица 1

Проанализировав полученные результаты, приходим к выводу что метод Симпсона дал наилучшие результаты по эффективности при заданных условиях. Это связано с тем что, метод Симпсона является модификацией предыдущих методов.

Посмотрим как будет меняется число операций при увеличении числа разбиений для метода средних прямоугольников и трапеций и при увеличении точности для метода Симпсона. По графику (рисунок 4) видно, что если сравнивать первые 2 метода, то методу трапеций требуется меньше операций.

Рисунок 4 - сравнение по числу операций для метода средних прямоугольников и метода трапеции

У метода Симпсона увеличение числа операций лучше прослеживается по отношению к требуемой точностью (рисунок 5). Видно, что число операций в какой-то момент уравнивается, а потом снова возрастает.

Рисунок 5 - график соотношения числа разбиений к числу операций для метода Симпсона

Заключение

В данной статье был рассмотрен принцип действия метода прямоугольников (метод средних прямоугольников), метода трапеций и метода Симпсона.

Можно сделать вывод, что метод Симпсона показал наилучший результат независимо от увеличения степени точности, так как данный метод имеет более совершенный алгоритм.

В заключении можно сказать, что численные методы - это мощный инструмент для решения сложных математических задач, где трудно применить аналитические методы вычисления. Среди главных преимуществ численных методов надо другими можно выделить: возможность считать трудные задачи с требуемой точностью, они применяются для большого спектра задач и найдут свое место в таких областях как физика, инженерия и многие другие. Также на основе численных методов можно строить более сложные алгоритмы и модели.

Список литературы

1. Гулин А.В., Мажорова О.С., Морозова В.А. Введение в численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. пособие.. - Москва: :АРГАМАК-МЕДИА, 2014. - 368 с.

2. Зенков А.В. Численные методы: учебное пособие. - Екатеринбург: Урал, 2016. - 124 с.

3. Метод Симпсона: простое объяснение и практическое применение // Научные статьи. Ру URL: https://nauchniestati.ru/spravka/metod-simpsona/(дата обращения: 10.02.2024).

4. Волков Е.А. Численные методы: учебное пособие для вузов. - 2-е изд. - Москва: Наука, 1987. - 248 с.

5. Метод прямоугольников // mathprofi URL: http://mathprofi.ru/metod_prjamougolnikov.html(дата обращения: 25.02.2024).