XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Активный эксперимент проводится по заранее составленному плану, в соответствии с которым ставится задача не только определения оптимальных условий проведения эксперимента, но и оптимизации процесса. При определении оптимальных условий проведения процесса с использованием эмпирических моделей (например, методом Бокса-Вильсона) выходная переменная ŷ является критерием оптимальности или целевой функцией.
В теории активного эксперимента выходную (зависимую) переменную принято называть функцией отклика, а входные (независимые) переменные — факторами. Соответственно — координатное пространство с координатами (x₁, x₂, ...x_m ) — факторным пространством, а геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве – поверхностью отклика.
Активный эксперимент планируется таким образом, чтобы упростить обработку его результатов методами регрессионного и корреляционного анализа.

Цель данной работы - показать как на основе теории активного эксперимента и экспериментальных данных можно получить стохастическое математическое описание процесса в виде уравнения регрессии. Для этого необходимо:

• составить матрицу планирования эксперимента 2-го порядка для двух входных переменных Х₁ и Х₂ и реализовать машинный эксперимент на модели (черный ящик);

• разработать Matlab-программу для расчета коэффициентов регрессии;

• оценить адекватность полученного математического описания путем сравнения экспериментальных и расчетных данных по критерию Фишера;

• построить поверхность отклика (объемный график)- f(x1,x2). Исходные данные.

• интервал изменения Х₁        60 £ Х₁ £ 90;

• интервал изменения Х₂         10 £ Х₂ £ 40.

В области факторного пространства, в которой линейная модель, получаемая планированием первого порядка, неадекватна, доминирующими являются коэффициенты, описывающие эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты. Для адекватного описания этой области факторного пространства необходимо использовать нелинейные полиномы, поскольку функция отклика в данной области имеет экспериментальный характер. Эта область обычно называется почти стационарной.

В настоящее время наиболее широко для описания области, близкой к экстремуму, применяются полиномы второго порядка. Это связано с тем, что, во-первых, имеются хорошо разработанные планы второго порядка; во-вторых, с тем, что поверхности второго порядка легко поддаются систематизации и, следовательно, определению экспериментальной точки.

1. Составление матрицы планирования эксперимента

Предположим, что некоторое устройство («чёрный ящик») преобразует входной вектор X = [Х₁; Х₂] в выходную скалярную величину Y по неизвестному исследователю «чёрного ящика» закону. Будем считать, что исследователь на основе практических опытов имеет основание полагать, что «чёрный ящик» даёт функциональную зависимость в виде квадратичной формы:

Y = a X₁² + b X₂² + c X₁X₂ + d X₁ + e X₂ + f (1)

При этом имеются случайные отклонения величины Y.

Для получения матрицы планирования воспользуемся системой Matlab и ее командой cordexch(n,m,’model’), которая позволяет разработать D оптимальный трехуровневый план.

Формат записи: [x,xs]=cordexch(n,m,’model’), где

n = 2 – число входных переменных;

m = 9 – число опытов (выбрано произвольно, чем больше экспериментов, тем лучше);

’model’ = ‘quadratic’ – в соответствии с предполагаемой функциональной зависимостью;

[x,xs] – возвращаемые функцией cordexch план эксперимента (х) и расширенная матрица для расчета коэффициентов (xs).

Чтобы воспользоваться функцией cordexch, нужно исходные данные преобразовать в безразмерные величины по формулам

где Х_i⁰ – среднее значение i-й входной переменной;

h_i – интервал изменения i-й входной переменной относительно среднего значения.

Х₁⁰ = (90 + 60)/2 = 75; h₁ = (90 – 60)/2 = 15;

Х₂⁰ = (40 + 10)/2 = 25; h₂ = (40 – 10)/2 = 15.

В безразмерных системах кодирования всегда верхний уровень фактора +1, нижний -1, центр 0.

План проведения эксперимента также называют матрицей планирования. Матрица планирования обладает следующими общими свойствами:

• Сумма столбцов по каждому Х равно 0;

• Сумма столбцов скалярных произведений равно 0;

• Сумма столбцов квадратов Х равно 0.

Проверка адекватности уравнения регрессии (ПФЭ) проводится так же, как и при проведении пассивного эксперимента, с использованием табличного значения критерия Фишера. Для проверки адекватности составляется следующее соотношение:

где – дисперсия адекватности, k – число входных переменных, N – число опытов.

Если полученное отношение оказывается меньше табличного – уравнение адекватно.

Результат выполнения в командной строке:

>> [x,xs]=cordexch(2,10,'quadratic')

x =

-1 -1

1 1

1 -1

-1 1

1 0

-1 0

0 1

0 -1

0 0

-1 -1

xs =

1 -1 -1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 -1 -1 1 1

1 -1 1 -1 1 1

1 1 0 0 1 0

1 -1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1

1 0 -1 0 0 1

1 0 0 0 0 0

1 -1 -1 1 1 1

Примечание. При каждом запуске программы cordexch может быть сгенерирована другая матрица.

В матрице планирования «1» означает максимальное значение переменной, «0» - среднее значение, а «-1» минимальное значение. Далее все входные сигналы предполагаем преобразованными в безразмерные величины, изменяющиеся в интервале [-1;1].

2. Реализация машинного эксперимента

Построим следующую модель «черного ящика» :

Рис. 1. Модель «черный ящик»

Поочередно подавая на вход «черного ящика» строки вектора x, сформируем выходной вектор Y.

Y =

17.9525

-3.8475

31.7525

3.5525

9.7525

6.5525

-2.6475

22.3525

5.6525

3. Разработка Matlab-программы для расчета коэффициентов регрессии и построения графиков.

Программа для расчета коэффициентов регрессии и построения графиков представлена в файле b_reg.m:

[k,n]=size(xs);

b=regress(Y,xs); %вычисление коэффициентов регрессии

yr=xs*b; %расчет выходного сигнала по уравнению регрессии

dy1=(Y-yr).^2;

sad=sum(dy1)/(n-k); %расчет дисперсии адекватности

ys=mean(Y);

dys=(Y-ys).^2;

ssr=sum(dys)/(n-1); %расчет дисперсии относительно среднего

fisher=ssr/sad; %расчет критерия Фишера

disp('koeff f, d, e, c, a, b'); %индикация результатов

disp(b);

disp('experiment & ras4et');

disp('Y yr Y-yr');

disp([Y yr Y-yr]);

disp('');

disp('sad ssr');

disp([sad ssr]);

disp('Fisher');

disp(fisher);

%построение трехмерного графика

[x1,x2]=meshgrid([-1:0.1:1]); %задание сетки х1,х2

gr_Y=b(1)+b(2)*x1+b(3)*x2+b(4)*x1.*x2+b(5)*x1.^2+b(6)*x2.^2;

surf(x1,x2,gr_Y);box;

grid on

xlabel('x1'); %подписи осей

ylabel('x2');

zlabel('Y');

title ('otklik'); %заголовок графика

%построение плоского графика Y=f(x1)

figure;

hold on;

grid on;

x11=[-1:0.01:1];

plot(x11,gr_x1x2(x11,-1,b),x11,gr_x1x2(x11,0,b),x11,gr_x1x2(x11,1,b));

legend('x2=-1','x2=0','x2=1'); %задание легенды – подписи где какая линия

xlabel('x1');

ylabel('Y');

title ('Y=f(x1)');

%построение плоского графика Y=f(x2)

figure;

hold on;

grid on;

%здесь запоминается идентификатор графика, потому что линии при х1=-1 и х1=1 совпали

hplot=plot(x11,gr_x1x2(-1,x11,b),x11,gr_x1x2(0,x11,b),x11,gr_x1x2(-1,x11,b));

legend('x1=-1','x1=0','x1=1');

xlabel('x2');

ylabel('Y');

title ('Y=f(x2)');

%чтобы проявить первую линию, её график делаем толще

set(hplot(1),'linewidth',3);

Для сокращения объема кода функция вычисления выходных значений оформлена m-файлом gr_x1x2.m:

function f = gr_x1x2(x11,x12,b)

f=b(1)+b(2)*x11+b(3)*x12+b(4)*x11.*x12+b(5)*x11.^2+b(6)*x12.^2;

Результаты работы:

>> koeff f, d, e, c, a, b

5.6525

1.6000

-12.5000

-5.3000

2.5000

4.2000

experiment & ras4et

Y yr Y-yr

17.9525 17.9525 0.0000

-3.8475 -3.8475 0.0000

31.7525 31.7525 0

3.5525 3.5525 0.0000

9.7525 9.7525 0.0000

6.5525 6.5525 0.0000

-2.6475 -2.6475 0.0000

22.3525 22.3525 0

5.6525 5.6525 0.0000

sad ssr

-0.0000 233.6450

Fisher

-1.8101e+030

>>

Дисперсия адекватности практически равна нулю, а критерий Фишера меньше табличного – полученное математическое описание эксперимента адекватно.

Рис. 2. Функция отклика

Рис. 3. График линий равных уровней

Выводы:

В результате работы был проведен активный эксперимент на модели «черный ящик», разработана Matlab-программа для расчета коэффициентов в уравнении регрессии, рассчитан критерий Фишера и сделано суждение об адекватности полученного уравнения, а так же построены график отклика (рис.2) и линий равных уровней (рис. 3).

Уравнение регрессии для составленной матрицы планирования:

у = 5,15 +1,6x1-15,5x2-5,3x1x2+2,5 x1²+4,2x2².

Код для цитирования: Скопировать