XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Квадратура Гаусса-Кронрода является расширением квадратуры Гаусса, которая обеспечивает апостериорную оценку погрешности для интеграла.

Идея гауссовой квадратуры состоит в том, чтобы выбрать узлов и весов таким образом, чтобы многочлены порядка были точно интегрированы. Однако интегрирование многочленов тривиально, поэтому оно редко выполняется численными методами. Вместо этого трансцендентные и численно определенные функции интегрируются с помощью квадратуры Гаусса, и определяющей проблемой становится то, как оценить остаток. Квадратура Гаусса сама по себе (без какой-либо формы разделения интервалов) не может ответить на этот вопрос [1].

Можно вычислить гауссову квадратуру порядка и другую порядка и использовать разницу в качестве оценки погрешности. Однако это не оптимально, поскольку нули полиномов Лежандра (узлов квадратуры Гаусса) никогда не бывают одинаковыми для разных порядков, поэтому необходимо выполнить вычисления функций [11]. Кронрод рассмотрел проблему того, как чередовать узлы в квадратуре Гаусса таким образом, чтобы все предыдущие оценки функции можно было использовать повторно, увеличивая при этом порядок полиномов, которые могут быть точно интегрированы. Это позволяет получить апостериорную оценку ошибки при сохранении экспоненциальной сходимости. Кронрод обнаружил, что, добавляя узлы (вычисленные по нулям полиномов Лежандра-Стилтьеса) к гауссовой квадратуре порядка n, он может интегрировать полиномы порядка .

Метод Гаусса-Кронрода является численным методом интегрирования, который широко используется для вычисления определенных интегралов [6]. Этот метод основан на аппроксимации подынтегральной функции с помощью полиномов и расчете интеграла с использованием узловых точек и коэффициентов Гаусса-Кронрода.

Процесс интегрирования с использованием метода Гаусса-Кронрода начинается с выбора степени интерполяционного полинома, который наилучшим образом аппроксимирует функцию на заданном интервале интегрирования. Затем узловые точки и коэффициенты Гаусса-Кронрода используются для вычисления значения интеграла.

Этот метод обеспечивает высокую точность вычислений интегралов и может быть эффективно применен для вычисления сложных интегралов, которые не могут быть вычислены аналитически. Однако он требует больше вычислительных ресурсов и времени, по сравнению с другими численными методами, такими как метод прямоугольников или метод трапеций.

Проблема численного интегрирования заключается в аппроксимации определенных интегралов вида [4]:

Такие интегралы могут быть аппроксимированы, например, с помощью точечной квадратуры Гаусса:

где - это веса и точки, в которых нужно оценивать функцию .

Если интервал подразделяется, точки оценки Гаусса новых подинтервалов никогда не совпадают с точками оценки предыдущих (за исключением средней точки для нечетного числа точек оценки), и, таким образом, подынтегральное выражение должно оцениваться в каждой точке. Формулы Гаусса–Кронрода являются расширениями квадратурных формул Гаусса, полученных путем добавления таким образом, чтобы полученное правило имело порядок ; соответствующее правило Гаусса имеет порядок [5].

Эти дополнительные точки являются нулями полиномов Стилтьеса. Это позволяет вычислять оценки более высокого порядка при повторном использовании значений функций оценки более низкого порядка. Разница между квадратурным правилом Гаусса и его расширением Кронрода часто используется в качестве оценки ошибки аппроксимации.

Популярный пример объединяет правило Гаусса из 7 пунктов (узлов) с правилом Кронрода из 15 пунктов (узлов). Поскольку точки Гаусса включены в точки Кронрода, требуется всего 15 оценок функции [3,8]:

Таблица 1

Сравнительная характеристика правила Гаусса и правила Кронрода

Затем интеграл вычисляется по правилу Кронрода и погрешность может быть оценена как . Для произвольного интервал положения узлов и веса масштабируются до интервала следующим образом: [2], где вычисляется по формуле, указанной для аппроксимации точечной квадратуры Гаусса.

Паттерсон показал, как находить дальнейшие расширения этого типа, Пьессенс и Монегато предложили улучшенные алгоритмы, и, наконец, наиболее эффективный алгоритм был предложен Лори. Рассчитаны и сведены в таблицу коэффициенты четырехкратной точности (34 десятичных знака) для и других, где индексы указывают на количество пунктов правила Гаусса, а количество пунктов в правиле Кронрода.

Библиотеки gsl и SLATEC для вычисления определенных интегралов содержат подпрограммы, использующие метод Гаусса-Кронрода по 15, 21, 31, 41, 51 и 61 узловым точкам. Это позволяет получить метод с порядком точности, равным числу точек, используемых в методе [10].

Однако, стоит отметить, что метод Гаусса имеет недостаток: он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интегрирования.

Из предоставленных результатов поиска можно сделать вывод, что метод Гаусса-Кронрода может использоваться для численного интегрирования в различных областях, включая математику, физику, инженерию и экологию. Например, в работе [7] рассматриваются основные методы численного интегрирования, включая формулы Гаусса-Кристоффеля, а также применение метода Гаусса-Кронрода для решения задач в электрических цепях. В книге [9] рассматривается использование метода Гаусса-Кронрода для моделирования функций поверхности и измерения их объема в экологических и строительных технологиях.

Таким образом, метод Гаусса-Кронрода является универсальным методом численного интегрирования, который может быть применен в различных областях науки и техники.

Список литературы

1. Boutayeb A., Chetouani A., “A numerical comparison of different methods applied to the solution of problems with non local boundary conditions”, Appl. Math. Sci., 1:44 (2007), 2173–2185

2. Boutayeb A., Chetouani A., “Global Extrapolations Of Numerical Methods For Solving A Parabolic Problem With Non Local Boundary Conditions”, Intern. J. Comp. Math., 80:6 (2003), 789–797

3. Keller H. B., “Accurate difference methods for nonlinear two-point boundary value problems”, SIAM J. Numer. Anal., 11:2 (1974), 305–320

4. Keller H. B., “Numerical solution of boundary value problems for ordinary differential equations: Survey and some resent results on difference methods”, Numerical Solutions of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations, Part I: Survey Lectures, ed. A. K. Aziz, Academic Press, New York, 1975, 27–88

5. Lentini M., Pereyra V., “A variable order finite difference method for nonlinear multipoint boundary value problems”, Math. Comp., 28:128 (1974), 981–1003

6. Годунов С. К., Рябенький В. С., Разностные схемы. Введение в теорию, Наука, М., 1977, 439 с.

7. Маклаков В. Н., “Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Сообщение 2. Краевые задачи с граничными условиями второго и третьего рода”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:1 (2017), 55–79

8. Радченко В. П., Усов А. А., “Модификация сеточных методов решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на основе тейлоровских разложений”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008, № 2(17), 60–65

9. Самарский А. А., Теория разностных схем, Наука, М., 1977, 656 с.

10. Формалеев В. Ф., Ревизников Д. Л., Численные методы, Физматлит, М., 2004, 400 с.

11. Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений. — М.: ТЕХНОСФЕРА, 2020. — 192 с.