XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Данная статья представляет собой изучение численного дифференцирования как важного метода в математическом анализе. Были рассмотрены два вида функций: квадратичная f(x) = x² и экспоненциальная g(x) = e^x. Анализ включал в себя аналитическое вычисление производных, определение численных аппроксимаций с использованием метода конечных разностей, и сравнение результатов для понимания численного дифференцирования. В первом примере подчеркнута возможность численного дифференцирования для функций простой структуры, где численные результаты демонстрируют близость к аналитическим. Во втором примере рассмотрено влияние выбора шага h на точность численных вычислений, что отражает важность подхода к параметрам метода. Эта статья подчеркивает, что численное дифференцирование остается главным инструментом в науке и инженерии, обеспечивая возможность аппроксимации производных для функций с реальными или дискретными данными. Точность результатов требует внимательного выбора параметров, таких как шаг, и понимание численных аппроксимаций.

Дифференцирование – ключевой элемент математического анализа, широко используемый для изучения изменений функций по мере изменения их аргументов. Этот метод играет фундаментальную роль в решении задач из различных областей, таких как физика, экономика, инженерия и многие другие. Численное дифференцирование представляет собой метод аппроксимации производных функций, особенно в случаях, когда аналитическое вычисление производных может быть трудоемким или даже невозможным.

Основная идея численного дифференцирования заключается в том, чтобы приблизительно вычислить производные, используя значения функции в конечном наборе точек. Этот процесс особенно полезен при работе с дискретными или измеренными данными, где функция представлена только ограниченным набором значений.

Существует несколько методов численного дифференцирования, включая метод конечных разностей и методы интерполяции. Метод конечных разностей, например, предполагает аппроксимацию производных через конечные разности между значениями функции в соседних точках. В то время как методы интерполяции, такие как кубическая интерполяция, предоставляют более гладкие оценки производных, основанные на аппроксимации функции кусочно-гладкими полиномами.

Численное дифференцирование оказывается главным инструментом в областях, где точное вычисление производных затруднено или невозможно. Этот метод имеет широкий спектр применений, начиная от оптимизации и анализа данных до моделирования физических явлений [1].

Дифференцирование – операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. В отличие от абстрактного характера теории, лежащей в ее основе, практическая техника дифференцирования может быть осуществлена с помощью чисто алгебраических манипуляций, используя производные трех функций и знания о том, как использовать их.

Три основные производные (D –оператор дифференцирования) – это: (1) для алгебраических функций D(xⁿ) = nx^n-1, где n – любое действительное число; (2) для тригонометрических функций D(sin x) = cos x и
D(cos x) = -sin x; и (3) для экспоненциальных функций D(e^x) = e^x.

Для функций, построенных из комбинаций этих классов функций, теория дает следующие основные правила дифференцирования суммы, произведения или коэффициента любых двух функций f(x) и g(x), производные которых известны (где a и b – константы):

D(aˑf(x) + bˑg(x)) = aˑD(f) + bˑD(g) (суммы);

D(f(x) ˑg(x)) = f ˑ D(g) + g ˑ D(f) (произведения);

D(f(x)/g(x)) = (g ˑ D(f) – f ˑ D(g))/g² (частное).

Другое основное правило, называемое правилом дифференцирования, дает возможность дифференцировать функцию. Если f(x) и g(x) - две функции, то составная функция f(g(x)) вычисляется для значения x, сначала оценивая g(x), а затем находится значение функции f при этом значении g(x); например, если f(x) = sin x и g(x) = x², то f(g(x)) = sin x², а g(f(x)) = (sin x)². Правило гласит, что производная составной функции задается произведением, так как D(f(g(x)) = Df(g(x)) ∙ Dg(x). Иными словами, производная композиции функций f(g(x)) вычисляется путем нахождения производной функции f(x) и замены переменной x на функцию g(x). В примере с sin x² правило дает результат:

D(sin x²) = Dsin(x²) ∙ D(x²) = (cos x²) ∙ 2x.

В работе немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, в которой вместо D используется d/dx, что позволяет явно дифференцировать по разным переменным, правило цепочки принимает более запоминающуюся форму "символической отмены": d(f(g(x)))/dx = df/dg ∙ dg/dx [3].

Производная функции = наклон функции (возвращает наклон линии линейной регрессии для точек данных), скорость ее изменения

В экспериментальной науке мы имеем выборочные данные. Это означает, что мы не можем "дойти до предела" ΔT=0, потому что наименьшее доступное время между выборками – это интервал выборки, ΔT. Если частота дискретизации составляет f_samp выборок в секунду (f – частота), то время между выборками, ΔT, в секундах составляет

Пример: Частота дискретизации составляет 200 Гц. Каков интервал выборки в секундах? Каков интервал выборки в миллисекундах? ("Гц" означает "герц" и является стандартной единицей измерения частоты. Он эквивалентен "секунде" и имеет единицы измерения 1/секунду, что иногда записывается как s^-1. Таким образом, 200 Гц означает 200 отсчетов в секунду).

Решение:

Поскольку 1000 мс = 1 с, мы можем перевести секунды в миллисекунды путем "умножения на единицу", где единицу мы определим как 1000 мс/1 с.

Теперь вернемся к производным. При использовании выборочных данных наименьший временной интервал, который мы можем использовать для дифференцирования, – это интервал выборки, ΔT. Поэтому наша оценка производной в момент времени t будет следующей

Другой столь же хорошей оценкой производной в момент времени t является

Если же мы вычисляем данные на лету, то есть по мере их поступления, то можем использовать только первую оценку, поскольку не знаем, каким будет будущее значение x(t) [3].

При работе с дискретизированными сигналами в качестве независимой переменной обычно используется не время, а номер выборки [6]. Номер выборки - это целое число: k=0, 1, 2, 3... Уравнение для производной в терминах номера выборки имеет вид:

Или

Одна из проблем с предыдущей оценкой производной заключается в том, что она имеет тенденцию к изменению. Мы можем уменьшить зашумленность, взяв среднее значение производных "вперед" и "назад":

Мы можем продолжить эту идею, взяв среднее значение по 4 позициям:

и так далее. Сглаживание исходного сигнала скользящим средним и последующее взятие "несглаженной" производной дает другой ответ, чем взятие производной, сглаженной скользящим средним. Оказывается, эти два подхода дают совершенно одинаковый ответ [7]. Это связано с тем, что дифференцирование и взятие скользящего среднего – линейные операции, а у линейных операций можно менять порядок следования без изменения конечного результата [4].

Вторая производная

Производная от производной называется второй производной. Численно она вычисляется следующим образом

Рассмотрим пример численного дифференцирования с использованием метода конечных разностей и сравним его с аналитическим вычислением производной. Для простоты выберем функцию f(x) = x², и найдем производную этой функции в точке x = 2.

Аналитическое дифференцирование:

1. Исходная функция: f(x) = x²

2. Найдем производную: f '(x) = 2x

3. Вычислим значение производной в точке x = 2 : f ' (2) = 2 * 2 = 4

Численное дифференцирование методом конечных разностей:

1. Зададим шаг h (небольшое приращение x). Допустим, h = 0.1.

2. Используем формулу конечных разностей: f '(x) = (f(x + h) - f(x))/h

3. Вычислим численное значение производной в точке x = 2:

f '(2) = (f(2 + 0,1) - f(2))/0,1 = ((2,1)² - 2²)/0,1 = (4,41 – 4)/0,1 = 0,41/0,1 = 4,1

Сравним результаты:

– Аналитическое значение производной в точке x = 2: f '(2) = 4

– Численное значение производной методом конечных разностей: f '(2) = 4,1

В данном примере численное дифференцирование методом конечных разностей дает близкое значение к аналитическому результату, и ошибка обусловлена выбранным шагом h. Уменьшение значения h увеличит точность численного результата, но может привести к численным неустойчивостям [5].

Рассмотрим еще один пример численного дифференцирования для функции g(x) = e^x в точке x = 1 и сравним результат с аналитическим вычислением производной.

Аналитическое дифференцирование:

1. Исходная функция: g(x) = e^x

2. Найдем производную: g'(x) = e^x

3. Вычислим значение производной в точке x = 1:

g'(1) = e¹ = e ≈ 2,7183

Численное дифференцирование методом конечных разностей:

1. Зададим шаг h. Пусть h = 0,01.

2. Используем формулу конечных разностей: g'(x) = (g(x + h) - g(x))/{h}

3. Вычислим численное значение производной в точке x = 1:

g'(1) = (g(1 + 0,01) - g(1))/0.01= (e^1.01 - e¹)/0,01

Вычислительно получим приближенное значение.

Сравним результаты:

- Аналитическое значение производной в точке x = 1: g'(1) = 2,7183

- Численное значение производной методом конечных разностей с шагом h = 0,01 : составляет приблизительно 2,754.

- абсолютная погрешность = |2,754 - 2,7183| ≈ 0.03572

- относительная погрешность: 0.03572 / 2.71828 ≈ 0.01314

Оценка при другом значении шага:

1. Зададим шаг h. Пусть h = 0,1.

2. Используем формулу конечных разностей: g'(x) = (g(x + h) - g(x))/{h}

3. Вычислим численное значение производной в точке x = 1:

g'(1) = (g(1 + 0,1) - g(1))/0.1= (e^1.1 - e¹)/0,1

Вычислительно получим приближенное значение.

- Численное значение производной методом конечных разностей с шагом h = 0,1 : составляет приблизительно 2,85886.

- абсолютная погрешность = |2,8842 - 2,7183| ≈ 0.16592

- относительная погрешность: 0. 16592 / 2.7183 ≈ 0.06099

Приведенный пример показывает, что точность численного дифференцирования зависит от выбранного значения h. Это связано с тем, что при вычитании близких значений (которые имеют разный порядок величины) ошибка округления может стать значительной. Это особенно критично при вычислении значений для функций с экспоненциальным ростом, так как разница между близкими по величине экспоненциальными значениями может быть значительной. При уменьшении h точность увеличится, но при этом необходимо учитывать потенциальные численные ошибки, особенно при вычислении экспоненциальных функций.

Численное дифференцирование представляет собой важный инструмент в анализе функций, особенно в ситуациях, где аналитическое вычисление производных может быть трудозатратным или невозможным. В ходе данного исследования мы рассмотрели два примера: f(x) = x² и g(x) = e^x, используя метод конечных разностей.

В первом примере мы аналитически вычислили производную функции f(x) = x², получив f ' (x) = 2x, и сравнили результат с численным вычислением методом конечных разностей. Несмотря на выбранный шаг h, численное дифференцирование дало близкое значение к аналитическому результату, что демонстрирует эффективность метода.

Во втором примере мы рассмотрели функцию g(x) = e^x, где аналитическое дифференцирование дало g'(x) = e^x. При численном вычислении методом конечных разностей мы также получили приближенное значение производной. Этот пример подчеркивает важность выбора шага h и позволяет увидеть влияние численных аппроксимаций на точность результата.

Заключение:

Таким образом, численное дифференцирование является мощным инструментом для аппроксимации производных функций, особенно при работе с реальными или дискретными данными. При его использовании важно учитывать выбор шага и вероятные численные погрешности, чтобы получить достоверные результаты при аппроксимации производных. Этот метод продолжает оставаться важнейшим компонентом в различных областях науки и инженерии, обеспечивая аналитикам и исследователям возможность изучать и анализировать сложные функциональные зависимости в реальных условиях.

Список литературы

1. Шарипова Н. У. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ // GOLDEN BRAIN. – 2023. – Т. 1. – №. 11. – С. 63-67.

2. Задорин А. И. Численное дифференцирование функций с большими градиентами //Марчуковские научные чтения. – 2022. – Т. 1. – С. 31-32.

3. Подберезная И. Б. и др. О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ РИДДЕРСА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. – 2022. – №. 4 (216). – С. 11-19.

4. Кушниренко А. Г. НЕМНОГО ИНФОРМАТИКИ В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА: ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ // Информатизация образования и методика электронного обучения: цифровые технологии в образовании. – 2021. – С. 279-284.

5. Задорин А. И. Формулы численного дифференцирования функций с большими градиентами // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2023. – Т. 26. – №. 1. – С. 17-26.

6. Муравин Е. Л., Стенина Т. Е. Определение кривизны оси трубопровода методом численного дифференцирования и сглаживания данных плановых и высотных измерений, основанного на их многократном осреднении // Нефтегазовое дело. – 2020. – Т. 18. – №. 1. – С. 84-91.

7. Задорин Н. А. Анализ формул численного дифференцирования функций с большими градиентами на сетке Бахвалова // Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. – 2021. – Т. 163. – №. 3-4. – С. 261-275.

Код для цитирования: Скопировать