XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Поиск экстремума функции одной переменной является одной из основных задач математического анализа и оптимизации. Экстремумы функции — это точки, в которых функция достигает своего максимального или минимального значения на заданном интервале. Знание этих точек позволяет определить наиболее выгодные или наименее выгодные условия для решения задачи. Поиск экстремумов функции одной переменной применяется в различных областях. Например, в экономике для нахождения оптимального объема производства, в физике для нахождения максимальной или минимальной скорости, с которой может двигаться объект, в механике для нахождения формы объекта, которая имеет минимальную поверхность или максимальный объем, и т.д. В этой статье мы рассмотрим основные методы поиска экстремумов функций одной переменной, а также приведем примеры их использования.

1. Метод дифференциального исчисления

Метод дифференциального исчисления основан на использовании производных функции. Если функция имеет экстремум в точке x, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Для нахождения экстремума необходимо найти все точки, где производная равна нулю, и исследовать знак производной слева и справа от каждой из этих точек. Возьмём, например, данную функцию f(x) = x³ - 3x² + 2. Для нахождения экстремумов функции f(x), найдем производную f’(x) и решим уравнение f’(x) = 0:

f’(x) = (x³- 3x²+ 2)’= 3x² - 6x = 3x(x-2)

3x(x-2) = 0

Отсюда x₁ = 0, x₂ = 2.

Определим знаки f’(x) на промежутках (–∞; 0), (0; 2), (2; +∞). При переходе через точку x = 2 производная меняет знак с (+) на (-), следовательно, x = 2 является точкой максимума.

При x → ±∞ производная f’(x) имеет отрицательные значения, следовательно, точка x = 0 является точкой минимума.

Таким образом, минимум функции f(x) равен f(0) = -2, а максимум
f(2) = 4.

2. Метод построения графика функции

Если функция задана аналитически, то можно построить ее график и визуально определить экстремумы. Для этого необходимо провести вертикальную прямую через каждую точку, где функция меняет свой знак, и найти точки пересечения этой прямой с графиком функции. Эти точки и будут экстремумами функции.

3. Метод интерполяции и экстраполяции

Этот метод используется, когда функция задана таблично, и необходимо найти экстремум функции в интервале между двумя заданными точками. Для этого используется интерполяция и экстраполяция функции, т.е. построение приближенной функции по заданным точкам и нахождение ее экстремума.

4. Метод золотого сечения

Не всегда можно определить заранее, сколько раз придется вычислять функцию. Метод золотого сечения почти столь же эффективен при n-2, что и метод Фибоначчи, однако при этом не требуется знать n – количество вычислений функции.

Сущность этого метода заключается в следующем. Интервал неопределенности делится на две неравные части так, что отношение длины большего отрезка к длине всего интервала равно отношению длины меньшего отрезка к длине большего (рис. 1).

Где τ – «золотое сечение»

Рисунок 1. Интервал неопределенности

На каждом шаге этой итеративной процедуры, кроме первого, вычисляется только одно значение функции. Однако Химмельблау рекомендовал вычислять на каждом шаге две точки, для того чтобы не накапливалась погрешность, так как τ имеет приближенное значение (рис 2).

Рисунок 2. Выбор точек на интервале неопределенности

Теперь рассмотрим решение задачи нахождения минимума функции способом золотого сечения. Возьмём функцию f(x)=x⁴+2x²+4x+1=0.

1. Выберем начальные границы интервала [a, b]. Мы можем, например, взять a = -2 и b = 2.

2. Вычислим промежуточные точки x₁ и x₂ по формулам золотого сечения:

Где φ =

3. Вычислим значение функции в точках f₁=f(x₁) и f₂=f(x₂).

4. Сократим Интервал в соответствии с результатами сравнения значений функции:

Если f₁<f₂, то новый интервал [a₁, b₁] = [a, x₂].

Если f₁≥f₂, то новый интервал [a₁, b₁] = [x₁, b].

5. Повторим шаги 2-4 до получения заданной точности.

5. Метод Фибоначчи:

Метод дихотомии не эффективен в том смысле, что для конечного фиксированного числа n вычислений значений функции, он не приводит к наименьшему возможному интервалу. Эффективным методом в этом смысле является метод Фибоначчи.

Важнейшая особенность этого метода состоит в том, что он позволяет для заранее заданного числа вычислений функции построить оптимальную процедуру поиска минимума унимодальной функции.

Предположим, что заданный начальный интервал неопределенности [a_i, b_i] является интервалом неопределенности, полученным на i - той итерации. Рассмотрим две точки λ_i и μ_i из интервала [a_i, b_i], заданные с помощью соотношений

где n - заданное число вычислений функции; F_k - последовательность чисел Фибоначчи, заданная с помощью рекуррентной формулы

F_k+1 = F_k + F_k-1 , k = 1, 2, …, где F₀= F₁ = 1

Новый интервал неопределенности (a_i+1, b_i+1) равен (λ_i, b_i), если f(λ_i) > f(μ_i), и равен (a_i, μ_i), если f(λ_i) < f(μ_i). Тогда в первом случае, новый интервал неопределенности имеет длину

А во втором

Отсюда следует, что в любом случае на i -той итерации интервал неопределенности сжимается в F_n-i / F_n-i+1 раз. На (i +1) -ой итерации либо λ_i+1 = μ_i, либо μ_i+1 = λ_i. Поэтому на каждом шаге вычисляется только одно новое значение функции. На (n-1)-ой итерации λ_n-1 = μ_n-1, и значение функции не вычисляется.

Если ε есть точность вычисления значения функции, n – максимально возможное число вычислений функции, то конечный интервал неопределенности будет равен

то есть сократить в F_n раз.

Рассмотрим решение с помощью данного метода. Возьмём функцию, которую брали в золотом сечении.

1. Выберем начальные границы интервала [a, b]. Также, возьмём число Фибоначчи F(n) такое, что меньше заданной точности, например, n=5.

2. Вычислим промежуточные точки x₁, x₂ по формулам метода Фибоначчи:

3. Вычислим значения функции в этих точках: f₁=f(x₁) и f₂=f(x₂).

4. Сократим интервал в соответствии с результатами сравнения значений функции:

Если f₁<f₂, то новый интервал [a₁, b₁] = [a, x₂].

Если f₁≥f₂, то новый интервал [a₁, b₁] = [x₁, b].

5. Повторим шаги 2-4 до достижения заданной точности.

Рассмотренные выше методы можно применять в различных областях. Одной из таких областей является типографика. Определяющими факторами в данной области являются 3 составляющие: размер шрифта, ширина линии и высота строки. Их необходимо подбирать в правильных пропорциях.

Увеличивая и уменьшая шрифт, а также ширину текста, можно определить, какую высоту следует задать буквам. Установлено, что оптимальным для удобства читателей количеством является 70-80 символов на строку. Когда длина текста превышает этот показатель, его читабельность сильно снижается.

Для примера возьмем текст из 3 строк и определим в нем 3 части: «А», «Б» и «В». Допустим, строка «В» содержит меньше ценной информации, чем «А» и «Б». В связи с этим, текст внутри строки «В» должен иметь шрифт размером 10. Чтобы установить размер контента на строке «Б» (второй по значимости контента), надо умножить 10 на 1,618.

Заключение

В данной статье были рассмотрены основные методы поиска экстремумов функции Одной переменной, а также пример применения. Выбор метода зависит от вида функции, ее аналитического представления или табличного задания. Важно помнить, что каждый метод имеет свои ограничения и может привести к ошибкам, если не соблюдать все необходимые условия и правила.

Список литературы

1. https://math.semestr.ru/optim/golden.php

2. https://math.semestr.ru/optim/fibonacci.php

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциальное_исчисление

4. https://gb.ru/blog/zolotoe-sechenie/

5. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М: Мир, 1975. -534с.

6. Данилин А.И. Основы теории оптимизации (постановки задач).

7. Учебное пособие. –Самара: Изд-во Самарского государственного аэрокосмического ун-та, 2011. -57с.