XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

При изучении кинематики, одного из разделов теоретической механики, особое внимание уделяется механическому движению твердых тел, исследованию движения материальной точки и нахождению характеристик движения.

Линия, описываемая точкой при ее движении, называется траекторией.

Движение точки может быть задано тремя способами: естественным, координатным и векторным [1].

Целью данной работы является определение траектории движения точки.

Форма кривой может быть различной и зависит от выбранной системы координат.

Будем считать, что положение точки в некоторой системе отсчета Оxy в определенный момент времени задается ее координатами, которые изменяются с течением времени [2]:

.

Указанные уравнения называются параметрическими уравнениями траектории точки в плоскости, где параметром является время t. Этот способ задания движения материальной точки еще называют координатным. Чтобы установить траекторию точки и найти ее кинематические характеристики движения необходимо связать координаты точки друг с другом, то есть перейти к явному способу задания в виде .

Рассмотрим одну из основных задач кинематики точки: по известному закону движения определим траекторию движения точки и ее положение на траектории [3].

Пример 1. По какой траектории движется точка, если уравнения ее движения имеют вид (см), (см)?

Решение.

Из уравнения выразим время t: , откуда .

Полученное значение tподставим в уравнение координаты y: . В результате преобразований имеем .

Таким образом, точка движется по прямой.

Пример 2. Движение точки в плоскости Оxy задано уравнениями: , , где x, y – в метрах (м) и в секундах (с). Определить траекторию движения точки М и найти положение точки в момент времени t= 2 с.

Решение.

Свяжем координаты точки между собой. Для этого исключим t из первого уравнения: .

Подставляя полученное выражение для t во второе заданное уравнение точки, имеем или .

Следовательно, траекторией движения точки является гипербола .

Найдем положение точки М для заданного момента времени t. Для этого подставим в исходные уравнения движения значение параметра t= 2с:

(м), (м), откуда .

Пример 3. Точка движется согласно уравнениям . Найти уравнение траектории движения точки, определить текущие координаты точки М на линии в момент времени t= 1с, изобразить траекторию.

Решение.

Найдем явное уравнение траектории. Для этого исключим параметр t из параметрических уравнений траектории, заданных в условии. Из второго уравнения получаем: .

Подставляя полученное выражение в первое уравнение, находим:

.

Откуда имеем или .

Следовательно, точка движется по параболе, ветви которой направлены вправо.

Определим координаты вершины параболы, применяя формулы , :

;

;

- вершина параболы.

Задавая параметр y, определяем x для построения траектории точки.

y	-1	0	0,5	1	2
x	18	0	-2,25	0	18

Узнаем положение точки М, соответствующее моменту времени t = 1c:

;

.

Следовательно, .

Траектория движения точки показана на рисунке.

Рисунок. Построение траектории движения точки

При правильном построении траектории, согласно найденному уравнению, точка должна попасть на параболу, построенную выше. Как видно из рисунка, точка М принадлежит графику параболы.

Таким образом, следует отметить, что хорошее владение математическим аппаратом играет важную роль в подготовке будущего инженера. Умение правильно обращаться с математическим аппаратом позволяет освоить такие важные для инженера дисциплины как: «Физика», «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», а также успешно решать задачи в профессиональной деятельности.

Список литературы

1. Антонец, Д. А. Теоретическая механика. Руководство к решению задач кинематики / Д. А. Антонец. — Иркутск : Изд-во ИрГСХА, 2012. — 112 с. 

2. Варенков, С. В. Теоретическая механика : учебное пособие / С. В. Варенков. — Новокузнецк : КГПИ КемГУ, 2018. — 90 с.

Код для цитирования: Скопировать