XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Финансовые деривативы - это важные инструменты хеджирования на вторичном рынке. Точное ценообразование деривативов необходимо для минимизации рисков. Некоторые опционы имеют аналитическое выражение при определенных условиях. Однако в общем случае для определения цены опционов используются численные методы, такие как метод Монте-Карло, который является статистическим методом моделирования. Он основан на теории статистической выборки и используется для приближенного решения функции случайной переменной. Метод Монте-Карло широко применяется в анализе рисков и может использоваться при принятии бизнес-решений в различных областях, включая управление бизнесом, финансовый анализ и маркетинг. В данной статье мы рассмотрим его применение в финансовой сфере.

Основная идея модели Монте-Карло проста и понятна: создается вероятностная модель задачи, определяется требуемое значение решения или его функция как математическое ожидание модели. Затем проводится наблюдение модели с большим количеством выборок, и в конечном итоге берется среднее значение случайных величин, чтобы получить приближенную оценку решения. В задаче ценообразования финансовых деривативов основным требованием является определение цены в момент времени, то есть безусловного ожидания дисконтированного платежа. Это значение может быть численно оценено с помощью параметрического оценщика выборочного среднего. В такой задаче обычно требуется только первый момент дисконтированного значения. Общая оценка параметров, такая как оценка моментов или оценка максимального правдоподобия, рассматривает параметр как константу, в то время как байесовское оценивание рассматривает параметр как случайную величину. Таким образом, параметр также имеет случайное распределение, определенное субъективно. Преимущество такого подхода заключается в том, что он удобен для вычисления и может обоснованно объяснить оценку параметров. Конечно, поскольку предшествующее распределение выбирается субъективно, возможно выбрать и неподходящее распределение, что может привести к проблемам в последующих вычислениях и оценках.

Основные этапы применения метода Монте-Карло для решения практических задач:

1.Создается вероятностная модель.

2.Генерируются выборочные случайных чисел, которые удовлетворяют требованиям.

3.Выборка случайных параметров с известным распределением со случайными числами для вычисления решения.

По сравнению с традиционной математической статистикой, модель Монте-Карло позволяет снизить сложность реализации алгоритма с помощью компьютера, а сам алгоритм проще в использовании и понимании. Используя другие математические методы, мы можем найти подходящие решения для некоторых сложных или неразрешимых проблем. В общем случае, чтобы получить распределение вероятностей неопределенного объекта, необходимо провести множество симуляций. В это время модель Монте-Карло может быстро получить лучшие результаты аппроксимации, поэтому она имеет большое прикладное значение.

В частности, предположим, что существует случайная величина X c плотностью распределения D(x) для генерации набора независимых последовательностей случайных величин X₁,…,X_nплотностью распределения D(x). Согласно теореме больших чисел, известно, что для интегрируемой функции fот D, должно существовать:

В случае если обратную функцию функции распределения f(x) случайной величины X трудно получить, можно использовать другие методы. Один из них – метод «принять-отклонить». Этот метод подходит для моделирования случайных чисел, функция плотности которых имеет компактное множество поддержки, но сделать выборку непосредственно из него гораздо сложнее.

В своем исследовании я решил остановиться на применении модели Монте Карло в прогнозировании ценообразования финансовых опционов.

Опцион – это производный финансовый инструмент, основанный на фьючерсах. По сути, опцион – это разделение прав и обязанностей в финансовой сфере, что позволяет получателю прав реализовать свои права в течение определенного периода времени, в то время как должнику необходимо выполнить свои права. Держателю колл-опциона не нужно платить депозит. По коротким позициям опционов необходимо уплатить опционный депозит, чтобы обеспечить беспрепятственное исполнение длинных прав опционов. Длинные позиции имеют права, но не несут обязательств, поэтому им не требуется депозит. Обычно, чем дольше срок исполнения опциона, тем больше колебания цены базового актива и временная стоимость опциона. Для опционов «колл» коннотативная стоимость определяется разницей между ценой исполнения и ценой базового актива.

Если переменная изменяется в любой момент времени каким-то неопределенным образом, говорят, что она следует некоторому случайному процессу. Случайные процессы могут быть дискретными или непрерывными. Дискретный случайный процесс означает, что переменные могут изменяться только в определенные моменты времени, в то время как непрерывный случайный процесс позволяет изменение переменных в любой момент времени.

Европейские опционы имеют фиксированное время исполнения и не могут быть исполнены раньше установленной даты. Поэтому для определения цены опциона необходимо только рассчитать опционный доход по различным вариантам на дату исполнения, а затем взять среднее значение опционного дохода по каждому варианту в качестве цены опциона.

Для более понятного объяснения рассмотрим несколько примеров:

1.Некоторый гражданин С планирует приобрести квартиру в районе П, но на данный момент не готов внести за нее полную сумму и поэтому заключает договор с продавцом квартиры, в котором указанно что он имеет право приобрести это жилье за 5 млн. руб. в течении двух месяцев, для этого он вносит залог в размере 200 тыс. руб., который выступает в качестве страхового взноса для продавца и максимальной суммой риска для покупателя в случае если сделка не состоится. Через месяц в СМИ объявляют, что в районе П начинают строительство метро и из-за этого цены на квартиры в этом районе повышаются, но поскольку у гражданина С есть договор-опцион, он имеет право приобрести эту квартиру за 5 млн. руб. В таком случае покупатель данной квартиры получил выгоду в размере роста цен на недвижимость в этом районе.

2.Некоторый гражданин П планирует приобрести акцию за 10 тыс. руб., проанализировав рынок, он делает вывод что через полгода цена акции увеличится и заключает с продавцом договор, по которому за 2 тыс. руб. купит акцию за текущую стоимость 10 тыс. руб. Продавец, который считает, что цена акции может упасть, соглашается на сделку. Через полгода цена акции составляет 11 тыс. руб. и ситуация для гражданина П не очень приятная, поскольку он уже заплатил 2 тыс. руб. и должен еще 10 тыс. руб., и тогда акция ему обойдется в 12 тыс. руб., при ее цене в 11 тыс. руб. В случае, если Гражданин П откажется от этой сделки, он потеряет 2 тыс. руб., а если согласится 1 тыс. руб., а продавец окажется в плюсе на 1 тыс. руб. в случае совершения сделки.

Таким образом опцион может принести как выгоду, так и убытки и для того чтобы заработать на нем необходимо очень точно сделать прогноз и определить примерную цену на выходе из опционной сделки.

При помощи графика можно увидеть колебания стоимости опциона.

График зависимости волатильности от количества симуляций.

На горизонтальной оси отмечено количество симуляций, а на вертикальной волатильность (статистический показатель, характеризующий изменчивость цены на что-либо). По графику видно, что, когда количество симуляций меньше, волатильность стоимости опциона больше, но с постепенным увеличением количества симуляций волатильность стоимости опциона становится все меньше и меньше. После 300 симуляций волатильность стоимости опциона в основном стабильна и составляет около 4,3-4,4 что говорит о том, что она хорошо подошла к стоимости самого опциона, и результат полученной стоимости опциона относительно стабилен.

Но, как и любой другой, метод Монте-Карло не лишен недостатков, к ним можно отнести:

1. Вычислительная сложность: Одним из основных недостатков метода Монте-Карло является его вычислительная сложность. Для точных результатов может потребоваться огромное количество случайных траекторий, особенно при моделировании сложных финансовых инструментов или волатильных рыночных условий. Это может требовать значительного объема вычислительных ресурсов и времени.

2. Необходимость большого числа симуляций: Для достижения точности при оценке ценности опционов метод Монте-Карло часто требует выполнения большого числа симуляций. В некоторых случаях это может привести к длительным вычислительным процессам, особенно если требуется точная оценка цены опциона.

3. Не всегда подходит для американских опционов: Для оценки ценности американских опционов метод Монте-Карло не всегда является оптимальным выбором. Это связано с необходимостью моделирования условий исполнения опциона в разные моменты времени, что может потребовать гораздо больше вычислительных ресурсов.

4. Не подходит для аналитических решений: в отличие от некоторых аналитических методов, метод Монте-Карло не предоставляет аналитических формул для ценности опционов. В некоторых случаях аналитические решения могут быть более практичными и эффективными.

В заключении хочется отметить, что даже не смотря на эти недостатки метод Монте-Карло является серьезным инструментом в руках того, кто умеет им пользоваться. Такой способ моделирования отличается своей разнообразностью и практичностью применения в различных финансовых задачах. Основные области его применения: управление бизнесом, финансовый анализ и маркетинг. В данной статье было рассмотрено его применение в области финансовой аналитики, а конкретно на примере его применения в прогнозировании ценообразования финансовых опционов, в котором он хорошо себя зарекомендовал и доказал свою эффективность. Помимо этого, метод Монте-Карло имеет огромный потенциал для взаимодействия с другими методами финансового анализа и в таком случае может дать гораздо более точный результат.

Список литературы:

1. Моделирование нелинейных оптических явлений в системах с использованием модели Монте-Карло [Электронный ресурс] – Режим доступа : https://www.researchgate.net/publication/350109695_Modeling_of_Nonlinear_Optical_Phenomena (дата обращения 17.11.23)

2. Применение модели Монте-Карло в финансовой сфере [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://www.researchgate.net/publication/370710540_Application_of_Monte_Carlo_model_in_financial_field (дата обращения 22.11.23)

3. Преимущества использования моделирования по методу Монте-Карло в финансовом моделировании [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://finmodelslab.com/blogs/blog/monte-carlo-simulation-financial-modelling (дата обращения 30.11.23)

4. Моделирование по методу Монте-Карло: углубленный анализ рисков и прогнозирование в финансах [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://inspiredeconomist.com/articles/monte-carlo-simulation/ (дата обращения 05.12.23)

5. Методы Монте-Карло в финансах [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru./https/en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_methods_in_finance (дата обращения 06.12.23)