XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Численное интегрирование является важной задачей в области научных и инженерных вычислений. Оно используется для вычисления определенных интегралов, которые не могут быть решены аналитически. Однако точность численного интегрирования зависит от нескольких факторов, таких как выбор метода интегрирования, количество используемых узлов, и точность вычислений.

Один из основных факторов, влияющих на точность численного интегрирования, — это выбор метода интегрирования. Существует множество методов численного интегрирования, таких как метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона и др. Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки в зависимости от функции, которую необходимо проинтегрировать.

1. Метод прямоугольников. [3]

Самый простой способ получения приближенных формул численного интегрирования — это методы прямоугольников.

Представим интеграл в виде суммы интегралов:

(1)

1

.Если криволинейную площадь под графиком подынтегральной функции на участке заменить площадью прямоугольника высотой, равной значению функции в левом конце отрезка , то получим формулу левых прямоугольников:

(2)

2

. Если криволинейную площадь под графиком подынтегральной функции на участке заменить площадью прямоугольника высотой, равной значению функции в правом конце то получим формулу правых прямоугольников:

(3)

3

(4)

. Если площадь криволинейной трапеции на участке заменить площадью прямоугольника высотой, равной значению функции в середине отрезка , где , то получим формулу средних прямоугольников

Подставив формулы (2), (3) в формулу (1), получим так называемые обобщенные формулы левых прямоугольников

(5)

правых прямоугольников

(6)

и обобщенную формулу средних прямоугольников

(7)

В случае, когда узлы расположены равномерно: , формулы примут вид соответственно:

Правило Рунге для метода прямоугольников формулируется следующим образом:

Если мы вычисляем значение определенного интеграла с использованием метода прямоугольников с шагом h, то погрешность этого приближенного значения может быть оценена по формуле:

где I(h) - значение интеграла, вычисленное с шагом h,

I(h/2) - значение интеграла, вычисленное с шагом h/2.

Таким образом, правило Рунге позволяет оценить погрешность метода прямоугольников и использовать это знание для уточнения результата численного интегрирования

Интегрирование по методу трапеций. [1]

Метод трапеций заключается в линейной аппроксимации на отрезке . Участок интегрирования также разбивается на n равных частей.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация интегрирования по методу трапеций.

Если провести ординаты во всех точках деления и заменить каждую из полученных криволинейных трапеций прямолинейной (рис.1), то приближённое значение интеграла будет равно сумме площадей прямолинейных трапеций.

Площадь отдельной трапеции составляет: , тогда площадь искомой фигуры будем искать по формуле:

Следовательно, формула трапеций для численного интегрирования имеет вид:

(8)

(9)

На практике для оценки абсолютной погрешности формулы трапеций применяют следующие соотношения:

При этом, как правило, получают для завышенную оценку.

(10)

Правило Рунге (n − чётное) даёт более тонкую оценку :

Но при этом может получиться для заниженная оценка, чего следует опасаться.

Интегрирование по методу Симпсона. [1]

Метод Симпсона обычно обеспечивает более высокую точность для гладких функций. Пусть n = 2m − чётное число, а − значения функции у = f(x) для равноотстоящих точек с шагом .

На паре участков (рис.2) кривая у = f(x) заменяется параболой у = L(x), коэффициенты которой подобраны так, что она проходит через точки .

Рис.2. Геометрическая интерпретация интегрирования по методу Симпсона.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, составит:

Суммируя площади всех криволинейных трапеций, получим:

(11)

где p = 6-p, p = 4. Следовательно, формула Симпсона для численного интегрирования имеет вид:

На практике для оценки абсолютной погрешности формулы Симпсона применяют следующие соотношения:

(12)

При этом, как правило, получают для завышенную оценку.

2. Правило Рунге (n − чётное) даёт более тонкую оценку :

(13)

Но при этом может получиться для заниженная оценка, чего следует опасаться.

Формулы прямоугольников и трапеций дают точное значение интеграла, когда подынтегральная функция f(x) линейна, ибо тогда f″(x) = 0, а формула Симпсона является точной для многочленов до третьей степени, т. к. в этом случае .

Если функция у = f(x) задана таблично и её производные найти затруднительно, то в предположении отсутствия быстро колеблющихся составляющих можно применить приближённые формулы для погрешностей, выраженные через конечные разности:

(14)

(15)

Узлы. [2]

Другим важным фактором является количество используемых узлов. Узлы представляют собой точки, в которых значение функции оценивается при численном интегрировании. Чем больше узлов используется при численном интегрировании, тем более точным будет результат. Это связано с тем, что большее количество узлов позволяет лучше аппроксимировать форму функции и уменьшить ошибку интегрирования. Однако увеличение количества узлов также приводит к увеличению времени вычислений, поэтому необходимо найти баланс между точностью и вычислительной эффективностью.

Теоретическая погрешность формулы определяется остаточным членом:

(16)

В методе Симпсона количество узлов N должно быть нечетным. Остаточный член формулы Симпсона равен:

(17)

Табл. 1

Значение погрешности вычисления

Метод	Количество узлов	Погрешность теоретическая	Погрешность реальная
Прямоугольников	6
	80
Симпсона	7
	9
	11

Оценим количество узлов, необходимое для вычисления интеграла , точное значение которого равно двум. Рассмотрим сначала теоретические оценки, использование которых упрощается благодаря тому, что максимальное значение производной любого порядка от sin x равно единице. Из соотношений (16), (17) имеем (при ):

(18)

Практические результаты, приведенные в табл. 1, хорошо согласуются с этими оценками.

Из приведенных данных можно сделать вывод, что для получения относительной погрешности, наименьшее количество узлов ; на каждой полуосцилляции равно 80 в методе прямоугольников, 11 - в методе Симпсона. Полуосцилляция — это периодическое движение или колебание, которое происходит вокруг равновесной точки, но не завершается полным циклом

Общее количество узлов N при интегрировании одномерных функций равно , умноженному на количество полуосцилляций. Как определить это количество? Естественно, что подынтегральная функция или делает одну полуосцилляцию при изменении аргумента на 0,5. Следовательно, при монотонной функции количество полуосцилляций где , где -размах функции . При немонотонной функции m равно удвоенной сумме размахов по всем интервалам монотонности, т. е.

(19)

Формулой (19) пользоваться неудобно, если функция существенно нелинейная и полуосцилляции подынтегральной функции имеют различную ширину. В этом случае, для того чтобы на каждую из них приходилось не менее ; узлов, рационально выбирать переменный шаг интегрирования в зависимости от ширины полу осцилляции. Можно, например, разбить интервал интегрирования на больших подинтервалов таких, что в каждом из них изменяется достаточно плавно и количество узлов в подинтервале определять количеством ; приходящихся на него полуосцилляций. Значение можно оценить по величине производной функции если приближенно считать, что в каждом из подинтервалов аргумент линеен

Общее количество узлов находится по формуле:

(20)

где - производные во всех подинтервалах.

Точность вычислений.

В данном случае мы рассмотрим влияние точности вычислений на точность численного интегрирования. Рассмотрим пример интегрирования функции на интервале [0, 1]. Для этого мы будем использовать метод прямоугольников с шагом h = 0,1. Предположим, что мы используем различную точность вычислений для вычисления значений функции f(x).

1. Вычисление f(x) с точностью до двух знаков после запятой:

f(0) = 0 f(0,1) = 0,01

f(0,2) = 0,04 f(0,3) = 0,09

f(0,4) = 0,16 f(0,5) = 0,25

f(0,6) = 0,36 f(0,7) = 0,49

f(0,8) = 0,64 f(0,9) = 0,81

f(1) = 1

Суммируя значения функции на каждом интервале и умножая на шаг интегрирования, получаем:

- I = h * (f(0) + f(0,1) + f(0,2) + f(0,3) + f(0,4) + f(0,5) + f(0,6) + f(0,7) + f(0,8) + f(0,9) + f(1)) = 0,385

2. Вычисление f(x) с точностью до четырех знаков после запятой:

f(0) = 0 f(0,1) = 0,0100

f(0,2) = 0,0400 f(0,3) = 0,0900

f(0,4) = 0,1600 f(0,5) = 0,2500

f(0,6) = 0,3600 f(0,7) = 0,4900

f(0,8) = 0,6400 f(0,9) = 0,8100

f(1) = 1

Суммируя значения функции на каждом интервале и умножая на шаг интегрирования, получаем:

- I = h * (f(0) + f(0,1) + f(0,2) + f(0,3) + f(0,4) + f(0,5) + f(0,6) + f(0,7) + f(0,8) + f(0,9) + f(1)) = 0.33335

Как видно из примера, более точные вычисления дают более точный результат интегрирования. Однако, если точность вычислений слишком высока, это может привести к неэффективному использованию ресурсов вычислительной системы. Поэтому, при выборе точности вычислений необходимо учитывать как требования точности решения, так и доступные ресурсы.

Заключение:

Мы рассмотрели основные факторы, влияющие на точность численного интегрирования, включая выбор узлов, методы интегрирования и точность вычислений. Так же выяснили, что количество узлов играет важную роль в достижении точных результатов, но необходимо найти баланс между точностью и вычислительной эффективностью.

Для достижения высокой точности численного интегрирования необходимо учитывать форму функции, выбирать оптимальное количество узлов и использовать соответствующие методы оценки погрешности. Это особенно важно в научных и инженерных вычислениях, где точность результатов имеет решающее значение.

Исследования в области численного интегрирования продолжаются, и разработка новых методов и алгоритмов позволит еще более точно и эффективно решать интегральные задачи. Важно продолжать изучение этой темы и применять новейшие разработки для достижения наивысшей точности в численном интегрировании.

Список литературы:

1. Кулакова, С.В. Численные методы: учеб. пособие / С.В. Кулакова; Иван. гос. хим.-технол. ун-т. Иваново, 2018. – 124 с.

2. Родионов С.А., Вознесенский Н.Б., Домненко В.М. Численные методы в оптике: Электронный учебник – URL: Электронный учебник (ifmo.ru) (Дата обращения: 06.01.2024)

3. Ким И. Г., Латыпова Н. В., Моторина О. Л. К Численные методы: учеб.-метод. пособие. Ч. 2. Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2013. 64 с.

Код для цитирования: Скопировать