XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Использование численных методов для решения уравнений в частных производных имеет множество применений в науке и технике. Эти методы позволяют моделировать сложные физические процессы и оптимизировать процессы в инженерии. В этой статье мы рассмотрим основные методы численного решения уравнений в частных производных и применение этих методов в различных областях.

Метод конечных разностей

В качестве примера применения метода конечных разностей рассмотрим краевую задачу на основе одномерного уравнения теплопроводности, описанной в учебном пособии Г.В. Кузнецова, М.А. Шеремета [4]. Анализируется теплопередача через плоскую бесконечную пластину или изолированный стержень (рис. 1).

Рис. 1. Геометрия задачи

Предположим, что теплофизические характеристики не зависят от температуры. В связи с этим дифференциальное уравнение нестационарного переноса тепла теплопроводностью будет иметь следующий вид:

(1)

Начальные и граничные условия запишутся следующим образом:

⁽²⁾

Для того чтобы дать полное математическое описание рассматриваемой задачи, необходимо еще задать физические условия однозначности. Если пластина изготовлена из стали, то λ = 46 Вт/(м⋅ºC), ρ = 7800 кг/м 3 , с = 460 Дж/(кг⋅ºC). Эту задачу в полной математической постановке будем решать методом конечных разностей на равномерной сетке. Для этого разобьем пластину по толщине на N–1 равных промежутков, т.е. построим конечно-разностную сетку (рис. 2):

Рис. 2. Конечно-разностная сетка:

– координаты внутренних узлов;

– координаты граничных узлов

Определим значение температуры в i-ом узле в момент времени Здесь – шаг интегрирования по временной координат, n – номер шага.

Далее заменим дифференциальные операторы в (1) на их конечно-разностные аналоги. Будем пользоваться неявной схемой.

В результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

(3)

Выбранную схему аппроксимации частных производных можно графически представить следующим образом:

Рис. 3. Шаблон неявной четырехточечной разностной схемы

Рис. 3 наглядно демонстрирует, что используется четырехточечная разностная схема – три точки берутся на новом временном слое и одна со старого временного слоя.

Полученную систему можно свести к наиболее общему виду:

(4)

Предположим, что существуют такое наборы чисел , при которых

(5)

Уменьшим в связи (5) индекс на единицу и полученное выражение подставим в данное уравнение (4):

,

откуда получаем

Последнее равенство имеет вид (5) и будет точно с ним совпадать, если при всех I = 2,3,…,N – 1 выполняются соотношения

(6)

Для определения по (6) необходимо знать которые находятся из левого граничного условия.

Далее по формулам (5) последовательно находятся при условии, что найдено из правого граничного условия.

Таким образом, решение уравнений вида (4) описываемым способом, называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трем формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов по формулам (6) при (прямая прогонка) и затем получение неизвестных по формуле (5) при (обратная прогонка).

Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникло ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не должно быть быстрого роста погрешностей округлений.

Будем называть прогонку корректной, если знаменатели прогоночных коэффициентов (6) не обращаются в нуль, и устойчивой, если при всех

Возвращаясь к системе (3), определим прогоночные коэффициенты и воссоздадим полный алгоритм решения полученной системы.

Поскольку при ,

Прогоночные коэффициенты вычисляются по формулам (6). Таким образом, разностные соотношения, аппроксимирующие дифференциальную задачу (1), (2), имеют следующий вид:

( 7)

(8)

Аппроксимация дифференциальной задачи (1), (2) конечно-разностной (7), (8) выполнена с первым порядком точности по времени t и вторым по пространственной координате h. При этом неявная разностная схема является абсолютно устойчивой, т.е. можно проводить интегрирование краевой задачи (1), (2) с любым разностным шагом по времени. Шаг по времени выбирается таким образом, чтобы весь интервал времени разбивался хотя бы на 10 шагов (желательно больше).

Метод конечных элементов

В основе метода конечных элементов (МКЭ) лежит предположение о характере поведения функции , являющейся точным решением дифференциального уравнения [5]. Для демонстрации основных идей МКЭ, предположим, что с достаточной точностью искомое решение может быть представлено с помощью кусочно-линейной интерполяции (рис. 4).

Очевидно, что значение кусочно-линейной функции Ф_*=Ф(х_*) в некоторой точке х_*, лежащей внутри отрезка [x_i-1, x_i] может быть найдено по формуле (9):

Рис. 4. Кусочно-линейная интерполяция решения дифференциального уравнения

,

(9)

где

.

(9а)

Продемонстрируем применение метода конечных элементов на примере дифференциального уравнения взятого с сайта StudFiles.

Подстановка в уравнение вместо точного решения (x) кусочно-линейной функции Ф(х) приведет к тому, что уравнение будет выполняться неточно. Можно записать:

, х[х0; хN].

(10)

Или:

, х[ х0; хN],

(10а)

где R(х) –невязка решения, в общем случае являющаяся функцией независимой переменной х. Очевидно, что кусочно-линейная функция Ф(х) будет хорошим приближением к точному решению (x) лишь в том случае, если невязка R(x) будет мала для всех значений х[ х₀; х_N].

Второй принципиальный этап МКЭ заключается в выборе способа определения неизвестных узловых значений Ф_i. Для решения этой задачи потребуем, чтобы взвешенные интегралы невязки по всей области задания функции (x) были равны нулю:

, для всех i=1…N

(11)

В

(12)

следствие локальности функций формы , можно записать:

, для всех i=1…N

Или:

(12а)

Все интегралы, входящие в (12а), могут быть сравнительно легко определены, а сами соотношения (12а), совместно с начальным условием Ф₀= (х₀), являются системой линейных алгебраических уравнений, которая может быть решена любым из известных методов, т.е.:

(12b)

Следует обратить внимание на то, что матрица системы линейных алгебраических уравнений (12b) имеет специфическую диагональную (ленточную) структуру. Для решения систем уравнений с ленточными матрицами, в вычислительной математике разработан ряд специальных методов, позволяющих существенно уменьшить объем вычислительной работы, самый распространенный из этих методов, называется методом прогонки.

Результаты решения дифференциального уравнения методом конечных элементов приведены на рис. 5. Как можно видеть из этого рисунка, уже при шаге сетки Δх=0,08 численное решение, полученное с помощью МКЭ, гораздо лучше соответствует точному решению, чем численное решение, полученное с помощью метода Эйлера при шаге сетки Δх=0,025. Следует, однако, отметить, что объем вычислительной работы, связанный с определением интегралов, входящих в (12), и последующее решение полученной системы алгебраических уравнений, на порядок превосходит объем вычислительной работы, выполненной по методу Эйлера.

Метод конечных элементов естественным образом распространяется на случай функций нескольких переменных. При этом, как правило, оказывается удобнее задавать каждую из функций формы в локальнойсистеме координат, связанной с рассматриваемым узлом расчетной сетки. В качестве примера, на рис. 6 приведен график полилинейной функции формы , определенной на плоской сетке, содержащей треугольные конечные элементы.

Рис. 5. Решение дифференциального уравнения методом конечных элементов

Рис. 6. Полилинейная функция формы , определенная на плоской сетке, содержащей треугольные конечные элементы

Метод конечных объемов

Использование метода конечных (контрольных) объемов продемонстрируем на примере из работы С. В.Патанкара [2]:

⁽¹³⁾

Решение задачи начнем с построения разностной сетки и разбиения расчетной области на непересекающиеся ячейки (объемы), каждая из которых содержит лишь один узел сетки (рис. 7).

Рис. 7. Расчетная сетка, используемая для решения уравнения (13) методом конечных объемов

(14)

Произведение представляют собой контрольный объём.

Заключение:

Использование численных методов для решения уравнений в частных производных является необходимым для понимания и оптимизации многих систем в науке и технике. Они позволяют нам моделировать сложные физические процессы и оптимизировать процессы в инженерии. Численные методы являются мощным инструментом для решения уравнений в частных производных и продолжают развиваться и улучшаться с развитием компьютерных технологий.

Список литературы:

1. Хьюз Т. Дж. Р. Метод конечных элементов: линейный статический и динамический анализ методом конечных элементов. – 2000.

2. Патанкар С. В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. – 1980.

3. Элман Х. С., Сильвестр, Д. Дж., и Уотен, А. Дж. Конечные элементы и быстрые итерационные решатели: с приложениями в динамике несжимаемой жидкости (том 3). – 2014.

4. Кузнецов Г. В, Шеремет М. А. Разностные методы решения задач теплопроводности: учебное пособие. – 2007.

5.StudFiles. Сайт. – URL: 4.2 Метод конечных элементов (studfile.net) (Дата обращения: 05.01.2024).

Код для цитирования: Скопировать