XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Метод наименьших квадратов³ (МНК) является одним из, базовых математических инструментов в статистике и эконометрике. Его применение в инвестиционной сфере играет немаловажна роль в анализе рисков, прогнозировании доходности активов, и оптимизации портфелей. В данной статье мы рассмотрим азы метода наименьших квадратов, его практическое применение в инвестиционной деятельности, преимущества и недостатки использования этого метода, а также рассмотрим конкретный пример его применения, подтверждающий эффективность МНК в инвестиционной сфере. Метод наименьших квадратов (МНК) представляет собой статистический метод, применяемый для оценки параметров модели по имеющимся данным. Основополагающая идея МНК заключается в минимизации суммы квадратов отклонений между фактическими значениями и предсказанными значениями модели. Этот метод активно применяется в эконометрике, статистике и финансах для анализа и прогнозирования.

Математически МНК может быть представлен следующим образом: при наличии набора данных ((x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n)), метод наименьших квадратов находит такие коэффициенты (a) и (b), что сумма квадратов разностей между фактическими значениями (y_i) и предсказанными значениями (ax_i + b) минимальна. Математически это можно выразить как:

 → min

где (a) и (b) - параметры модели, (x_i) - объясняющая переменная, (y_i) - зависимая переменная.

Этот метод широко применяется для аппроксимации точечных данных линейной моделью, а также для оценки коэффициентов связей между переменными. Коэффициент бета ‑ это мера систематического риска инвестиций, которая отображает чувствительность доходности актива к изменениям доходности рыночного портфеля. Он является одним из ключевых показателей, используемых в капиталовложениях и портфельном управлении.

Коэффициент бета призван помочь инвесторам оценить, насколько инвестиция чувствительна к колебаниям рыночных условий. Более высокий коэффициент бета указывает на более высокий систематический риск и потенциально более высокую прибыль в перспективе, а также и на более высокий потенциальный убыток в случае неблагоприятного развития событий. Наоборот, более низкий коэффициент бета указывает на более стабильное, но и менее доходное инвестирование.

Инвесторы используют коэффициент бета для оценки риска и включения активов в сбалансированные портфели, а также для оценки риска и доходности новых инвестиционных возможностей.  

Применение МНК в инвестиционной сфере:³

Метод наименьших квадратов (МНК) играет значительную роль в инвестиционной сфере, предоставляя инструменты для анализа и прогнозирования финансовых рынков, а также для управления портфелем и оценки рисков. 

Вот несколько способов, при помощи которых МНК применяется в инвестиционной деятельности:

1. Оценка доходности и риска активов: МНК может использоваться для оценки параметров моделей, предсказывающих доходность и риск различных активов, таких как акции, облигации, фьючерсы и другие финансовые инструменты. Это позволяет инвесторам принимать обоснованные решения о размещении средств.

2. Портфельное управление: МНК используется для оптимизации портфеля инвестиций, путем поиска таких комбинаций активов, которые обеспечивают оптимальное соотношение риска и доходности в соответствии с инвесторскими предпочтениями.

3. Факторная модель: МНК применяется для построения факторных моделей, которые помогают анализировать влияние различных факторов на доходность инвестиционных портфелей. Это позволяет выявить ключевые факторы, влияющие на доходность портфеля, и принимать соответствующие решения.

4. Прогнозирование финансовых показателей: МНК используется для построения моделей прогнозирования, таких как модели доходности активов, волатильности рынка, а также для анализа финансовых временных рядов.

Преимущества использования МНК в инвестиционной сфере:²

1. Универсальность: Метод наименьших квадратов применим к разнообразным финансовым моделям и анализу данных, что делает его универсальным инструментом для инвестиционной деятельности.

2. Простота и интерпретируемость: МНК часто используется для построения линейных моделей, что делает их более простыми в интерпретации и понимании результатов.

3. Эффективность: При корректном применении МНК можно получить эффективные оценки параметров моделей, что способствует принятию обоснованных инвестиционных решений.

4. Возможность учета множества переменных: МНК позволяет учитывать влияние нескольких факторов на исследуемые финансовые показатели, что позволяет проводить более сложный анализ.

Ограничения использования МНК в инвестиционной сфере:

1. Предположения модели: Метод наименьших квадратов требует выполнения определенных предположений о распределении ошибок и свойствах переменных, которые могут не всегда выполняться в реальных финансовых данных.

2. Чувствительность к выбросам: МНК может быть чувствителен к наличию выбросов (аномальных значений) в данных, что может исказить оценки параметров модели.

3. Мультиколлинеарность: Наличие мультиколлинеарности (высокой корреляции между объясняющими переменными) может привести к нестабильным оценкам коэффициентов модели.

4. Не учитывает динамику: МНК, основанный на регрессионном анализе, не всегда учитывает динамику финансовых рынков и может не улавливать изменчивость во времени.

Использование МНК в инвестиционной сфере имеет свои преимущества, однако важно помнить о его ограничениях и применять его с учетом конкретной ситуации и особенностей данных.

Для понимания механизма работы МНК я приведу пример расчётов: 

 Для прогнозирования цены биткоина с использованием метода наименьших квадратов (МНК) мы можем использовать данные о цене биткоина (Y) и объеме торгов (Х). Для удобства представим данные в виде таблицы: ¹

Дата	Цена Bitcoin (Y) $	Объем торгов (Х)млрд$
27.10.2023	34399,39	10,16
28.10.2023	34743,26	11,16
29.10.2023	34843,94	17,18
30.10.2023	34719,25	15,76
31.10.2023	35527,93	22,45
03.11.2023	35256,03	9,56
04.11.2023	35340,34	12,41
13.11.2023	36753,35	23,86
14.11.2023	37964,89	27,37
15.11.2023	37934,63	26,01

Сначала нам нужно рассчитать средние значения для переменных X и Y:

Дата	Значение (X)	Значение (Y)
27.10.2023	10,16	34399,39
28.10.2023	11,16	34743,26
29.10.2023	17,18	34843,94
30.10.2023	15,76	34719,25
31.10.2023	22,45	35527,93
03.11.2023	9,56	35256,03
04.11.2023	12,41	35340,34
13.11.2023	23,86	36753,35
14.11.2023	27,37	37964,89
15.11.2023	26,01	37934,63
Среднее арифметическое	17,592	35748,301

Затем найдем числитель и знаменатель для расчета коэффициентов а и b:

	Числитель		Знаменатель
	10025,10655		55,234624
	6464,423712		41,370624
	372,596732		0,169744
	1885,221432		3,356224
	-1070,562318		23,600164
	3953,920672		64,513024
	2114,053902		26,853124
	6299,647132		39,287824
	21673,80724		95,609284
	18404,51752		70,862724
Сумма	70122,73258	420,85736

Теперь мы можем рассчитать коэффициент а:

Коэффициент a

166,6187627

И коэффициент b:

Коэффициент b

32817,14373

Таким образом, значения коэффициентов а и b составляют примерно 166,62 и 32817 соответственно.

Таким образом, у нас есть уравнение регрессии: 

Y = 166,62X + 32817

Теперь, когда у нас есть уравнение регрессии, мы можем использовать его для прогнозирования цены биткоина. На каждый из следующих 5 дней мы подставим предполагаемое значение объема торгов X и рассчитаем прогнозную цену биткоина Y.

Основываясь на предшествующих дынных об объёмах торгов, предположим, что объем торгов на следующие 5 дней составит соответственно 12, 15, 26, 18, и 14 миллиардов долларов.

Тогда прогноз на следующие 5 дней будет выглядеть следующим образом:

Дата	Предположенные значения объема торгов млрд$	Спрогнозированные значения Стоимости$
16.11.2023	12,00	34816,56888
17.11.2023	15,00	35316,42517
18.11.2023	26,00	37149,23156
19.11.2023	18,00	35816,28146
20.11.2023	14,00	35149,8064

Таким образом, мы получили максимально приближённые к реальности значения. 

Также, я приведу несколько классических примеров применения метода наименьших квадратов в финансовом анализе и инвестициях:

1. Оценка коэффициентов CAPM модели: Расчет коэффициентов беты для различных активов с использованием МНК для анализа Капитально-рыночной линии (Capital Market Line) и Линии рассеяния (Security Market Line).

2. Анализ факторной модели активов: Построение факторной модели для оценки влияния макроэкономических показателей на доходность портфеля с последующим применением МНК для оценки коэффициентов влияния факторов.

3. Оптимизация портфельной модели Марковица: Расчет оптимального соотношения активов с учетом их ожидаемой доходности и ковариации с использованием МНК для определения коэффициентов в модели Марковица.

В целом, данный метод наименьших квадратов (МНК) является мощным инструментом для оценки коэффициентов и анализа зависимостей в инвестиционной сфере. В данном примере мы использовали МНК для оценки коэффициентов бета для активов A и B, что позволяет инвесторам оценивать их чувствительность к движениям рынка.

В заключении, МНК предоставляет возможность статистически оценивать и анализировать взаимосвязи между доходностями активов и рыночным портфелем, что является ключевым аспектом при оценке инвестиционных рисков и формировании оптимальных портфелей. Однако важно помнить ограничения МНК и возможные искажения результатов, которые могут возникнуть в реальных финансовых данных.

Список литературы

1. График курса Bitcoin за всю историю [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://www.bitget.com/ru/price/bitcoin/historical-data (дата обращения 10.11.2023)

2. Метод наименьших квадратов: простое объяснение и основные свойства [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://NauchnieStati.ru/spravka/metod-naimenshih-kvadratov/ (дата обращения 14.11.2023  )

3. Прогнозирование цен на акции на примере ПАО 'Газпром' [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://www.BiblioFond.ru/view.aspx?id=884310 (дата обращения 17.11.2023  )

4. Статистический анализ: ключевые методы и их применение в исследованиях [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://NauchnieStati.ru/spravka/metody-analiza-statisticheskoj-informaczii/ (дата обращения 20.11.2023)

Код для цитирования: Скопировать