XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Метод Милна относится к многошаговым методам и представляет один из методов прогноза и коррекции. Для решения дифференциального уравнения с использованием метода Милна необходимо начать с выбора начального условия и шага интегрирования. Решение производится в два этапа. Первый – прогнозирование значения функции, второй – коррекция полученного значения. Если полученное значение после коррекции существенно отличается от спрогнозированного, то проводят еще один этап коррекции. Если такая ситуация повторяется, коррекция проводится до того момента, пока значение не будет удовлетворять требуемому. Однако очень часто ограничиваются одним этапом коррекции.

Существует две вариации метода Милна: метод Милна четвёртого порядка точности, который будет рассмотрен далее, а также метод Милна шестого порядка точности, в котором будет использовано шесть предыдущих точек, а не четыре.

Метод Милна не является «самодостаточным», для его применения требуется получить исходные данные с помощью какого – либо одношагового метода.

Обычно для получения исходных значений для применения метода Милна используют метод Рунге-Кутты. С его помощью находят исходные значения.

Рассмотрим алгоритм самого метода:

1. Использование одношагового метода для получения начальных данных

2. Вычисление первого приближения по первой формуле Милна

3. Вычисление решения дифференциального уравнения при помощи полученного значения

4. Нахождение второго приближения (коррекции) по второй формуле Милна

5. Если уточнённое значение приближения не удовлетворяет условиям, проводится последующая корректировка.

Метод Милна имеет следующие вычислительные формулы:

I Формула:

Этап предположения (прогноза):

, 3 < i < n – 1;

где для компактности записи использовано следующее обозначение

;

II Формула

Этап коррекции:

Абсолютная погрешность определяется по формуле:

Сам метод требует несколько меньшего количества вычислений, однако для его использования требуется получить изначальный отрезок для вычислений, а затем получить начальные значения функции, используя один из одношаговых методов.

Пример

Используя метод Милна, составить таблицу приближенных значений интеграла удовлетворяющего начальным условиям на отрезке [0; 1] ; шаг h = 0,1 ; все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Сначала создаем функцию для вычисления начальных значений по формуле Рунге – Кутты:

Рис. 1. Создание функции Рунге - Кутты

В этой же функции мы заполняем массив со значениями функции для дальнейшего их использования в формуле Милна.

Затем мы заполняем массив точных значений, которые мы подсчитали:

y(0) = 1;

y(1) = - 2/(0.1 * 0.1 – 2) = 1,005025126;

y(2) = -2 /( 0.2 * 0.2 - 2) = 1,020408163l;

и т.п.

Рис. 2. Вычисление точных значений

Рис. 3 Заполнение массива точных вычислений

Теперь же, используя формулу Милна, составим таблицу значений, используя цикл и условный оператор. Особое внимание стоит обратить на индексы массивов, чтобы не запутаться в дальнейшем при выводе таблицы.

Рис. 4. Вычисления по формуле Милна

Рис. 5. Вывод значений

Таким получился вывод на консоль. Полученное значение получилось очень близким к точному, учитывая то, что коррекцию мы проводили лишь единожды.

Рис. 6. Вывод значений на консоль

Подсчитаем абсолютную погрешность для каждого шага:

Рис. 7. Абсолютная погрешность

Как мы можем заметить, абсолютная погрешность достаточно мала, так что с уверенностью можно сказать, что метод Милна точен, в той или иной степени.

Заключение

Метод Милна, хоть и является многошаговым методом, не представляет особой сложности, так как для вычислений порой бывает достаточно нескольких шагов. Он подходит для повседневных задач, его легко можно запрограммировать, а также его абсолютная погрешность достаточно мала, что позволяет использовать его без проверки другими методами.

Список литературы:

1. Игумнов Л. А Методы вычислительной математики. Решение уравнений и систем уравнений [Текст]: учеб. пособие / Л. А. Игумнов, С. Ю. Литвинчук, Т. В. Юрченко; Нижегор. гос. архитектур. – строит. ун-т. – Н. Новгород: ННГАСУ, 2018. – 100 с. ISBN 978-5-528-00268-2

2. Численные методы : учебное пособие / А.С. Шевченко. — Москва : ИНФРА-М, 2022. —381 с. ISBN 978-5-16-107164-9 (online)

3. Метод Милна. Режим доступа: https://studbooks.net/2305186/matematika_himiya_fizika/metod_milna (Дата обращения 25.11.2023).

Код для цитирования: Скопировать