XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Практическая работа учителя математики в школе показала, что формирование основополагающих математических понятий в современных условиях обучения требует дополнительного внимания педагога при введении понятия «функция». В условиях информационно-объяснительного подхода к обучению, реализующегося на уроках математики, понятие функции и ее свойства воспринимаются обучающимися формально и не связаны с соответствующими геометрическими образами. Следствием этого может быть то, что школьникам трудно оперировать изученными понятиями и отвечать на достаточно простые вопросы.

Ю. М. Колягин отмечал, что понятие функции обладает способностью точно описывать изменения и динамику в реальной действительности, что делает его мощным инструментом для анализа взаимосвязей между объектами и явлениями. В школьном курсе математики так же уделяется особое внимание развитию представлений о зависимостях между величинами. Исследователи отмечают важность формирования понимания функциональных зависимостей уже на ранних этапах обучения [3].

Формирование понятия функции проходит через весь школьный курс математики. Анализ методической литературы [1], [2], [3] позволил выделить семь этапов формирования понятия функции:

На пропедевтическом этапе, который проводится в начальной школе, учащиеся знакомятся с основными понятиями и принципами взаимосвязи между величинами. Они изучают различные темы в математике, которые являются основой для понимания функциональной зависимости. На этом этапе большое внимание уделяется понятию переменной и зависимости между величинами. Также первоначально вводятся графики, диаграммы и простые схемы, которые могут быть использованы для иллюстрации функциональных зависимостей.

На данном этапе можно использовать данные задачи:

1. Соедините стрелками примеры и соответствующие для них ответы.

3+5	17
9+8	15
8+7	8
4+3	12
7+5	7

2. Запишите равенство, которое изобразили на числовом луче:

Рисунок 1. Составление числовых равенств с помощью числового луча

3. Заполните пропуски в таблице 1, выполнив вычисления:

Таблица 1

Уменьшаемое	34	55	67	77		59
Вычитаемое	24	34		18	34		76
Разность	10		10		32	56	15

4. На диаграмме (рис. 2) показано, сколько взрослых билетов было продано на детский спектакль в каждый из пяти дней недели. В какой день было продано 10 билетов? На сколько больше билетов продали во вторник, чем в среду? В какой день продали больше всего билетов? Сколько билетов продали в четверг и пятницу?

Рисунок 2. Изображение дискретных величин с помощью диаграммы

5. Карлсон прочитал в рецепте клубничного варенья о том, что на 4 кг ягод надо взять 3 кг сахарного песка. Сколько килограммов сахарного песка надо взять Карлсону, чтобы сварить варенье из 12 кг ягод?

На втором этапе, который проходит в 5-6 классах, продолжается пропедевтический подход. В этот период еще не вводится формальное определение функциональной зависимости, но учащиеся получают базовые знания и навыки, необходимые для понимания понятия функции в дальнейшем. На уроках математики в этот период рассматриваются такие темы, как координатный луч и изображение чисел на нем, понятие координат точек, пропорциональность (прямая и обратная), примеры простейших диаграмм и графиков, переменные величины, прямоугольная система координат, абсциссы и ординаты точек, изображение точек на координатной плоскости. В процессе изучения этих тем, учащиеся впервые сталкиваются с взаимозависимостью переменных, представленных в математических формулах.

На данном этапе можно использовать данные задачи:

1. Бегун пробегает за час 8 км. Сколько он пробежит за 1 час; 1,5 часа; 2 часа; 2,5 часа; 3 часа?

2. Цена пшеницы 10 коп. за кг. Сколько стоит 1 кг; 1,5 кг; 2 кг; 2,5 кг; 3 кг; 4 кг; 5 кг; 6 кг; 7 кг; 8 кг; 9 кг; 10 кг?

3. Вес детали 12 г, площадь её основания s дм² её поставили на горизонтальную опорную плоскость. Выразите давление детали на 1 см² опоры. Составьте таблицу значений давления для s=1, s=2, s=3, s=4, s=5, s=6, s=7, s=8.

4. Учащийся 6 «Б» получил задание по географии – наблюдать за температурой раз в день (в 12 ч) на протяжении 9 дней. Учащийся представил изменение температуры на следующем графике (рис. 3).

Рисунок 2. Условие задачи 4

На третьем этапе формирования понятия о функциональной зависимости, который приходится на 7 класс, учащиеся знакомятся с такими понятиями, как "функция", "область определения функции", "область значений функции", "график функции" и "способы задания функции". Они изучают различные типы функций, включая линейные зависимости, прямую и обратную пропорциональность, квадратичные и кубические зависимости. Ученики также учатся строить графики функций и изучают их свойства. Формируются навыки перехода от одного способа задания функции к другому, определения принадлежности точки на плоскости графику функции и вычисления значения функции при заданном значении аргумента.

Однако, на данном этапе не удается полностью раскрыть содержание понятия функциональной зависимости. Строгое формальное определение функциональной зависимости не рассматривается, и понимание функции учащимися осуществляется на интуитивном уровне.

На данном этапе можно использовать данные задачи:

1. Ученик купил тетради по 3 р. за штуку и ручку за Зр. 50 к. Стоимость покупки зависит от числа тетрадей.

2. Постройте график функции у=2(х-1) +3 и найдите координаты точек пересечения графика с осями координат.

3. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и параллелен прямой у=9х-3.

4. Найдите значения коэффициентов к в уравнениях прямых у = кх, изображенных на рисунке 3. Запишите уравнения этих прямых.

Рисунок 3. Задача 4

5. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой у=2х+11 и пересекается с графиком у=х-3 в точке, лежащей на оси ординат.

На четвертом этапе 8 и 9 классов ученики продолжают развивать свои знания о понятии "функциональная зависимость величин". На уроках математики они изучают новые виды функций:

; ; ; x

Они также изучают графический метод решения уравнений и неравенств. На данном этапе происходит обобщение понятия функции и уточнение его определения. Вводится существенный признак понятия функции: каждому значению x соответствует единственное значение y. Важно систематизировать и обобщить знания учащихся об этом понятии, а также показать прикладной характер знаний о функциональной зависимости.

На данном этапе можно использовать данные задачи:

1. Задан график функции y=x². Построить на этом чертеже график функции y=x²+1.

2. На рисунке изображены графики функций y=x² и y=-0,5x². Как относительно них пройдет график функции y=0,5x²; -2x²; 3x²?

3. На рисунке 5 изображен график функции y=x²+1, -3<x<3. Пользуясь этим графиком изобразите от руки график функции y=x²+0,3. Проверьте правильность сделанного графика, вычислив значения функции y=x² при x= 0,5 и x=-0,5. И отметьте точки графика.

Рисунок 5. Задача 3

На пятом этапе обучения, который проходит в старших классах школы (10-11 классы), происходит более глубокое изучение функциональной зависимости между величинами. В рамках математических уроков изучаются основы математического анализа, которые затем применяются для изучения более сложных функций и построения их графиков. Это позволяет использовать ранее полученные знания о функциях в более продвинутом контексте.

Таким образом в ходе развития понятия функции на уроках математики в школе огромное значение придается осознанию функций как средства моделирования и описания взаимосвязей между переменными. Ученики разрабатывают навыки манипулирования таблицами, графиками и формулами, и становятся способными анализировать и применять функции для решения задач различных дисциплин.

1. Покровский В.П. Методика обучения математики: функциональная содержательно-методическая линия: учеб-метод. пособие / Покровский В.П.; Владимир. гос. ун-т им. А.Г. и Н.Г. Столетовых – Владимир: Изд-во ВлГУ, 2018 – 143.

2. Рогановский Н. М. Методика преподавания в средней школе. – Мн.: «Высшая школа», 2013. – 240.

3. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие/ Т.А. Иванова, Е.Н. Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И. Кузнецова // Под ред. Т.А. Ивановой. – Н.Новгород: НГПУ, 2015. – 46.

Код для цитирования: Скопировать