XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Анализ программ и учебников по математике для 5-6 классов показал, что знакомство с элементами комбинаторики и решение комбинаторных задач выделено в отдельный раздел (тему). В ряде программ этот раздел не является обязательным к изучению. Наряду с этим, элементы комбинаторики включены в программу основного государственного экзамена (ОГЭ) по математике. Комбинаторные умения применяются в решении задач на вычисление вероятности событий входящих в контрольно-измерительные материалы (КИМы). Поэтому возникает противоречие между недостатков часов на изучение комбинаторных методов в непрофильных классах и необходимостью применять школьниками комбинаторные действия в ходе выполнения заданий ОГЭ.

Наряду с этим, комбинаторные задания выполняют не только образовательную, но и развивающую функцию. В работах Ермаковой Е.С, Румянцевой И.Б., Целищевой И.И. [3, 4], Брызгаловой, О.Б., Катковой Е.Н., Рахимовой М.Х. [2] и других отмечается, что задания этого вида развивают гибкость (вариативность, креативность) мышления, комбинаторные способности, комбинаторное мышление. Влияние обучения математике на развитие гибкости мышления подчёркивали многие учёные: Л.В.Занков, А.Н.Колмогоров, В.А.Крутецкий, Н.И.Непомнящая, Фредерик и Жорж Папи, В.Ф.Парламарчук и другие. В работах В.А.Крутецкого обосновано, что гибкость – это характеристика не только творческого, но и математического мышления. Бельгийские психологи Фредерик и Жорж Папи считали «рассмотрение ситуации с различных сторон наиболее эффективным фактором, развивающим математические способности» [1, С.25]. Таким образом, гибкость мышления целесообразно формировать с помощью обучения решению математических задач, отвечающих вышеуказанным требованиям.

Поэтому в рамках курсового исследования мы составили комплекс комбинаторных и вариативных заданий, которые учитель математики может включать в уроки математики по темам «Натуральные числа», «Обыкновенные дроби», «Десятичные дроби», «Координатная плоскость», а также при изучении геометрического материала и решении сюжетных задач.

Комбинаторные задания по теме «Натуральные числа»

Цель: закрепить знания по теме «Натуральные числа», признаки делимости натуральных чисел, умение образовывать числа из нескольких меньших чисел в процессе решения комбинаторных и вариативных задач.

Задание 1. Решите задачу: «Коля должен позвонить по определённому номеру телефона. Но он забыл последнюю цифру номера, запомнив лишь то, что она обозначает нечётное число. Какое максимальное число звонков должен сделать Коля, чтобы дозвониться нужному абоненту?»

Задание 2. Решите задачу: «Синяя лента на 5 см длиннее красной, а красная лента короче зелёной. Какой длинны может быть каждая лента, если их общая длинна 2 метра и длина каждой не меньше 60 см?

Задание 3. Педагог предлагает детям найти решение задачи: «Из цифр 9, 7, 5, 0 составляют все возможные трёхзначные числа, в записи которых нет одинаковых цифр. Сколько среди них чисел, меньших 900?»

З адание 4. В кружках по сторонам этого треугольника нужно поставить все значащие цифры от 1 до 9 так, чтобы сумма всех чисел на каждой из сторон треугольника была равна 20.

Задание 5. В кружках по сторонам этого треугольника нужно поставить все значащие цифры от 1 до 9 так, чтобы сумма всех чисел на каждой из сторон треугольника была равна 19.

Задание 6. Найдите решение задачи: «Сколько всего четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0 и 1?»

Задание 7. Педагог предлагает детям решить задачу: «Сколько трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, чтобы цифры в записи каждого числа не повторялись?»

Задание 8. Какие цифры можно записать вместо знака «*», чтобы получилось число делящееся на 3: а) 54*0; б) 111*3; в) 9*12.

Задание 9. Какие цифры можно записать вместо знака «*», чтобы получилось число делящееся на 4: а) 8911*0; б) 7711*2; в) 912003*.

Задание 10. Какие цифры можно записать вместо знака «*», чтобы получилось верное неравенство: а) 5200*<52007, б) 64*5>64*6, в) 91**<91*9.

Комбинаторные задания по теме «Обыкновенные дроби»

Цель: закрепить знания по теме «Обыкновенные дроби» и умение составлять разные дроби в процессе решения комбинаторных задач.

Задание 1. Сколько правильных дробей со знаменателем 9 можно записать? Выпиши такие дроби.

Задание 2. Сколько неправильных дробейсо знаменателем 7,не превосходящих числа 2, можно записать?

Задание 3. Сколько существует неправильных дробей с числителем 11?

Задание 4. Сколько существует правильных дробей с числителем 11, больших, чем ?

Задание 5. Сколькими способами можно записать цифру в разряд десятков числителя, чтобы дробь была правильной ?

Задание 6. Сколькими способами можно записать цифру в разряд десятков знаменателя, чтобы дробь была правильной ?

Задание 7. Сколькими способами можно записать цифру в разряд десятков числителя, чтобы дробь была не правильной ?

Задание 8. Сколькими способами можно записать цифру в разряд десятков знаменателя, чтобы дробь была не правильной ?

Задание 9. Сколько различных дробей можно записать, используя цифры 1, 2, 3, чтобы цифры в записи не повторялись?

Задание 10. Сколько различных дробей можно записать, используя цифры 0, 2, 3? Запиши эти дроби так, чтобы цифры в записи не повторялись.

Задание 11. Сколько различных дробей можно записать, используя числа 11, 22, 33?

Комбинаторные задания по теме «Десятичные дроби»

Цель:закрепить знания по теме «Десятичные дроби» и умение составлять разные дроби в процессе решения комбинаторных задач.

Задание 1. Сколько десятичных дробей можно составить, используя цифры 5, 6 и 7, так, чтобы цифры в их записи не повторялись?

Задание 2. Запиши несколько десятичных дробей, используя цифры 0 и 7, так, чтобы цифры в их записи повторялись.

Задание 3. Запиши десятичные дроби, используя цифры 8, 4, 9, 0 такие, чтобы дробь была больше числа 90. Цифры в записи числа не должны повторяться.

Задание 4. Запиши десятичные дроби, используя цифры 2, 5,6, 1 такие, чтобы дробь была меньше числа 5. Цифры в записи числа не должны повторяться.

Задание 5. Запиши десятичные дроби, используя цифры 1, 4, 5, 7 такие, чтобы в разряде десятков была цифра 1. Цифры в записи числа не должны повторяться.

Задание 6. Запиши десятичные дроби, используя цифры 1, 0, 5, 7 такие, чтобы в разряде десятых была цифра 1. Цифры в записи числа не должны повторяться.

Задание 7. Запиши десятичные дроби, используя цифры 2, 9, 5, 7, 3, 4 такие, чтобы в разряде сотен была цифра 2, а в разряде сотых была цифра 5. Цифры в записи числа не должны повторяться.

Задание 8. Запиши десятичные дроби, используя цифры 2, 0, 3, 4 такие, чтобы в разряде десятков была цифра 3, а в разряде десятых была цифра 4. Цифры в записи числа не должны повторяться.

Комбинаторные заданияпо теме «Геометрические фигуры»

З адание 1. Из прямоугольного листа бумаги длиной 6 см и шириной 3 см нужно вырезать одинаковые детали, такие, как на рисунке

Начерти, как расположить эти детали, чтобы получить их из этого листа как можно больше.

Задание 2. Из прямоугольного листа бумаги длиной 7 см и шириной 4 см нужно вырезать 7 одинаковых деталей. Какими могут быть детали? Можно ли вырезать 14 одинаковых деталей? Какими они могут быть?

З адание 3. Педагог предлагает детям внимательно посмотреть на рисунок и подсчитать, сколько прямоугольников изображено на нём.

З адание 4. Педагог предлагает детям составить из 11 палочек греческий храм, как на рисунке:

Переложите 4 палочки так, чтобы получилось 15 квадратов.

З адание 5. Педагог формулирует детям задачу: «К чаю был куплен торт, украшенный розочками, как показано на рисунке. По трём прямым его разрезали на 7 кусков. На каждом куске, при этом, оказалось по одной розочке. Как разрезали торт?»

Задание 6. Рассмотрите чертёж. Сколько всего углов на чертеже?

Д ля обозначения углов на чертеже можно использовать буквы A, B, C, D. Сколькими способами можно обозначить углы на чертеже?

З адание 7. Рассмотрите чертёж. Сколько углов на чертеже? Для обозначения углов на чертеже можно использовать буквы F, N, M, H. Сколькими способами можно обозначить углы на чертеже?

Сюжетные комбинаторные задачи

Задание 1. Педагог предлагает детям послушать рассказ «Несостоявшийся обед».

• Восемь приятелей решили пообедать в кафе. Им нужно было занять 2 стола по 4 человека, но тут у них начались споры, кому, где и рядом с кем сесть, прямо как в басне И.А.Крылова «Квартет». Официант хотел принять заказ, но друзья никак не могут решить, как же им сидеть. Тогда официант им говорит: «А вы попробуйте все способы посадки из 8 человек по 4. Каждый способ записывайте, чтобы не повторялся. Как только закончите все способы посадки 8 человек по 4, позовите меня, и я накормлю вас обедом бесплатно». Обрадовались приятели, стали рассаживаться да пересаживаться и каждый способ посадки записывать. Пересаживались, пересаживались, а способы всё никак не кончаются. Сколько же всего способов размещения 8 человек по 4 человека? Тут только один из них вспомнил, что для определения всех способов размещения из 8 человек по 4 нужно 8  7  6  5. Стали друзья умножать, да так и ахнули: всех способов размещения по 4 человека из 8 оказалось 1680! Разве их все перепробуешь? Так и ушли приятели из кафе несолоно хлебавши.

После этого педагог организует обсуждение прослушанного рассказа.

Задание 2. Сколькими способами можно рассадить 4 учеников за 2 парты?

Задание 3. Решите задачу: «В детский сад привезли 10 ящиков с фруктами. Ящиков с яблоками было больше на два, чем с грушами, с лимонами меньше, чем с яблоками. Сколько ящиков отдельно привезли с яблоками, с грушами и с лимонами?» (Задача имеет несколько решений)

Задание 4. Решите задачу с помощью графа: «У спортсмена-лыжника есть три пары лыж и три пары палок. Сколькими способами он может выбрать для себя на соревнования лыжи и палки?»

Задание 5. Решите задачу: «Папе нужно поменять в машине масло и тормозную жидкость. У него есть три канистры масла и две бутылки тормозной жидкости разных производителей. Сколькими способами папа может выполнить эту замену?»

Задание 6. Миша, Вася, Катя и Лиза поздравили друг друга с Новым годом, подписав открытки. Покажите с помощью ориентированного графа кто - кому подписал открытки. Покажи на графе красными стрелками кому Миша подписал открытки, а синим – кто подписал Мише. Сколько всего открыток было подписано ребятами?

Задание 7. Из 5 картин нужно повесить на стену в ряд только три картины. 1) Сколькими способами можно сделать наборы из 5 картин по 3 картины? 2) Сколькими способами можно расположить в ряд 3 картины, если они выбираются из 5 различных картин? Каждый способ отличается как набором картин, так и порядком их следования.

Задание 8. В связке 7 ключей. Нужно открыть 5 замков. Какое максимальное количество попыток нужно сделать, чтобы узнать, какой ключ подходит к каждому замку? Решите задачу с помощью таблицы.

Задание 9. На пути у туристов гора. На гору ведут 3 дороги, с горы – 1 дорога. Сколькими способами туристы могут перебраться через гору по ээтим дорогам. Решите задачу с помощью графа.

Задание 10. Мама готовит суп, в который ей нужно положить морковь и лук. У неё есть три морковки разного размера и три луковицы разного размера. Сколькими способами мама может отобрать для супа одну морковь и одну луковицу?

Разработанные задания позволят учителю комплексно решать задачи:

• формировать и развивать комбинаторные действия у школьников, овладевать комбинаторными методами;

• закреплять учебный материал с помощью нестандартных, эвристических заданий;

• развивать гибкость математического мышления учащихся.

Список литературы:

1. Папи Ф., Папи Ж. Дети и графы. Обучение детей шестилетнего возраста математическим понятиям. - М., 1974.- 192 с.

2. Рахимова М.Х. Формирование креативности у детей дошкольного возраста (4-7 лет) // Проблемы педагогики. - 2019.- №6(45) .- С.28-30.

3. Румянцева И.Б, Целищева И.И. Развитие гибкости мышления младших школьников на внеурочных занятиях по программе «Занимательная комбинаторика» // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки. – 2018 .- № 1 (49). - С. 138-146.

4. Румянцева И.Б., Целищева И.И. Дополнительная образовательная программа внеурочной деятельности «Занимательная комбинаторика» для детей младшего школьного возраста (7-10 лет) // В сб.: Сборник программ внеурочной деятельности. Начальная школа (образовательная система «Школа 2100»). Кн.1 /Сост. О.М.Корчемлюк. – М.: Баласс, 2013. С. 88-102.

Код для цитирования: Скопировать