XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Фундаментом математических знаний, умений и навыков учащихся для успешного изучения курса математики в основной школе являются основы тождественных преобразований. Линия тождественных преобразований входит в одну из четырех основных разделов содержательных линий школьного курса алгебры (учение о функции, числе, уравнения и неравенства, тождественные преобразования). Тождественные преобразования изучаются в течение всего курса математики, начиная с начальных классов. С основными понятиями содержательно-методической линии «Тождественные преобразования», такими как тождество, тождественное преобразование, многочлен и др., учащиеся знакомятся в курсе алгебры 7 класса.

Основная цель изучения тождественных преобразований – научить учащихся применять определенные правила и методы, чтобы упрощать и преобразовывать алгебраические выражения, сохраняя их эквивалентность. Это важное умение, которое позволяет обучающимся развивать навыки самостоятельного анализа, оценки и выбора наиболее эффективного пути решения алгебраических задач. Они учатся применять различные тождественные преобразования, такие как коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и другие, для упрощения выражений, факторизации, нахождения общих множителей и других алгебраических операций [2].

Содержание тождественных преобразований в основной школе выделяется в настоящее время с полной определенностью. Распределение тождественных преобразований по классам приведено в таблице 1.

Таблица 1

Класс	Содержание материала
5	Числовые и буквенные выражения. Упрощение выражений. Приведение подобных слагаемых.
6	Числовые выражения, содержание знаки плюс, минус. Алгебраическая сумма. Правила умножения и деления положительные и отрицательные чисел, обыкновенных дробей. Преобразование выражений: раскрытие скобок, заключение в скобки.
7	Алгебраические выражения. Допустимые значения выражений. Степень с натуральным показателем и ее свойства. Степень с нулевым показателем. Одночлен. Подобные одночлены. Преобразования одночленов. Многочлен. Сложение и вычитание многочленов. Умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения. Деление многочлена на одночлен. Разложение многочлена на множители Сокращение алгебраических дробей. Тождества.
8	Алгебраическая дробь. Основное Свойство алгебраической дроби. Действия с алгебраическими дробями. Преобразование рациональных выражений. Степень с отрицательным целым показателем. Квадратные корни. Свойства квадратного корня. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.
9	Рациональные выражения. Тождества.

Изучение тождественных преобразований предполагает выделение четырех этапов [1]:

• пропедевтический этап (5-6 классы);

• первый этап (7 класс), использование нерасчлененной системы преобразований;

• второй этап (8-9 классы), рассмотрение конкретных видов преобразований;

• третий этап (10-11 классы), формирование целостной системы преобразований.

Простейшие тождественные преобразования числовых и буквенных выражений (приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок и заключение в скобки и т.д.) начинают рассматриваться на пропедевтическом этапе. На пропедевтическом этапе для преобразования числовых выражений используются правила выполнения действий с числами в соответствии с изучаемым множеством чисел. Цель этого этапа – достичь беглости в рациональном выполнении вычислений в соответствии с известными алгоритмами с опорой на свойства действий. Это основная задача курса математики 5–6-х классов.

Систематически и углубленно вопросы, связанные с обучением тождественным преобразованиям, изучаются в курсе алгебры, начиная с седьмого класса. При изучении методов тождественных преобразований важным является систематизировать теоретическую базу, на которой основываются различные виды преобразований, и сформировать умения и навыки их применения.

К основным понятиям линии тождественных преобразований относятся: тождество, тождественно равные выражения, тождественные преобразования.

Рассмотрим, каким образом, составители учебно-методических комплексов вводят понятие тождества (таблица 2).

Таблица 2

УМК	Понятие тождества
Ю.Н. Макарычев	Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
С.М. Никольский	Равенство между буквенными выражениями называют тождеством, если оно превращается в верное числовое равенство при подстановке в него вместо букв любых чисел.
А.Г. Мордкович	Равенства, верные при любых значениях входящих в их состав переменных, называют тождествами.

Совместно с понятием «тождества» авторы учебников вводят понятия «тождественно равные» и «тождественные преобразования», используя также абстрактно-дедуктивный метод, кроме С.М. Никольского [6], у него данные понятия не вводятся. При этом Ю.Н. Макарычев [3] вводит понятие тождественно равных перед определением тождества, а А.Г. Мордкович [4] вводит его уже после.

После введения понятие всеми авторами рассматриваются основные тождественные преобразования, которые выполняются над тождествами и другими алгебраическими выражениями: переместительный закон сложения и умножения, раскрытие скобок, группировка слагаемых и множителей, распределительное свойство, приведение подобных слагаемых, формулы сокращенного умножения.

Пример 1 (Ю.Н. Макарычев [3]). Докажите тождество: .

Пример 2 (С.М. Никольский [6]). Найдите одночлен, равный сумме подобных слагаемых: .

Пример 3 (А.Г. Мордкович [5]). Выполните действия, используя соответствующую формулу сокращенного умножения:

На основании проведенного исследования представим некоторые методические рекомендации к изучению тождественных преобразований на уроках алгебры в 7 классе, которые являются результатом обобщения педагогического опыта работы учителем математики в гимназии № 1 г.о. Шуя.

• Формулировка целей и ожиданий: педагог должен ясно определить цели и ожидания на уроках алгебры при изучении тождественных преобразований. Это может включать развитие умения анализировать алгебраические выражения, применять тождественные преобразования для упрощения выражений или решения уравнений, и развитие уверенности в применении этих методов.

• Постепенное введение тождественных преобразований: учитель должен вводить тождественные преобразования постепенно, начиная с основных преобразований и наиболее простых, и постепенно переходя к более сложным преобразованиям. Это позволит учащимся постепенно осваивать эти методы и развивать навыки их применения.

• Практическое применение тождественных преобразований: учитель должен предлагать обучающимся практические задания, которые требуют применения тождественных преобразований для решения. Задания могут быть связаны с реальными примерами, задачами из реального мира, или примерами из алгебры, которые имеют практическое применение. Это поможет учащимся увидеть практическую ценность методов и их применимость. Например, учащимся можно предложить создать модель для прогнозирования продаж в магазине. Для этого мы можем использовать тождественные преобразования для анализа данных и построения математической модели.

• Разнообразные методы и приемы: необходимо принять различные методы и приемы на уроках алгебры, такие как объяснения, демонстрации, практические упражнения, групповую работу, игры, и другие. Разнообразие методов поможет лучше адаптироваться к разным стилям обучения и предпочтениям обучающихся, и создаст более интересную и привлекательную учебную среду. Например, учащихся можно разделить на группы, при этом целесообразно сделать группы равносильными, и дать карточку с заданиями с уровнями сложности:

Уровень A (2 балла)	Упросите выражение: .
Уровень B (3 балла)	Представьте алгебраическую сумму в виде произведения
Уровень C (5 баллов)	Найдите наименьшее целое число, при котором верно неравенство:

• Индивидуальный подход: педагог должен учитывать индивидуальные особенности обучающихся, их уровень подготовки, интересы и потребности. Индивидуальный подход позволит адаптировать методы и приемы с уровнем и потребностями каждого учащегося, и поможет им более эффективно изучать тождественные преобразования. Для учащихся с более сильным уровнем знаний можно предлагать дополнительные сложные задания. Пример задания: Даны два числа (не обязательно целые), не равные 0. Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу?

• Постоянный мониторинг и обратная связь: необходимо постоянно следить за прогрессом обучающихся при изучении тождественных преобразований. Обратная связь должна быть своевременной и конструктивной, с акцентом на укрепление положительных достижений и указанием на возможные области для улучшения.

• Поддержка самостоятельной работы: учитель должен поощрять самостоятельную работу учащихся, предлагая им дополнительные упражнения и задания для самостоятельной практики тождественных преобразований. Это поможет обучающимся укрепить и закрепить свои навыки, и развить навыки самостоятельного решения алгебраических задач. Например, какие значения может принимать выражение  , где a и b — несовпадающие между собой корни уравнения  .

• Интеграция тождественных преобразований в другие темы: педагог может интегрировать тождественные преобразования в другие темы алгебры, такие как решение уравнений, факторизация, раскрытие скобок и др. Это поможет учащимся видеть применение тождественных преобразований в различных контекстах и способствовать улучшению качества обучения. Например, решите уравнение: .

• Содействие развитию творческого мышления: педагог может поощрять творческое мышление обучающихся, предлагая им задания, которые требуют применения тождественных преобразований в нестандартных ситуациях или для решения сложных задач. Это поможет развить у обучающихся логическое, критическое и креативное мышление, способность к анализу, синтезу и применению математических методов в реальных ситуациях. Например, произведение положительных чисел a и b равно 1. Известно, что Найдите a + b.

Таким образом, на уроках алгебры при изучении тождественных преобразований от педагогов требуется осознанный подход к обучению, используя разнообразных методов и приемов, адаптации к потребностям и особенностям учащихся, а также поддержки и мотивации со стороны педагога. Используя предлагаемые методические рекомендации, изучение тождественных преобразований на уроках алгебры в 7 классе будет способствовать улучшению качества знаний учащихся.

Список литературы

1. Боженкова Л.И. Изучение тождественных преобразований выражений в условиях реализации ФГОС // Конференциум АСОУ: сборник научных трудов и материалов научно-практических конференций. 2016. № 1. С. 124-138. Режим доступа: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=26374634 (дата обращения: 02.11.2023).

2. Бондаренко Т.Е., Малакеева Н.В. Тождественные преобразования - угроза равносильности уравнений // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. 2015. Т. 3. № 5-1 (16-1). С. 315-320. Режим доступа: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=25013153 (дата обращения: 01.10.2023).

3. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2020. – 256 с.

4. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 13-е изд., испр. – М. Мнемозина, 2009. – 160 с.

5. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 2. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 17-е изд., испр. – М. Мнемозина, 2013. – 271 с.

6. Никольский С.М. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 287 с.

Код для цитирования: Скопировать