XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Интерполяция – ключевой инструмент для приближенного вычисления значений функции на основе ограниченного набора данных в численных методах. В задачах, где функция задана множеством точек, а вычисления необходимо произвести в точках отличных от заданных, или когда функция задана аналитически, но слишком трудна для вычисления по формуле, интерполяционные формулы широко применяются для аппроксимации функций и получения приближенных значений.

В данной статье будет рассмотрено сравнении двух распространенных интерполяционных формул: Лагранжа и Ньютона, а также проведен сравнительный анализ точности обоих методов, скорости выполнения, а также их преимущества и недостатки.

Алгоритмы вычисления интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона будут реализованы в программах, написанных на языке программирования С++.

На основе полученных результатов можно будет сделать выводы о том, какой метод, формула Лагранжа или формула Ньютона, более предпочтительный в различных ситуациях. Это может помочь ученым, инженерам и другим специалистам в выборе наиболее подходящего метода интерполяции для своих конкретных задач.

Формула интерполяционного многочлена Лагранжа имеет вид:

(1)

где – многочлен Лагранжа

(2)

Тогда

, при (3)

Числитель и знаменатель не включают в себя значение , чтобы результат не был равен нулю.

В полном виде формула Лагранжа будет иметь следующий вид:

(4)

Рис. 1. Реализация интерполяционной формулы Лагранжа на языке C++

Интерполяционный многочлен, предложенный Ньютоном, используется в случае равностоящих узлов:

, (5)

где h – шаг интерполяции.

Первая интерполяционная формула Ньютона (Прямое интерполирование Ньютона) имеет вид:

, (6)

где – табличные разности n-ого порядка.

Данная формула используется для интерполяции в начале таблицы.

Вторая интерполяционная формула Ньютона (Обратное интерполирование Ньютона) имеет вид:

(7)

Данная формула используется для интерполяции в конце таблицы и для ее продолжения.

Рис. 2. Реализация интерполяционных формул Ньютона на языке C++

Работа программы будет оцениваться на примере функции заданной в табличном виде:

Необходимо найти интерполяционный многочлен в точке

Рис. 3. Входные данные для программы

Рис. 4. Результат работы программы

Исходя из результатов работы программы можно сделать вывод о том, что алгоритм вычисления интерполяционного многочлена по формуле Лагранжа выполняется во много раз быстрее, чем с помощью формул Ньютона. В то же время при нескольких запусках программы можно заметить, что прямая и обратная интерполяция по формулам Ньютона занимает приблизительно одинаковое время. При этом точность алгоритмов находится на одном уровне.

Список литературы:

1. В.И. Ракитин, В.Е. Первушин – Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1998 г. 383c.

2. Пименов, В. Г.  Численные методы в 2 ч. Ч. 1: учебное пособие для вузов / В. Г. Пименов. — Москва : Издательство Юрайт, 2022. — 111 с. — (Высшее образование).

3. Бельхеева, Р. К. Вычислительные методы в примерах: учеб. пособие / Р. К. Бельхеева, С. П. Шарый ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск : ИПЦ НГУ, 2022. — 90 с.