XVI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2024

Введение

1.1 Краткие основы нейронных сетей

Нейронные сети представляют собой системы соединённых между собой простых элементов - искусственных нейронов. Каждый нейрон получает некоторые входные данные, обрабатывает их при помощи активационной функции и передаёт результат на выход.

Соединения между элементами имеют весовые коэффициенты, настраиваемые в процессе обучения. За счет многослойной архитектуры и обучения нейронные сети могут решать различные задачи - классификации, прогнозирования, кластеризации.

Популярными разновидностями являются: свёрточные нейросети для обработки изображений; рекуррентные сети для анализа последовательных данных; сети прямого распространения для задач предсказания. [1]

Прежде чем перейти к основному содержанию, определим некоторые важные понятия:

2. Частотная составляющая (гармоника) - это каждая из простых периодических синусоидальных волн в ряде Фурье, представляющих более сложный периодический сигнал.

3. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) - зависимость амплитуды гармоники от её частоты.

4. Спектр Фурье - представление сигнала в виде разложения по гармоническим составляющим различных амплитуд и частот.

Рассмотрим типичную архитектуру гибридной нейросети с Фурье-слоями:

1. Сверточные слои - 32 фильтра размера 3x3 - пулинг 2x2 - 64 фильтра 3x3

2. Фурье-слой - разложение на 16 комплексных экспонент

3. Полносвязный слой размера 128

4. Выходной слой с софтмакс активацией

Такая архитектура комбинирует извлечение пространственных признаков сверточными слоями с частотным анализом в Фурье-слое.

1.1 Математические основы рядов Фурье

Ряды Фурье являются математическим методом разложения функции в бесконечную сумму синусов и косинусов. Для понимания принципа, рассмотрим функцию и ее представление в виде ряда Фурье:

где T - период функции, ​ , , - коэффициенты ряда Фурье. Эти коэффициенты определяются интегралами от функции и позволяют аппроксимировать сложные функции с использованием синусоидальных компонент.

Пример применения в аудиообработке:

Для аудиосигналов ряды Фурье могут представить сложный звуковой сигнал в виде суммы элементарных синусоид с различными частотами и амплитудами. Например, аудио-сигнал, представленный в виде:

может быть аппроксимирован с использованием рядов Фурье, где каждая компонента представляет отдельную частоту в звуковом сигнале. [3, 4, 5]

1.2 Применение рядов Фурье в нейросетях

И спользование рядов Фурье в нейросетях открывает новые возможности для обработки данных, основанных на частотной характеристике. В задачах аудиообработки, например, нейросети могут автоматически выделять и анализировать различные частоты в звуковых сигналах, что делает их более эффективными в распознавании звуковых паттернов и речи. Это также может быть применено в других областях, где важна частотная информация, таких как анализ временных рядов.

Рисунок 1. Архитектура модели. а) Полная схема архитектуры нейронного оператора б) Схема архитектуры сверточного Фурье-слоя

2. Современные подходы к интеграции рядов Фурье в нейросети

2.1 Специализированные слои для работы с рядами Фурье

Один из инновационных подходов к использованию рядов Фурье в нейросетях включает в себя создание специализированных слоев, способных эффективно обрабатывать частотные представления данных. Рассмотрим формулу сверточного слоя для i-го нейрона:

где - функция активации, - весовой коэффициент, - частота, - входной сигнал. Такие специализированные слои могут автоматически выделять частотные компоненты входных данных, делая модель более адаптивной к частотным характеристикам.

Рассмотрим математическую суть Фурье-слоев. Если X - входные данные, то выход Z вычисляется следующим образом:

Где X – входной вектор (набор признаков), – вектор весов, – вектор смещений, Z – выходной вектор после применения функции активации ReLU.

Из формулы видно, что Фурье-слой выполняет разложение входного сигнала X на частотные компоненты, умножая его на веса , соответствующие этим частотам.

Пример применения:

В обработке сигналов, таких как изображения или аудиоданные, эти специализированные слои могут быть интегрированы в нейросетевую архитектуру. Например, в случае аудиоанализа, такие слои могут помочь выделять и анализировать различные частоты в звуковых сигналах, что полезно для задач классификации или извлечения признаков.

2.2 Гибридные модели

Другой подход предполагает создание гибридных моделей, объединяющих обычные сверточные или рекуррентные слои с новыми слоями, основанными на рядах Фурье. Рассмотрим гибридную модель:

где Convolutional - сверточный слой, Fourier - слой, использующий ряды Фурье. Такие гибридные модели могут сочетать преимущества классических методов нейросетей с уникальной способностью работать с частотными представлениями данных. [2, 6, 7]

3. Приложения и перспективы

3.1 Обработка сигналов и аудиоанализ

Интеграция рядов Фурье в нейросети открывает широкие перспективы в области обработки аудиосигналов. Модели, способные адаптироваться к частотным особенностям звуковых данных, могут быть эффективно применены в задачах распознавания речи, классификации музыки, анализа звуковых сцен, и даже в области медицинских приложений, таких как анализ сердечных звуков.

где – аудиосигнал, - комплексные амплитуды частотных составляющих, – частоты, – число гармоник.

3.2 Анализ изображений и видео

В компьютерном зрении, использование рядов Фурье имеет важное значение для выделения частотных характеристик текстур и структур на изображениях и в видеоданных. Это особенно полезно в задачах распознавания объектов, анализе движения, а также в медицинской диагностике, например, в обработке медицинских изображений. Эта формула описывает преобразование Фурье изображения в частотное пространство :

Где – двумерное преобразование Фурье, двойная сумма, которая охватывает все значения x от 0 до M – 1 и y от N – 1, – значение функции в точке с координатами x и y, – комплексная экспонента, представляющая вклад каждой точки (x,y) в пространстве изображения в частотное пространство.

3.3 Прогнозирование временных рядов

В области финансов, экономики и климатических исследований, где данные представлены в виде временных рядов, использование рядов может обеспечить более точное прогнозирование. Например, для анализа финансовых временных рядов или предсказания изменений климатических показателей. Данная формула представляет собой модель временного ряда в виде суммы гармонических компонент:

Где, – значение на момент времени , – постоянный член в модели, суммирование всех N гармоникам, - гармоника с частотой , где и – амплитуды для косинусной и синусной составляющих, – отклонение предсказанного значения от фактического.

3.4 Медицинская диагностика

В области медицинской диагностики ряды Фурье могут быть применены для анализа биомедицинских сигналов, таких как электрокардиограммы (ЭКГ) или электроэнцефалограммы (ЭЭГ). Это позволяет более точно выделять характеристики сигналов, связанные с различными состояниями здоровья. Преобразование Фурье может использоваться для анализа частотных компонент этого сигнала, что может быть полезно при выявлении характеристик, таких как частота сердечных сокращений и наличие аномалий. Ниже формула преобразования:

Где – преобразование Фурье сигнала по частоте , интеграл по всему заданному временному интервалу, – функция времени, представляющая анализируемый сигнал, - гармоническая функцию, частота которой определяется параметром

4. Практические аспекты интеграции рядов Фурье в нейросети

Использование рядов Фурье в архитектурах нейросетей открывает большие возможности для анализа частотных характеристик данных. Однако на практике возникает ряд сложностей технического плана:

1. Настройка дополнительных гиперпараметров Фурье-слоев: количество используемых частот, способ нормализации коэффициентов, тип окна (хэмминг, ханна и др.)

2. Увеличение размерности данных - нужно применять методы регуляризации и снижения размерности для борьбы с переобучением

3. Высокая вычислительная сложность - преобразование Фурье требует значительных ресурсов, особенно для многомерных данных типа изображений

4. Сложности интерпретации обученной модели - неочевидно, какие именно частотные особенности используются

5. Подбор алгоритмов оптимизации и их гиперпараметров для эффективной настройки дополнительных Фурье-слоёв

Для решения этих проблем можно использовать графические процессоры, применять параллельные вычисления, визуализировать веса и активации Фурье-слоев, настраивать окна и нормализацию.

Комплексный подход позволяет минимизировать сложности и извлечь максимум пользы от интеграции рядов Фурье при построении эффективных нейросетевых архитектур для решения практических задач. [6, 7]

Заключение

Использование рядов Фурье предоставляет широкий спектр применений в различных областях. Такие модели не только улучшают точность анализа данных, но и могут обеспечивать более интерпретируемые результаты, что делает их эффективными инструментами для решения сложных задач в науке, медицине, финансах и других областях.

Список литературы

1. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс, 2-е издание. М.: Вильямс, 2006.

2. Goodfellow I., Bengio Y., Courville A. Deep Learning. MIT Press, 2016.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

5. Lyons R. Understanding Digital Signal Processing, 3rd Edition. Prentice Hall, 204.

6. Протасов Д.Н. Теория и применение нейронных сетей в MATLAB. ДМК Пресс, 2020.

7. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. Финансы и статистика, 2002.

Код для цитирования: Скопировать