XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Матрицы: что это и зачем их используют в науке и технике?

Матрица - это таблица из чисел, которая несет в себе какие-либо данные (строки, например, по одной характеристике, а столбцы - по определенному объекту).

Матрицы используют в линейной алгебре для решения систем уравнений, а также в компьютерной графике при обработке изображений, чтобы преобразовывать картинку и удалять с неё шум. К слову, их широко применяют в статистике для анализа данных и классификации объектов (матрицы ошибок - для оценки точности классификации, а корреляционные матрицы - для изучения степени связи между различными свойствами). А участие матриц в электротехнике: анализ электрических цепей, передачу и обработку сигналов телекоммуникаций, без чего современная жизнь не может существовать.

Примеры “нечетких” понятий в человеческой жизни, нечеткие множества и отношения.

Концепция нечеткости говорит, что иногда встречаются величины, которые могут принадлежать множеству только частично, то есть не точно определены, а значит являются размытыми. Также и понятия "сильный", "широкий" или "дорогой" имеют разное значение в зависимости от условий.

Нечеткие множества используют для интерпретации подобных отношений, а уже в них существую переменные принимающие значения от 0 до 1, в то время как в обычных матрицах существует только 1 и 0, "правда" или "ложь". К примеру множество "высокие люди" может иметь разный диапазон, в зависимости от страны или национальности. Нечеткие множества используют для описания отношений на подобии "очень похож на что-то", "не очень хорошо для чего-то" и т.д., поэтому переменные множества "очень похож на что-то" могут иметь значения от 0 до 1, в зависимости от степени сходства между образцом и условием.

Нечеткость предполагает, что наш мир является неопределенным, а наоборот - размытым и требует введения нечетких множеств и отношений, чтобы его описать.

Нечеткие матрицы: что такое и как отличаются от обычных матриц?

Нечеткие матрицы - это расширение обычных матриц для обработки нечеткой информации, в отличие от обычных матриц, где каждый элемент имеет определенное значение ("истинно" или "ложно"), в нечеткой матрице каждый элемент принимает значение, характеризующее степень его принадлежности к определенному множеству (от 0% до 100%).

Стандартные операции, при работе с обычными матрицами не всегда могут подходить для нечетких. То же умножение (конъюнкция или же пересечение, если речь идет о множествах) может привести к некорректному результату и поэтому существуют специальные методы.

Допустим, у нас есть две нечеткие матрицы A и B размером 3 на 3, заданные следующим образом:

Выполним обычное умножение нечетких матриц A и B:

В полученной матрице C значения получились слишком маленькими по

сравнению с исходными матрицами. Это связано с тем, что при умножении A и B

происходит сильное размытие исходных данных. Способом исправления является

более точный метода умножения. Он основан на том, что в результате будет выбран

минимальный из двух элементов матриц A и B. Другими словами, если a_ij и b_ij (i и j -

индексы позиции элемента в матрице) являются нечеткими элементами, то результат

будет равен min(a_ij, b_ij).

Умножим снова наши матрицы A и B. Для каждого элемента c_ij матрицы C

необходимо найти минимальное значение, которое может быть получено путем взятия

минимума из элементов a_ij и b_ij:

c_11 = min(0.2, 0.1) = 0.1

c_12 = min(0.4, 0.6) = 0.4

c_13 = min(0.7, 0.8) = 0.7

c_21 = min(0.5, 0.2) = 0.2

c_22 = min(0.9, 0.3) = 0.3

c_23 = min(0.1, 0.5) = 0.1

c_31 = min(0.8, 0.7) = 0.7

c_32 = min(0.3, 0.4) = 0.3

c_33 = min(0.6, 0.9) = 0.6

В результате получилась нечеткая матрица, которая является результатом

умножения матриц A и B.

Неопределенность и нечеткость в данных: классификация объектов, кластеризация,

распознавание образов, моделирование нечетких правил, прогнозирование временных

рядов.

При классификации объектов не всегда можно определить, к какому классу они

относятся, тогда нечеткие матрицы помогают представить неопределенность в виде

чисел, отражающих степень принадлежности объекта к каждому из классов, а вот

нечеткие матрицы фигурируют в кластеризации данных, то есть разбиения множества

объектов на группы по схожести.

Ещё такие матрицы используют для прогнозирования временных рядов - оценка

взаимосвязи между различными переменными и предсказание возможных тенденций.

Различные методы и подходы работы с нечеткими матрицами.

Теория нечетких множеств: элементы нечеткой матрицы представляют нечеткие

множества, которые описывают степень принадлежности элементов к определенным

классам. Один из самых простых и интуитивно понятных методов, но неэффективен

при работе с большими объемами данных.

Алгебра нечетких чисел: арифметические операции (сложение, умножение и

деление, усиление и ослабление) выполняют над нечеткими матрицами в задачах

прогнозирования и моделирования, но этот метод требует более сложных вычислений и

поэтому его трудно использовать в объемных проектах.

Нечеткая логика: логические операции (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и

др.) над нечеткими матрицами и решение задач классификации и распознавания

образов.

Кроме перечисленных, существует множество других подходов к работе с

нечеткими матрицами: алгоритмы генетического программирования и машинного

обучения.

Польза от нечетких матриц: где они могут быть неэффективными?

Нечеткие матрицы в различных отраслях:

1. Нечеткая логика и системы управления: нечеткие матрицы используют при

решении задач управления и принятия решений.

2. Медицина: анализ медицинских данных и принятие решений в диагностике и

лечении заболеваний.

3. Компьютерное зрение: обработка изображений и распознавание образов.

4. Информационные технологии: анализ и обработка больших библиотек

данных в машинном обучении и ИИ.

5. Инженерия: оптимизация процессов проектирования и управления

производством.

6. Финансы: анализ рисков и принятие инвестиционных решений.

7. Социология и психология: анализа социальных и психологических данных,

например, для изучения предпочтений и оценок людей, другими словами статистика.

Преимущества:

1. Универсальность. Использование во многих областях.

2. Устойчивость к шуму. Нечеткие матрицы могут обрабатывать данные с

шумом и помехами.

3. Гибкость. Нечеткие матрицы можно легко изменить и настроить для решения

различных задач.

Недостатки:

1. Сложность интерпретации. Нечеткие матрицы могут быть сложными для

понимания и интерпретации.

2. Необходимость большого количества данных. Для создания нечеткой

матрицы необходимо иметь большой объем библиотек для обучения.

3. Вычислительная сложность. Обработка нечетких матриц может требовать

значительных вычислительных ресурсов.

Нечеткие матрицы в игровых механиках.

В механике игр и управлении неигровыми персонажами нечеткие матрицы

используют для принятия решений. Рассмотрим задачу управления боевым NPC в игре:

Для того чтобы он мог принимать решения, надо иметь информацию о текущем

состоянии игрового мира. NPC может видеть только часть поля или получать данные о

положении противников с погрешностью. В таком случае нечеткие матрицы

используют для представления информации о состоянии игрового мира и на основе

этой информации принимается решение, влияющее на поведение NPC (расстояние до

противника, личный уровень здоровья и т.д.).

Вот так и определяется поведение NPC: если расстояние до противника

маленькое и личный уровень здоровья высок, то NPC выбирает действие атаки, а если

расстояние большое и личный уровень здоровья низкий, то NPC решает остаться

незамеченным.

Мы также можем самостоятельно составить собственную матрицу в 2, 3 и более

измерений. Предположим, есть персонаж, которому могут нанести различный вид

урона: низкий, средний и критический; и так же характеристики, которые могут

добавить определенный коэффициент к нанесенному урону: голод и жажда. Создадим

нашу матрицу:

Как мы видим, чем больше жажда и голод, тем больше наносится урон.

Нечеткие матрицы эффективный инструмент для работы с нечеткостью в

данных. Их используют в моделировании нечетких правил, классификации объектов,

кластеризации данных, распознавания образов, прогнозирования временных рядов и

д.р.

Использование нечетких матриц в системе теории принятия решений - хорошее

преимущество, ведь именно с этими способностями открыто много новых функций,

как например, моделирование человеческого мышления у ии, но это все еще будет

требовать большую вычислительную мощность.

Список литературы:

Basic Concepts of Fuzzy Matrices / P. Priya // International ournal of Engineering and Technical Research V8(12) – January 2020.

Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука , 1969. 368 с.

Романов В. Н. Применение нечетких матриц для анализа устойчивости и адаптивности систем, Грамота, 2014. № 1 (80). С. 94-96.

Kirsanov2011 / Нечеткие множества (Fuzzy Sets) – April 2020.

DUdVstud / А.2.12+ Элементы нечеткой логики и теории нечетких множеств – Ноябрь 2019.

Код для цитирования: Скопировать