XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Рассмотрим конфликт двух участников с противоположными интересами. Математической моделью такого конфликта является игра с нулевой суммой. Участники игры – лица, принимающие решения, называются игроками [1, c.431].

Для того чтобы решить антагонистическую игру нужно для каждого из игроков указать стратегии, которые будут удовлетворять условию оптимальности. Это значит, что игрок А должен получить максимально возможный выигрыш, когда игрок В будет придерживаться исключительно своей выбранной стратегии, а игрок В должен получить минимально возможный проигрыш, когда игрок А так же будет придерживаться исключительно своей выбранной стратегии [2 – 5].

Мы имеем дело с игрой только в том случае, когда первый игрок имеет количество стратегий равное m, а второй в свою очередь имеет количество стратегий n.

Рассмотрим игру . Пусть будет задано множество стратегий для нашего первого игрока { }, а так же множество стратегий для нашего второго игрока { } и платежная матрица в которой представляет собой возможный выигрыш первого игрока или возможный проигрыш второго игрока, при выборе ими стратегий и соответственно [1 – 5].

Целью наших игроков будем считать поиск наилучшей возможной стратегии для своей игры. В то же время, мы устанавливаем правдивым утверждением то, что противники разумны в одинаковой степени, а также то, что каждый из них желает получить наиболее возможный доход, делая ради этого все возможное.

Прежде нам следует начать поиск наилучшей стратегии игры для нашего первого игрока. Предполагается, что игрок А выбрал стратегию .В наиболее худшем случае он получит выигрыш . Наш игрок А должен предвидеть такую возможность и обязан выбрать одну из своих стратегий, которой будет достаточно для того чтобы сделать свой минимальный выигрыш наиболее максимальным:

.

Нижней ценой игры мы имеем право назвать такую величину, которая будет являть собой гарантированный выигрыш игрока А. При этом максимальной называется стратегия игрока А, которая должна обеспечивать получение выигрыша . Если игрок А будет придерживаться выбранной стратегии, то он при любых возможных стратегиях своего противника (игрока В)обеспечивает себе выигрыш, который будет не меньший .

Аналогично определив по каждому столбцу матрицы , найдем минимальное значение :

.

Верхней ценой игрыназывается такая величина , которая дает гарантированный проигрыш игрока В. Минимаксной стратегией называется та стратегия, в которойобеспечивается получение проигрыша . Придерживаясь минимаксной стратегии, второй игрок при любых возможных стратегиях своего противника обеспечивает себе проигрыш не больше .

Для матричной игры есть справедливым неравенство . Из этого следует, что фактический выигрыш первого игрокаА (проигрыш второго игрока В) при обдуманных действиях обоих противников определенно ограничен верхней и нижней ценой игры.

Если каждый из игроков подбирает с вероятностью 1 некоторую стратегию, являющуюся однозначной, то он пользуется в игре чистой стратегией.

Оптимальными чистыми стратегиями называются те стратегии, в которых верхняя цена равна нижней цене игры, то есть . При этомв игре говорят, имеется седловая точка.

Седловая точка являет собой минимальный элемент, находящийся в соответствующей строке, и в то же время максимальный элемент находится в соответствующем столбце. Данная точка представляет собой точку равновесия игры. Она определяет однозначно оптимальные стратегии. За оптимальностью мы понимаем то, что ни один игрок не стремится поменять свою выбранную стратегию, поскольку его противник может выбрать другую стратегию, дающей для другого игрока более неудачный результат.

Ценой игры называется величина , равная , которая определяет средний возможный выигрыш игрока А, а так же средний возможный проигрыш игрока В при применении ими их оптимальных стратегий.

Если в матрицу игры заключены несколько одинаковых строк (или столбцов), то из них мы можем оставить только одну строку (или один столбец), а остальные строки (или столбцы) можем отбросить. Так как это является дублированием стратегий.

Строка называется доминирующей, а строка – доминируемой в том случае, если в платежной матрице А все элементы строки не меньше соответствующих элементов другой строки , а не менее одного строго больше. Аналогично даются понятия «доминирующий столбец» и «доминируемый столбец».

Из всего выше сказанного следует, что первому игроку не будет выгодным применять те стратегии, которым соответствуют доминируемые строки; второму игроку не будет выгодно применять те из стратегий, которым соответствуют доминирующие столбцы. Поэтому при решении подобной игры будет уместно уменьшить размеры платежной матрицы, удаляя из неё доминирующие столбцы и доминируемые строки.

Пример 3.1.1[6, c. 332]. Для игры с платежной матрицей

,

cледует найти стратегии игроков и цену этой игры.

Решение. Элемент являет собой седловую точку, так как этот элемент наименьший в третьей строке и наибольший во втором столбце, что и является критерием выбора данного вида точки. Поэтому цена игры в этом примере соответственно равна , при этом наиболее оптимальные стратегии игроков: первого – , а второго – .

Если использовать понятия доминируемых строк и доминирующих столбцов, задачу можно решить следующим образом.

В матрице А третья строка доминирует над второй, поэтому вторую строку можно, а вернее нужно изъять из данной платежной матрицы. В результате мы получаем платежную матрицу, с меньшим количеством строк:

.

В матрице первый и третий столбцы доминируют над вторым, а это значит, что их можно или даже нужно изъять. В результате данная матрица имеет вид:

.

В матрице вторая строка является доминирующей. После вычеркивания второй строки получается матрица , которая состоит из одного элемента:

.

Этот элемент матрицы и есть решением данной задачи.

Список используемой литературы

Математические методы и модели исследования операций: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности 080116 “Математические методы в экономике” и другим экономическим специальностям / под.ред. В. А. Колемаева. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 592 с.

Абланская Л. В. Экономико-математическое моделирование: учебник / под общ.ред. И. Н. Дрогобыцкого. – 2-е изд. стереотип. – М.: Издательство “Экзамен”, 2006 – 798 с.

Невежин В. П. Основы теории игр. Примеры и задачи: учебное пособие. – М.: ФОРУМ, 2012. – 128 с.

Невежин В. П. Исследование операций и принятие решений в экономике / В. П. Невежин, С. И. Кружилов, Ю. В. Невежин – М.: ФОРУМ, 2014. – 400 с.

Козлов В. Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений: учебное пособие. – М.: Проспект, 2010. – 176 с.

Бережная Е. В., Бережной В. Н. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб.пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 432 с.

Код для цитирования: Скопировать