XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Нечеткая Марковская цепь является одной из моделей неопределенности, в которой сочетаются случайность и нечеткость, что в свою очередь приводит к появлению понятия нечеткой вероятности. В классической теории вероятность есть детерминированная характеристика возможности появления событий в определенных условиях. Вместе с тем, в реальной жизни эта возможность может неконтролируемым образом зависеть от совокупности условий, которые сами могут измениться. В этих случаях вероятность естественно описывать нечетким числом с функцией принадлежности, параметры которой оцениваются статистически по совокупности испытаний [1]. Нечеткие Марковские процессы с дискретными состояниями удобно представлять и иллюстрировать с помощью нечеткой переходной матрицы и нечеткого графа состояний системы, поскольку система может прибывать в одном из nсостояний и для каждого момента времени t необходимо задать вероятностей перехода [2-4].

В данной работе мы предлагаем рассмотрение представления однородных нечетких целей Маркова в виде нечеткой переходной матрицы состояний с привлечением аппарата нечеткой математики. Предлагается математическая модель однородной нечеткой цепи Маркова на примере, который рассматривает процесс функционирования системы автомобиля в условиях неопределенности. Нечеткий случайный процесс будем называть нечеткой Марковской цепью, если для каждого k-го шага случайная последовательность событий (состояний) S(0),S(1),…,S(k) и нечеткая вероятность перехода из любого состояния в любое не зависит от того, когда и как система пришла в состояние . Начальное состояние S(0) может быть заданным заранее или случайным образом. Нечеткие вероятности цепи Маркова будем называть вероятности того, что после k-того шага (и до (k+1)-го) система S будет находиться в состояние Очевидно, что для любого k:

(1)

где – нечеткие числа, – нечеткая единица, модальное значение которой равно 1.

Если начальное состояние системы S в точности известно , то начальная вероятность , а все остальные равны нулю.

Нечеткой вероятностью перехода (переходной вероятностью) на k-ом шаге из состояния в состояние будем называть нечеткую условную вероятность того, что система S после k-го шага окажется в состоянии при условии, что непосредственно перед этим (после (k-1)-го шага) она находилась в состоянии .

Поскольку система может пребывать в одном из nсостояний, то для каждого момента времени t необходимо задать нечетких вероятностей перехода , которые удобно представить в виде следующей нечеткой матрицы:

, (2)

где – нечеткая вероятность перехода за один шаг из состояния в состояние ; – нечеткая вероятность задержки в состояние . Здесь являются нечеткими гауссовыми числами с соответствующими функциями принадлежности:

, где – модальное значение (ядра) нечетких чисел; – коэффициенты концентрации (носители). Матрица (2) называется нечеткой переходной или матрицей нечетких переходных вероятностей [2-4].

Если нечеткие переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая нечеткая Марковская цепь называется однородной.

Если для нечеткой однородной Марковской цепи заданы нечеткое начальное распределение переходимых вероятностей ( ), то нечеткие вероятности состояний системы определяюся рекуррентной формулой [2]:

(3)

с соответствующими функциями принадлежности компонентов нечеткого решения задачи (3)

, (4)

, .

Построим математическую модель однородной нечеткой цепи Маркова на примере, который рассматривает процесс функционирования системы автомобиля в условиях неопределенности.

Пример. Рассмотрим процесс функционирования системы автомобиля в условиях неопределенности. Пусть автомобиль (система) в течение одной смены (суток) находится в одном из двух состояний: исправном (состояние-1) и неисправном (состояние-2). Опыт эксплуатации этого автомобиля свидетельствует о том, что для него имеет место матрица нечетких переходных вероятностей, соответствующая состояниям: исправен (состояние-1) и неисправен (состояние- 2):

, где – нечеткие гауссовы числа с соответствующими функциями принадлежности

, ,

, ;

где – нечеткая вероятность того, что автомобиль находится в исправном состоянии, - нечеткая вероятность перехода автомобиля из состояния «исправен» в состояние «неисправен», – нечеткая вероятность перехода автомобиля из состояния «неисправен» в состояние «исправен», – нечеткая вероятность того, что автомобиль останется в состоянии «неисправен».

Нечеткие элементы матрицы перехода определены за трехнедельный период эксплуатации автомобиля.

Требуется определить нечеткие вероятности состояний автомобиля через двое суток эксплуатации, если в начальном состоянии вектор начальных вероятностей состояния автомобиля задан (

Решение. Используя матрицу нечетких переходных вероятностей, определим нечеткие вероятности состояний после первого шага (после первых суток эксплуатации автомобиля ) по формулам (3)-(4):

Таким образом, после первых суток эксплуатации, автомобиль будет находиться в состоянии-1 с нечеткой вероятностью и в состоянии-2 с вероятностью с соответствующими функциями принадлежности:

, .

Определим нечеткие вероятности состояний после вторых суток эксплуатации автомобиля:

Таким образом, после вторых суток эксплуатации, автомобиль будет находиться в состоянии-1 с нечеткой вероятностью и в состоянии-2 с вероятностью с соответствующими функциями принадлежности:

, .

Выводы. В данной работе представлено рассмотрение основных понятий теории однородных нечетких цепей Маркова с привлечением нечеткой математики. Построена математическая модель однородной нечеткой цепи Маркова на примере, в котором рассмотрен процесс функционирования системы автомобиля в условиях неопределенности (нечеткости).

Список литературы

Раскин Л.Г., Серая О.В. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.

Бойко К.В., Барышевский С.О. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ГОСТИНИЧНОМ БИЗНЕСЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОДНОРОДНЫХ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ // Материалы МСНК «Студенческий научный форум 2020». – 2020, - № 4. – С. 110-113;

URL: https://publish2020.scienceforum.ru/article/view?id=245 (дата обращения: 18.02.2023)

Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб.пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 432 с.

Барышевский С.О. Представление нечетких цепей Маркова в виде нечеткой переходной матрицы и нечеткого графа состояний.// Сучасні проблемі моделювання: зб. наук. праць / МДПУ ім.. Б. Хмельницького; гол. ред. кол. А.В Найдиш – Мелітополь: Видавництво МДПУ ім. Б. Хмельницького, 2017. – Вип. 10. – С. 27-30.

Код для цитирования: Скопировать