XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Метод трапеций

Основная идея метода трапеций заключается в делении криволинейной трапеции на n-равных частей и построений на данных отрезках трапеций и вычислении всей суммы площадей этих трапеций, как показано на рис.1.

Рис. 1. Рисунок, иллюстрирующий метод трапеций

Прежде, чем разбивать отрезок [a, b] на n-частей, требуется посчитать

После, на каждом отрезке восстанавливаем высоты до линии функции на их основе делаем построения трапеций. Вычисляем площади трапеций

Берем Далее и т.д.

Метод трапеций, это метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 2.

В данном случае, применение является простым — произведение полу-суммы оснований, которыми являются значения функции на концах отрезка, на высоту. Неточность аппроксимации для любого отрезка можно, примерно, оценить через максимум 2-ой производной [1-6].

Отрезок интегрирования делится на n частей, и график подынтегральной функции стремится к ломанной линии. Так, площадь (синие штрихи) приближенная к сумме площадей трапеции (красная обводка) на рис.2. Именно поэтому метод имеет такое название. Само собой, если рассмотреть больше мелких промежуточных отрезков, то точность вырастет. Метод трапеций иногда попадается в практических заданиях, именно поэтому будут разобраны несколько примеров [1-6].

Рис. 2. График подынтегральной функции

Код для Microsoft Visual Basic, вводятся переменные a, b, n:

 

Метод Симпсона

В сравнении с методом трапеций, метод парабол имеет больше этапов вычислений. Площадь каждой фигуры вычисляется по формуле:

Далее производится суммирование площадей всех фигур, после чего получим число, равное рассчитываемому определенному интегралу.

Эту формулу можно рассматривать иначе – для определенной части криволинейной трапеции делаются построения прямоугольника с высотой [3].

А затем находится его площадь:

 

Рис. 3. Графическое пояснение метода Симпсона

Формула Симпсона относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761). Идея метода Симпсона заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке [a,b] интерполяционным многочленом второй степени p2(x), иначе говоря, приближение графика функции параболой. Метода парабол обладает порядком погрешностью равной 4 и алгебраической порядок точности 4. Метод Симпсона, наиболее совершенен, он использует не ломанные линии, а маленькие параболы. От количества промежуточных отрезков зависит количество парабол [1-6].

В Basic метод Симпсона реализовывается таким образом, вводятся переменные a, b, n:

Решение задач

Теперь рассмотрим задачи нахождения приближенного определенного интеграла. Чтобы проиллюстрировать возможности двух разобранных нами методов численного интегрирования, а также сравнить их точность и скорость, рассмотрим следующие интегралы:

Значение интеграла примерно равен 2.392576026645216.

Для начала воспользуемся методом трапеций с довольно широким интервалом

И воспользуемся (1):

Метод Симпсона при, после чего воспользуемся (4):

 

Видим, что при вычислении методом трапеций результат получается точнее при h = 0.8

Посмотрим, что выдаст Microsoft Visual Basic, по тому коду, что указали выше:

 

Таблица 1

Результаты вычислений при помощи BASIC для первого интеграла

 

Как мы можем заметить в Таблице 1, результат по сравнению с ручными вычислениями меняется, но потраченного времени будет на порядок больше. С другой стороны, превосходство формулы Симпсона покрывает, более медленную работу. Можем заметить, что при числе отрезков 2621440 точность для Симпсона примерна равна точности метода трапеций при числе отрезков 10485750. 

2.

Результат для данного интеграла равен 230,85.

Воспользуемся методом трапеций с широким интервалом 

 

После чего, так же, как и в прошлый раз воспользуемся (1):

 

Далее воспользуемся методом Симпсона с таким же широким интервалом 

 

Заметим, что точность метода трапеций выше метода парабол при h=0.6  Посмотрим, что выдаст Microsoft Visual Basic.

Таблица 2

Результаты вычислений при помощи BASIC для второго интеграла

 

В Таблице 2 видим, что метод Симпсона в последующих итерациях, превосходит по точности метод Трапеций, как и в прошлом примере, тоже самое можно сказать и о скорости выполнения работы.

 

Вывод

В данной работе были рассмотрены и сравнены два метода расчетов интегралов – метод трапеций и метод Симпсона. Результаты расчета компьютера были введены в таблицу. Вследствие чего было выяснено, что метод трапеций расчета интегралов по точности уступает методу расчета интегралов Симпсона, так же можно сказать, что метод трапеций хоть и превосходит по скорости на одинаковом количестве участков, все же его скорость медленнее, так как его точность почти всегда на уровне прошлого результата метода парабол, а скорость метода Симпсона на прошлом участке выше. Если взять результаты, и подвести итог всему выше сказанному получим, что метод Симпсона даст более точное приближение, чем метод трапеций за меньшее время.

Для вычислений была создана программа в среде Microsoft Visual Basic 6.0 for 32-bit Windows Development.

 

Список литературы

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. Гос. издательство физико-математической литературы. М.: 1962 г. – 608 с.63

2. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: «Просвещение», 1998. – 288 с.

3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: «Академкнига», 1967 – 267 с.

4. Кузьмина Е.А., Минасов Ш.М., Тархов С.В. Электронный лабораторный практикум по дисциплине: "Информатика". Уфа, кафедра Информатики УГАТУ, 2004-2005 г.
5. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений. М.: «Академия», 1999. – 424 с.

Код для цитирования: Скопировать