XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

В этой работе хотелось бы рассмотреть методы прямоугольников и трапеций, а именно выбрать наиболее эффективный и удобный из них для вычисления определенного интеграла от функции, не имеющей особенностей на промежутке интегрирования. Расчёты производились в программе Excel.

Метод прямоугольников

Метод прямоугольников – это, пожалуй, самый простой метод приближённого вычисления определённого интеграла. Рассмотрим нахождение определённого интеграла от функции с точки зрения геометрии. Интеграл в данном случае есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной сверху графиком , по бокам прямыми и , а снизу осью абсцисс [1-6].

Для того чтобы найти площадь всей фигуры, можно воспользоваться определением интеграла и разбить всю фигуру на равные сегменты одной и той же длины. Точки на оси абсцисс, которые будут разбивать фигуру, обозначим как h. Нулевая точка при разбиении , а конечная точка . Для того чтобы вычислить длину одного сегмента, воспользуемся формулой:

(1)

(2)

Эта формула (2) позволяет не вычислять напрямую площадь искомой фигуры, ограниченной кривой линией, а заменить её приблизительной площадью ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников.

В методе средних прямоугольников каждый сегмент заменяется на прямоугольник, за высоту которого принимается ордината середины отрезка.

При = 0.5, = N - 0.5 формула (2) называется формулой средних прямоугольников.

Рис.1. Метод средних прямоугольников

При = 0, = N-1 формула (2) называется формулой левых прямоугольников.

Рис.2. Метод левых прямоугольников

При = 1, = N формула (2) называется формулой правых прямоугольников.

Рис.3. Метод правых прямоугольников

Здесь в качестве ординаты для элементарного прямоугольника выбирается либо крайнее левое значение функции , либо крайнее правое.

Погрешность двух первых формул имеет порядок O(h) и равна:

(3)

Метод трапеций

Метод трапеций основан на линейной интерполяции f(x) на частичном отрезке. С учетом суммирования смежных ординат внутри отрезка [a,b] обобщенная формула метода трапеций имеет вид:

, (4)

, (5)

Рис.4. Метод трапеций

Предположим, что нам нужно приближенно вычислить определённый интеграл , подынтегральная функция которого непрерывна на отрезке . Для этого разделим отрезок на несколько равных интервалов длины точками . Обозначим количество полученных интервалов как [1-6].

Найдем шаг разбиения с помощью формулы (1). Определим узлы из равенства  ,  .

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

(6)

Интересно отметить, что погрешности в методе трапеций и в методе центральных прямоугольников имеют схожий вид, но разный знак главного члена в соответствующем степенном ряде. При малых погрешность метода трапеций будет с хорошей точностью по модулю вдвое больше погрешности метода центральных прямоугольников. Это соотношение погрешностей иногда используется для оценки значения интеграла сверху и снизу. Т.е. одновременное применение двух методов даст нам интервал, внутри которого точно находится истинное значение интеграла [1-6].

Перейдём к практической части. Рассмотрим некоторую функцию на отрезке [5;15], где a = 5, b = 15 и вычислим определённый интеграл с заданной точностью.

Построим график данной функции и определим длину одного сегмента по формуле (1), т.е.: . Чем меньше шаг, тем меньше конечная погрешность.

Рис.5. График функции

Далее, в соответствии с шагом h=1 разобьём всю фигуру на равные сегменты.

Начнём с метода средних прямоугольников:

Таблица 1

X	F(X)	S
5,5	0,262973	0,262973
6,5	0,309097	0,309097
7,5	0,382426	0,382426
8,5	0,48905	0,48905
9,5	0,625557	0,625557
10,5	0,774443	0,774443
11,5	0,91095	0,91095
12,5	1,017574	1,017574
13,5	1,090903	1,090903
14,5	1,137027	1,137027
Σ		7

Результаты расчетов методом средних прямоугольников

Рис.6. Метод средних прямоугольников

на графике функции

В столбце «x» представлены значения середины каждого сегмента, т.е. . В столбце «F(x)» произведены вычисления определённого интеграла для каждого х.

Например, для первого при F(5,5): . В столбце «S» считается площадь каждого прямоугольника. Площадь первого сегмента считается следующим образом: . После всех подсчётов в строке «Σ» складываются все значения площадей прямоугольников по формуле (2): , что и является значением определённого интеграла на выбранном отрезке.

Для метода левых и правых прямоугольников производятся аналогичные действия, но меняется значение . Для левых прямоугольников , а для правых .

Таблица 2

X	F(X)	S
5	0,247426	0,247426
6	0,283173	0,283173
7	0,341851	0,341851
8	0,431475	0,431475
9	0,554344	0,554344
10	0,7	0,7
11	0,845656	0,845656
12	0,968525	0,968525
13	1,058149	1,058149
14	1,116827	1,116827
Σ		6,547426

Результаты расчетов методом левых прямоугольников

Рис.7. Метод левых прямоугольников

на графике функции

Таблица 3

X	F(X)	S
6	0,283173	0,283173
7	0,341851	0,341851
8	0,431475	0,431475
9	0,554344	0,554344
10	0,7	0,7
11	0,845656	0,845656
12	0,968525	0,968525
13	1,058149	1,058149
14	1,116827	1,116827
15	1,152574	1,152574
Σ		7,452574

Результаты расчетов методом правых прямоугольников

Рис.8. Метод правых прямоугольников

на графике функции

Ту же задачу можно решать другим способом – методом трапеций.

Шаг определяется по формуле (1), точно так же, как и в методе прямоугольников. Разбиение на графике будет выглядеть следующим образом:

Таблица 4

Результаты расчетов

X	F(X)	S
5	0,247426	0,265299
6	0,283173	0,312512
7	0,341851	0,386663
8	0,431475	0,492909
9	0,554344	0,627172
10	0,7	0,772828
11	0,845656	0,907091
12	0,968525	1,013337
13	1,058149	1,087488
14	1,116827	1,134701
Σ		7

методом трапеций

Рис.9. Метод трапеций на графике функции

Для поиска площади первой трапеции необходимо подставить значения в формулу (4): . Остальные площади трапеций считаются аналогично. После всех вычислений находится сумма всех фигур, что и является значением определённого интеграла на выбранном отрезке.

Пример выше показывает, что методы средних прямоугольников и трапеций дают одинаковые результаты, но на самом деле точность может отличается, если взять другой определённый интеграл. В таблице ниже для функции представлены значения вычислений интеграла на отрезке [-2; 2]. Точное значение интеграла равняется 2,384978954640275.

Сравнение методов

После проделанной работы можно прийти к выводу, что среди численных методов по вычислению определённых интегралов на некотором интервале наиболее эффективными являются два метода: средних прямоугольников и трапеций, но они не самые точные из всех возможных, т.к. имеют лишь второй порядок точности.

Сравнивая два метода между собой, метод трапеций, относящийся к методам Ньютона-Котеса показал менее точное значение, чем метод средних прямоугольников, который относится к методам Гаусса-Кристоффеля.

Рис.10. Сравнение методов средних прямоугольников и трапеций

Список литературы

1. Введение в численные методы: Учебно-методическое пособие для студентов Института физики / Е.Н. Дулов. – Казань: Издательство Казанского федерального университета, 2012. – 62 с.: 1 илл.

2. Иванова Т.В. Численные методы в оптике. Учебное пособие. – СПб: Университет ИТМО, 2017 - 84 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. – M.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 636 с.

4. Пирумов У.Г. Численные методы Учебное пособие - М Изд-во МАИ, 1998. - 188 с ил.

5. Численные методы: учеб.-метод. пособие. Ч. 2. Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2013. 64 с.

6. Блюмин А.Г., Федотов А.А., Храпов П.В. Численные методы вычисления интегралов и решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы». — М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2008. — 74 с.

Код для цитирования: Скопировать