XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Введение

Решение уравнений – одна из древнейших математических проблем. Многие из существующих уравнений – алгебраические, трансцендентные, дифференциальные – трудозатратны для аналитического решения, особенно если требуется результат с заданной точностью. В таких случаях разумно воспользоваться численными методами решения, которые позволяют сократить время вычислений и добиться гораздо более точного результата.

Все численные методы обладают определенным набором свойств. Одним из самых важных является точность. В течение всего хода решения задачи могут появляться погрешности, изменяющие результат вычислений, которые определяют точность. При анализе точности одним из наиболее важных критериев является сходимость численного метода. Для дискретных методов сходимость – это стремление значений результатов метода к идентичным значениям решения исходной задачи, когда параметр дискретизации стремится к нулю

Пусть имеется уравнение вида f(x) = 0. Решить такое уравнение – значит установить имеет ли оно действительные корни, сколько их, а также установить их значение. Таким образом, начать решение задачи стоит с определения количества корней, а также промежутков, в которых они содержатся. После совершения этих действий, обратимся к вышеупомянутым численным методам. Существуют различные методы приближенного нахождения корней уравнения, разной сложности и эффективности. В нашей работе мы рассмотрели и сравнили метод касательных, хорд и комбинированный метод. [1-3]

Метод касательных

Метод касательных предназначен для приближенного нахождения нулей функции. Мы знаем, что график полиномиальной функции нечетной степени пересекает ось Oxпо крайней мере один раз, поэтому наше уравнение имеет по крайней мере один действительный корень. Но есть некоторые необходимые условия, применяемые к функции, такие как: наличие хотя бы одного корня, непрерывность и дифференцируемость на интервале поиска.

Метод касательных является одним из наиболее используемых, поскольку обладает квадратичной сходимостью, а значит быстро сходится и позволяет вносить изменения. При этом, метод будет эффективен при строгих ограничениях f(x):

Вторая производная функции f(x) существует на выбранном промежутке [a, b];

Первая производная принадлежит промежутку [a, b] и не равна 0;

, сохраняют знак на всем промежутке [a, b];

Алгоритм решения стоит начинать с некоторого начального приближения x₀, далее итеративно находится наилучшее решение, делая построение касательной к графику в точке и определяя в качестве следующего значения координату в месте пересечения с осьюx касательной. Еслиx_i уже достаточно близок к корню, то   будет ещё ближе. [1-3].

Пусть на отрезке  существует единственный корень уравнения: x;

;

a существует, непрерывна и отлична от нуля на ;

Запишем ; (1)

Применим формулу Лагранжа и получим формулу итерационного процесса; (2)

Выразим отсюда; (3)

В случае, когда начальная точка итераций x₀ к искомому минимуму весьма близка, тогда скорость сходимости метода Ньютона квадратическая.

Геометрический смысл метода Ньютона (рис.1) основывается на том, что на каждом шаге строится касательная к графику в точке последовательного приближения x_k, за следующее приближениеx_k+1 берётся точка пересечения этой касательной с осью O_x. Поэтому на каждом шаге наилучшим образом регулируется наклон прямой.

Рис. 1. Процесс последовательных приближений метода касательных

Метод касательных (метод Ньютона) (рис.2) наиболее эффективен для решения уравнений, у которых график в окрестности корня имеет большую крутизну.

Рис. 2. Блок-схема метода касательных

Метод имеет высокую скорость сходимости, но сходимость зависит от типа функции, поэтому рекомендуется выбирать отрезок, на котором отделен корень очень малой длины.

Метод хорд

Метод хорд – это итеративный алгоритм, поэтому решением уравнения является многократный повтор алгоритма. Точность его решения можно повысить по мере необходимости, установив желаемое значение погрешности. В начале вычислений методом хорд необходимо указать границы области поиска корня. Идея метода хорд состоит в том, что можно с известным приближением допустить, что функция на достаточно малом участке [а, b] изменяется линейно. Тогда кривую у = f(х) на участке [а, b] можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения хорды с осью абсцисс.

Метод хорд может применяться при условии, если f(x) — дважды непрерывно дифференцируемая функция и знак