XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Для сравнения эффективности численных методов решения нелинейных уравнений рассмотрим задачу нахождения приближенного решения уравнения (1):

, (1)

где угол x задан в градусах. Указанное уравнение можно переписать в виде (поскольку для используемой стандартной функции sin(х) угол должен задаваться в радианах):

(2)

Для графического отсечения корней достаточно построить график функции, показанный на рис. 1:

Рис. 1. График функции y=

Из рис. 1 видно, что корень уравнения лежит в промежутке x∈(6;8).

Для уточнения корней может использоваться один из следующих методов [1–2]:

Метод итерации

Метод половинного деления

Метод Ньютона

Метод хорд

Метод итерации — численный метод решения математических задач, используемый для приближённого решения алгебраических уравнений и систем. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить решение с заданной точностью в виде предела последовательности итераций. Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения решения.

В программе уже введено начальное приближение , значение eps, само уравнение в функцию ничего вводить не надо. Есть вторая версия программы которая будет ниже где можно вписать свое eps и начальное приближение, для каждой из последующих программ оно будет схоже.

Кодпрограммы (C++):

#define _USE_MATH_DEFINES

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double find(double x, double eps)

{

double rez; int iter = 0;

cout << "Начальноеприближение x0=" << x << "";

cout << endl;

do {

rez = x;

x = 1 / (sin(M_PI*x / 180));

iter++;

}

while (fabs(rez - x) > eps && iter<20000); // Числоитерацийограничены int в c++

cout << iter << " - Число Итераций" << endl;

cout << "Ответ: ";

return x;

}

int main()

{

cout <<find(7, 0.00001); //Обращение к функции и где вводим eps

cin.get();

return 0;

}

Код программы на C++ с вводом eps:

#define _USE_MATH_DEFINES

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double find(double x, double eps)

{

double rez; int iter = 0;

cout << "Начальноеприближение x0=" << x << "";

cout << endl;

do {

rez = x;

x = 1 / (sin(M_PI*x / 180));

iter++;

}

while (fabs(rez - x) > eps && iter<20000); // Числоитерацийограничены int в c++

cout << iter << " - Число Итераций" << endl;

cout << "Ответ: ";

return x;

}

int main()

{

cout << “Введите значение eps” << endl;

cin << eps;

find(7, eps); //Обращение к функции и где вводим eps

cin.get();

return 0;

}

В эту и во все приведенные ниже программы исходная функция, значение eps, начальное приближение и концы промежутка вводятся сразу, а в некоторых случаях и её производная, при запуске программы вводить ничего не нужно все уже есть в ней.

Вывод программы показан на рис. 1 (он совпадает для всех 4-х методов):

Рис. 2. Вывод программы

Блок схема метода итераций:

Рис. 3. Блок схема метода итераций

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643 — 1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации.

КодПрограммы (C++):

#define _USE_MATH_DEFINES

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double find(double x, double eps)

{

double f, df; int iter = 0;

cout << "x0=" << x << " ";

cout << endl;

do {

f = sin(M_PI*x / 180) - 1 / x;

df = M_PI / 180 * cos(M_PI*x / 180) + 1 / (x*x);

x = x - f / df;

iter++;

}

while (fabs(f) > eps && iter< 20000);

cout << iter << " Итераций" << endl;

return x;

}

int main()

{

cout << find(1, 0.00001);

cin.get(); return 0;

}

Блок схемаметода Ньютона:

Рис. 4 Блок схема метода Ньютона

Метод хорд (метод также известен как Метод секущих) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения. Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность.

Кодпрограммы (C++):

#define _USE_MATH_DEFINES

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double find(double x0, double x1, double eps)

{

double rez = x1, f0, f;

int iter = 0;

cout << "x0=" << x0 << " x1=" << x1 << " ";

cout << endl;

do {

f = sin(M_PI*rez / 180) - 1 / rez;

f0 = sin(M_PI*x0 / 180) - 1 / x0;

rez = rez - f / (f - f0)*(rez - x0);

iter++;

} while (fabs(f) > eps && iter< 20000);

cout << iter << " Итераций" << endl;

return rez;

}

int main()

{

cout << find(1.0, 10.0, 0.000001);

cin.get(); return 0;

}

Блок схема метода хорд:

Рис. 5 Блок схема метода хорд

Метод половинного деления (Метод дихотомии) Если x₀, x₁ - приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 и выполняется условие

то последующие приближения находятся по формуле

и вычисляется f(x_i). Если f(x_i)=0, то корень найден. В противном случае из отрезков выбирается тот, на концах которого f(x) принимает значения разных знаков, и проделывается аналогичная операция. Процесс продолжается до получения требуемой точности.

Код программы (C++):

#define _USE_MATH_DEFINES

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double func(double x)

{

return (sin(M_PI*x / 180) - 1 / x);

}

double find(double x0, double x1, double eps)

{

double left = x0, right = x1, x, fl, fr, f;

int iter = 0;

cout << "x0=" << x0 << " x1=" << x1 << " ";

cout << endl;

do {

x = (left + right) / 2;

f = func(x);

if (f > 0) right = x;

else left = x;

iter++;

} while (fabs(f) > eps && iter< 20000);

cout << iter << " Итераций" << endl;

return x;

}

int main()

{

cout << find(1.0, 10.0, 0.000001);

cin.get(); return 0;

}

Блок схема метода половинного деления:

Рис. 6 Блок схема метода половинного деления

Сравним все методы по количеству итераций с разной точностью вычисления и соберем все данные в таблицу:

Таблица

Сравнение методов по числу итераций

Методы	eps	iter	eps	iter	eps	iter
Итераций	0,001	1212	0,0001	1605	0,00001	1998
Ньютона	0,001	6	0,0001	7	0,00001	7
Хорд	0,001	18	0,0001	26	0,00001	35
Половинного деления	0,001	8	0,0001	10	0,00001	14

Из таблицы видно, что для нахождения приближенного решения рассматриваемого уравнения больше все итераций требует метод итераций, за ним метод хорд, половинного деления и Ньютона, также стоит отметить что метод половинного деления производительней других за счет того, что пример получился максимально подходящий для этого метода, а метод итераций менее производительный за счет того , что не была произведена дополнительная проверка на достаточное условие сходимости.

В ходе выполнения данной работы были изучены следующие методы решения: метод итерации, метод половинного деления, метод хорд и метод Ньютона , а также углублены познания по теме численные методы решения нелинейных уравнений на примере решения уравнения .

Список литературы

Численные методы / Под ред. Лапчика М.П.. - М.: Academia, 2017.

Бахвалов, Н.С. Численные методы. Решения задач и упражнения: Учебное пособие / Н.С. Бахвалов, А.А Корнев, Е.В. Чижонков. - М.: Бином 2015.

Вабищевич, П.Н. Численные методы: Вычислительный практикум / П.Н. Вабищевич. - М.: Ленанд, 2016.

Код для цитирования: Скопировать