XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Введение

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла. Если один или оба предела равны или , то с помощью замены переменной можно осуществить переход к конечному отрезку от луча или всей числовой прямой.

Метод прямоугольников

Заменим интеграл выражением:

,

тогда мы получим формулу

(1)

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке
[x_i-1,x_i] . (рис. 1)

Рис. 1. Графическая демонстрация метода прямоугольников

Погрешность данного расчета определяется величиной

Обозначая оценим следующим образом:

Исходя из этого, для погрешности формулы на частичном отрезке подходит следующая формула

(2)

Метод трапеций

Рассмотрим определенный интеграл , где f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a,b]. Проведём разбиение отрезка [a,b] на n равных отрезков: [x_o;x₁], [x₁;x₂], [x₂;x₃], [x_n-1;x_n],. При этом, очевидно: x_o=a (нижний предел интегрирования) и x_n=b (верхний предел интегрирования). Точки x_0, x_1, x_2, x_3,… x_n-1, x_n также называют узлами.

Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций:

(3)

где:   длина каждого из маленьких отрезков или шаг; – значения подынтегральной функции в точках x_0, x_1, x_2, x_3,… x_n-1, x_n.

Абсолютная погрешность метода трапеций оценивается как

(4)

Программное представление.

Для сравнения эффективности описанных выше численных методов нахождения кратных интегралов была написана программа на языке C.

Программа принимает на вход три вещественных числа: нижний порог интегрирования, верхний порог интегрирования, шаг. После чего реализует метод средних прямоугольников и метод трапеций и выводит результаты методов, их погрешности и затраченное время на расчеты каждым методом.

В программе в качестве подынтегральной функции рассматривался многочлен x⁴-4x³-x²+x+1, но подключения библиотека math.h позволяет использовать и тригонометрические выражения, и модуль, и логарифмы.

Пример программы на языке C.

(рис. 2), была создана для того чтобы функция возвращала сразу 2 значения, считающиеся в ней, это требуется для уменьшения вычислений программой.

Рис. 2. Структура Data

Функция для расчета по методу прямоугольников (рис. 3) вычисляет погрешность по формуле (5):

(5)

Рис. 3. Функция rectangles

Функция для подсчета по методу трапеций (рис. 4) вычисляет погрешность по формуле (6):

(6)

Рис. 4. Функция trapezium

Так как современные компьютеры имеют высокую вычислительную мощность, приходится брать большой промежуток и маленький шаг, чтобы программа успела отследить время.

В таблицах 1, 2 представлены входные и выходные данные

Входные данные			Выходные данные
фa	b	Шаг	Результат метода прямоугольников	Погрешность метода прямоугольников	Время метода прямоуголь- ников
0	30	0,01	4041479,89881207	0,0000312500	0,003000
0	30	0,001	4041479,99897982	0,0000539295	0,037000
0	30	0,0001	4041480,00016524	0,0000183150	0,368000
0	50	0,01	56209632,8438703	0,0000659642	0,006000
0	50	0,001	56209633,3285350	0,0000412342	0,061000

Таблица 1

Результаты, полученные методом средних прямоугольников

Таблица 2

Результаты, полученные методом трапеций

Входные данные			Выходные данные
а	B	Шаг	Результат метода трапеций	Погрешность метода трапеций	Время метода трапеций
0	30	0,01	4044985,85737457	0,0018750000	0,004000
0	30	0,001	4041830,56751543	0,0000187500	0,041000
0	30	0,0001	4041480,00019556	0,0000001875	0,412000
0	50	0,01	56209634,3123078	0,0052088542	0,007000
0	50	0,001	56209633,3432204	0,0000520839	0,068000

При сравнении скоростей работы видно, что метод трапеций имеет большую скорость особенно при больших объёмах вычислений, но если сравнивать по точности вычислений, то метод трапеций имеет большее отклонение от истинного решения.

Вывод

Оба метода (средних прямоугольников и трапеций) имеют 2-й порядок точности. При удвоении числа промежутков в методе трапеций можно использовать найденные ранее суммы значений функции, то в методе средних прямоугольников все точки на следующей итерации новые

Погрешность метода трапеций выше, чем у метода средних прямоугольников. Однако на практике найти среднее значение на интервале можно только у функций, заданных аналитически, поэтому использовать метод средних прямоугольников удается далеко не всегда.

Список использованной литературы

Киреев В.И., Пантелеев А.В., Численные методы в примерах и задачах: Учебное пособие. – 4-е изд., испр-СПб. 2015. – 448с.

Введение в численные методы Самарский А. А. – Издательство Лань. 2009.-288с

Реализация метода прямоугольников на языке С- [https://programm.top/c-sharp/algorithm/numerical-methods/rectangle-method/] С++ и численные методы- [https://habr.com/ru/post/479202/]

Вычисление определенных интегралов – [https://lms.kantiana.ru/mod/book/tool/print/index.php?id=10652]

Код для цитирования: Скопировать