XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Рационализация метода Симпсона

Сложные и трудоемкие процессы вычисления являются неотъемлемой частью любого математического или физического исследования. Зачастую в расчетах встречаются интегральные или дифференциальные уравнения. Задача отыскать точное значение определенного интеграла не всегда имеет решение. Первообразную подынтегральной функции порой не удается представить в виде элементарной функции. Прежде всего, у исследователей возникает проблема, связанная с излишней трудоемкостью вычисления. Известная формула Ньютона-Лейбница к поставленной задаче не подходит. Для сокращения времени до момента, когда будет получен ответ, ученые разработали отдельные методы численного интегрирования. Этот термин означает вычисление значения определенного интеграла, при этом чаще всего приближенное. Под численным интегрированием понимают набор различных методов, используемых для получения приближенного ответа заданного интеграла. Название численные связано с тем, что решение любой задачи отыскивается в виде числа. Так как любое число представляется в компьютере в конечной форме, точисленные методы – это методы приближённого решения математическихзадач.

В настоящее время численные методы являются мощным математическимсредством решения многих научно-технических проблем. Это связано как с не­возможностью в большинстве случаев получить точное аналитическое решение,так и со стремительным развитием ЭВМ.

Метод Симпсона, получивший и другое название за характерные кривые на графиках (рис.1), – метод парабол, стал новым веянием численного интегрирования.

Рис.1. Схематический график метода Симпсона

Свое название этот метод получил в честь британского математика Томаса Симпсона. Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции, то есть приближение графика функции на отрезке параболой.

В отличие от примитивных методов численного интегрирования, таких как методы правых, левых и средних прямоугольников и метода трапеции, рассматриваемый нами подход позволяет достичь наиболее точного результата при минимальном количестве затрачиваемого времени, благодаря тому, что отклонение параболы от кривой меньше, чем от хорды.

Метод Симпсона имеет следующую формулу (1):

(1)

Причем погрешность Rнаходится по формуле (2)

(2)

Заметим, что при удвоении числа частичных отрезков (с n до 2n) используются те же значения подынтегральной функции, что и на предыдущей итерации, и добавляется еще n значений h. Используем данную особенность, чтобы рационализировать метод Симпсона. Рационализация – процесс ускорения вычислений. Для этого заведем новые переменные S₁ и S₂. Они будет накапливать суммы слагаемых с четными и нечетными номерами с предыдущей итерации.

Таким образом получается:

(3)

В общем виде получается, что первая итерация имеет вид:

(4)

Далее: S₁=S₁+S₂. Удваивается число частичных промежутков и подсчитывается S₂. Последующие будут вычисляться по общей формуле (4).

В обеих программах интересующий пример вводится непосредственно внутри кода. Переменные a и b отвечают за границы интегрирования. Подынтегральная функция вводится вручную на второй строчке после слова return.

Рис. 2.Программа, реализующая нерационализированный метод Симпсона

Рис. 3. Программа, реализующая рационализированный метод Симпсона

Протестируем полученную программу на основе трех примеров. Исследуем количество затрачиваемого времени на расчет и проверим точность вычислений. Зададим одинаковое требование к точности и проверим во сколько будет отличаться время выполнения программы. Сравним с показателями, которые мы получили в результате работы с программой без усовершенствований.

Примеры определенных интегралов, на основе которых будут проводиться исследования:

Результаты расчетов приведены в таблице.

Таблица

Таким образом, мы можем сделать вывод, что использование рационализированного метода Симпсона действительно может ускорить процесс вычисления, а также приводит к большей точности за меньшее время.

Список литературы

Пирумов У.Г.Численные методы Учебное пособие - М Изд-во МАИ, 1998- 188 с ил. ISBN 5-7035-2190-4

Кулакова, С.В. Численные методы: учеб. пособие / С.В. Кулакова; Иван. гос. хим.-технол. ун-т. Иваново, 2018 – 124 с.

Тынкевич, М. А.Введение в численный анализ : учеб. пособие / М. А. Тынкевич,А. Г. Пимонов ; КузГТУ. – Кемерово, 2017 – 176 с.