XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Рассмотрим данные роста студентов, обучающихся в Уральском государственном лесотехническом университете. Все множество студентов представляет собой генеральную совокупность. Количество студентов достаточно велико, поэтому для исследования возьмем случайным образом часть студентов в объеме 30 человек, которая называется выборочной совокупностью. Пустьизучаемый признак Х – рост студента (см). Определим вид распределения генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона (критерия согласия ꭓ-квадрат).

Прежде выполним ряд дополнительных рассуждений, позволяющих выдвинуть предположение о виде распределения.

По выборке получено следующее эмпирическое распределение:

xi	162	166	168	170	171	172	173	174	175	176	179	180	182	186
ni	1	2	1	2	2	2	1	2	3	4	5	2	1	2

Перейдем к соответствующему интервальному вариационному ряду. Для этого по формуле Стерджесса найдем количество интервалов: .

Получим .

Так как наибольший рост равен 186 см, а наименьший – 162 см, то вся выборка попадет в промежуток (162; 186).

Величина интервала вычисляется по формуле

.

За начало первого интервала примем x₀ =x_min = 162 см, а конец первого интервала– х₁ =x_min+ h = 166 см. Получим последовательность интервалов: [162; 166), [166; 170), …, [182; 186]. Таким образом, интервальное распределение будет иметь вид:

[xi ; xi+1)	[162; 166)	[166; 170)	[170; 174)	[174; 178)	[178; 182)	[182; 186]
ni	1	3	7	9	7	3

Геометрическим представлением интервального распределения является гистограмма частот.

Рисунок. Гистограмма частот

Вид гистограммы частот напоминает график плотности функции нормального распределения непрерывной случайной величины Х [1]. Поэтому есть основания предполагать, что распределение генеральной совокупности также имеет нормальное распределение.

Сделать правильный вывод о виде распределения нам поможет критерий Пирсона (критерий согласия ꭓ-квадрат). Данный критерий позволит ответить на вопрос о том, является ли различия между выборочным и теоретическим распределениями столь незначительными, что они могут быть приписаны лишь случайным факторам [2].

Введем гипотезы:

H₀: генеральная совокупность имеет нормальное распределение.

H₁: генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.

Выберем уровень значимости α=0,05.

Выберем статистику .

Вычислим точечные оценки параметров нормального распределения.

Для этого определим середину каждого интервала в интервальном распределении.

xi	164	168	172	176	182	186
ni	1	3	7	9	7	3

(см) – средний рост студентов выборочной совокупности;

выборочная дисперсия:

(см²).

Тогда исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:

или (см).

Далее заполним следующую таблицу:

интервал	эмпирическая частота		теоретическая частота
-∞; 166	1	0,01425	0,4275	1,637	2,6798	0,2862
166; 170	3	0,07585	2,2755
170; 174	7	0,222	6,66
174; 178	9	0,3285	9,855	-0,855	0,7310	0,0742
178; 182	7	0,2443	7,329	-0,329	0,1082	0,0148
182; +∞	3	0,1131	3,393	-0,393	0,1544	0,0455
	30	0,998	29,94			0,4207

Искомые вероятности попадания значений признака Х в i-й интервал определим по формуле .

Используя таблицы значений функции Лапласа, находим:

;

;

;

;

;

.

В ходе заполнения таблицы мы объединили некоторые теоретические частоты, чтобы их суммарная частота была больше или равна 5. Соответствующие им теоретические частоты также нужно объединить.

Тогда =0,4207 (см. последний столбец таблицы).

6) Определим критическое значение критерия Пирсона по заданному уровню значимости α =0,005 и числу степеней свободы ν=4-3=1, то есть или

(0,05; 1)=3,8 по таблице «Критические точки распределения Пирсона ».

Так как , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, то есть гипотеза о нормальном распределении роста студентов согласуется с опытными данными при уровне значимости α =0,005.

Таким образом, нами был рассмотрен алгоритм проверки гипотезы о нормальном распределении на примере роста студентов по критерию Пирсона

Библиографический список

Агишева Д. К., Матвеева Т.А., Светличная В.Б., Зотова С.А. Методические указания, контрольные работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» [Электронный ресурс]: методические указания / Д. К. Агишева,Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, С. А. Зотова // Сборник «Методические указания». Выпуск 4. – Электрон. текстовые дан.– Волжский: ВПИ (филиал) ВолгГТУ, 2012.

Демин С.Е., Демина Е.Л. Математическая статистика : учеб.-метод. пособие / авт.-сост. : С. Е. Демин, Е. Л. Демина ; М-во образования и науки РФ ; ФГАОУ ВО «УрФУ им. первого Президента России Б.Н.Ельцина», Нижнетагил. технол. ин-т (фил.). — Нижний Тагил : НТИ (филиал) УрФУ, 2016. — 284 с.

Код для цитирования: Скопировать