XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Цель данной работы состоит в рассмотрении методических вопросов построения математической модели временного ряда метеорологических величин и проиллюстрировать возможности каждого из рассмотренных подходов с использованием реальных данных о приземной температуре воздуха, полученных с помощью автоматических метеорологических станций.

Задачи данной работы:

1. Создать архив данных, содержащий временные ряды приземной температуры воздуха, полученных с помощью автоматических метеорологических станций.

2. Создать программы для ПЭВМ, позволяющие реализовать расчет числовых характеристик трех видов математических моделей с использованием реальных данных. необходимых для расчета числовых значений временных рядов с использованием математические модели этих временных рядов.

3. Произвести расчеты временных рядов по их математическим моделям и сравнить полученные результаты с временными рядами, которые были использованы для определения числовых характеристик математических моделей.

Временные ряды и средства их получения

Временной ряд – это расположенные в хронологической последовательности данные измерений одной или нескольких величин (например, метеорологических), соответствующих определенным моментам времени.

Временной ряд включает в себя два обязательных элемента – отметку времени и значение величины ряда, соответствующее указанной отметке времени.

Метеорологические временные ряды могут быть получены с помощью следующих информационно-измерительных систем [1].

- Автоматических аэрологических комплексов [2].

- Метеорологических радиолокаторов [3].

- Наземных метеорологические станции или комплексов общего и специального (дорожные, аэродромные, экологические и др.) назначения [4 - 6].

В работе используются следующие математические методы:

- метод полиномиальной аппроксимации;

- метод разложения по собственным векторам ковариационной матрицы, построенной по ансамблю профилей температуры [7];

- метод моделирования ряда с помощью временного тренда и периодических составляющих [8].

-

Метод полиномиальной аппроксимации

Полиномиальная аппроксимация – модель временных рядов, в которой значение временного ряда в заданный момент времени t_i может быть выражено в виде полинома выбранной степени m (ε – погрешность аппроксимации):

Коэффициенты такой математической модели находятся из минимизации следующего функционала S

При использовании метода наименьших квадратов коэффициенты аппроксимационного полинома степени m могут быть найдены из решения следующей системы линейных алгебраических уравнений

где n – длина временного ряда.

В нашем случае при проведении расчетов моменты времени t_iбыли заменены на порядковый номер члена временного ряда i.

Таблица 1

Фрагмент, представляющий результаты расчета коэффициентов аппроксимационного полинома 7-ой степени (пояснения в тексте)

В таблице 1 в столбике А представлен порядковый номер членов временного ряда, в колонках В и Е – соответствующие этому номеру значение приземной температуры воздуха [⁰С], в колонке D представлены результаты расчета временного ряда с использованием аппроксимационного полинома 7-ой степени, а в колонке G представлены коэффициенты аппрксимационного полинома.

На рисунке 1 представлены графики временного ряда, использованного для расчета коэффициентов аппроксимационного полинома 7-ой степени (см. таблицу 1) и его математическая модель.

Рис. 1 Графики временного ряда (красная кривая) и его аппроксимационной модели (черная кривая)

Рис. 2 Два примера использования полиномиальной аппроксимации для построения математической модели временного ряда: синяя линия- математическая модель, красная – временной ряд, использованный для расчета коэффициентов аппроксимационного полинома

Методом построения математической на основе разложения вектора по собственным векторам ковариационной матрицы

Параметризация векторов на основе использования собственных векторов ковариационной матрицы сводится к расчету оценки этого вектора на основе соотношения:

где

- средний вектор ансамбля векторов r ;

- оценка вектораrразмерности [n*1]на основе его малопараметрического представления с помощью вектора k размерности [m*1] (m<<n),

- матрица М размерности [n*m] состоит из m первых собственных векторов (ранжированных в порядке убывания собственных чисел) ковариационной матрицы ансамбля векторов r.

Используя метод наименьших квадратов решение для вектора k (содержит m коэффициентов для малопараметрического представления), соответствующий вектору r можно записать в следующем виде

где k – вектор размерности [m*1], матрица М размерности [n*m] состоит из m собственных векторов ковариационной матрицы ансамбля векторов r размерности [n*1], МТ – транспонированная матрица размерности [m*n], [ ]-1 – обратная матрица, - средний профиль ансамбля, использованного для расчета собственных чисел и собственных векторов ковариационной матрицы.

Параметризация конкретного вектора r для построения соответствующей математической модели сводится к решению следующего комплекса задач:

- формирование ансамбля векторов r, статистические свойства которого были бы «близки» к тем векторам, для которых необходимо произвести параметризацию;

- расчет ковариационной матрицы для этого ансамбля;

- расчет собственных чисел и собственных векторов ковариационной матрицы;

- формирование матрицы М, состоящей из m первых собственных векторов ковариационной матрицы ансамбля векторов r(ранжирование собственных векторов ковариационной матрицы ансамбля производится в порядке убывания значения собственных чисел);

- для каждого подлежащего параметризации профиля r рассчитывается соответствующий ему вектор k, позволяющий построить модельный профиль.

Таблица 2

Сформированный ансамбля векторов r (фрагмент)

В таблице 2 представлен фрагмент сформированного ансамбля отрезков временных рядов приземной температуры воздуха (⁰С); первая колонка - время (час.), дискретность измерений – 5 мин, n = 150, все остальные колонки – временные ряды приземной температуры воздуха.

Таблица 3

Ковариационная матрица отрезков временных рядов приземной температуры воздуха

( нижняя диагональ, фрагмент)

Таблица 3

Ковариационная матрица отрезков временных рядов приземной температуры воздуха

( нижняя диагональ, фрагмент)

В таблице 3 представлен фрагмент ковариационной матрицы. Поскольку ковариационной матрицы симметрична, то в таблице 3 представлены только значения самой главной диагонали и значения матрицы ниже главной диагонали.

Таблица 4

Пример представления результатов расчета собственных чисел и собственных векторов ковариационной матрицы векторов приземной температуры воздуха

(фрагмент)

В таблице 4 представлены результатов расчета собственных чисел и собственных векторов ковариационной матрицы векторов приземной температуры воздуха. Первая строка таблицы 4 – это номера собственных чисел ковариационной матрицы. Строка 2 – значения собственных чисел ковариационной матрицы, ранжированных в порядке убывания. Строка 4 - номера собственных векторов ковариационной матрицы, соответствующих собственным числам (см. строку 1). Все остальные строки – это значения собственных векторов ковариационной матрицы (только первые строки - фрагмент).

Рис. 3 График временного ряда (красная линия) и его математической модели (черная линия)

На рисунке 3 в качестве примера представлено сопоставление временного ряда приземной температуры воздуха и его математической модели. В данном случае представленный временной ряд входил в состав ансамбля данных, использованный для расчета собственных чисел и собственных векторов ковариационной матрицы.

Таблица 4

Статистические характеристики, описывающие точность описания математической моделью временного ряда, использованного для определения численных параметров математической модели

На рисунке 4 в качестве примера представлено сопоставление временного ряда приземной температуры воздуха и его математической модели. В данном случае представленный временной ряд не входил в состав ансамбля данных, использованный для расчета собственных чисел и собственных векторов ковариационной матрицы.

Рис. 4 График для независимого временного ряда (красная линия) и его математической модели (черная линия)

Таблица 5

Статистические характеристики, описывающие точность описания математической моделью для независимого временного ряда, использованного для определения численных параметров математической

Построение математической модели временного ряда приземной температуры воздуха с использованием временного тренда и периодических составляющих

Будем считать, что каждое i-е значение временного ряда T_i можно представить в виде суммы следующих составляющих

T_i = R_i + P_i + N_i ;

где R - временной тренд,

P периодическая составляющая временного ряда,

N случайная составляющая временного ряда.

Для формирования модельного рада последовательно рассмотрим методику построения каждой из этих трех составляющих.

Линейный временной тренд. Для задания линейного временного тренда методом наименьших квадратов рассчитываются значения двух коэффициентов: «а» и «в». Тогда математическая модель первой составляющей временного ряда, содержащего n значений будет имеет следующий вид:

R_i = a + b • i,

где i - порядковый номер измерения.

При использовании метода наименьших квадратов расчет коэффициентов линейного временного тренда производится на основе следующих соотношений

Таблица 6

Пример расчета коэффициентов линейного временного тренда для временного ряда приземной температуры воздуха

Периодические составляющие. Вторая составляющая математической модели временного ряда может содержать несколько периодических составляющих. Например, две – с разными амплитудами, периодами и фазами

P_i = K₁Sin ( 2 p iD / period₁ + F₁) +К₂Sin ( 2 p iD / period₂ + F₂).

где

i – порядковый номер члена временного ряда;

K – амплитуды периодических составляющих,

period и F – периоды и фазапериодических составляющих.

В данной работе для периодических составляющих предполагалось использовать пакет из 5 составляющих, а их параметры последовательно рассчитывались методом прямого перебора [8]. Случайная составляющая планируется использоваться в дальнейшем.

Таблица 7

Пример результатов расчета параметров математической модели

В таблице 7 в качестве примера представлены результаты расчета параметров математической модели временного ряда, содержащего линейный временной тренд (коэффициенты линейного временного тренда не приведены) и 5 периодических составляющих.

Рис. 5 Примеры сопоставления реального временного ряда (красная линия) и его математической модели (черная линия)

Заключение

Важно, чтобы при планировании проведения того или иного исследования была возможность выбора инструмента или инструментов для его проведения.

В работе показано, что решение одной и той же задачи можно получить с использованием различных методов. А именно, с использованием одного временного ряда или ансамбля временных радов, произвести расчет параметров математической модели временного ряда и по этим параметрам рассчитать значения всех членов такого модельного ряда.

В первом случае для построения математической временного ряда достаточно использовать лишь один реальный временной ряд и определить степень аппроксимационного полинома;

во втором случае предварительно создать ансамбль временных рядов и провести расчет вспомогательных характеристик (собственных векторов ковариационной матрицы) и только после этого, рассчитав коэффициенты параметризации произвести построение математической модели;

третий подход – это комбинированное использование временного тренда (позволяет оценить долговременную тенденцию изменений членов временного ряда) и собственно модифицированного спектрального анализа.

Список литературы

1.Киселев В.Н., Кузнецов А.Д. Методы зондирования окружающей среды (атмосферы). Учебник // СПб, изд. РГГМУ, 2004. – 429 с.

2.Восканян К.Л., Екатериничева Н.К., Кузнецов А.Д., Саенко А.Г., Сероухова О.С., Симакина Т.Е. Практикум по аэрологическим методам зондирования окружающей среды: учебное пособие. – СПб.: РГГМУ, 2020. – 268 с.

3.Жуков В.Ю.,. Кузнецов А.Д, Сероухова О.С.  Интерпретация данных доплеровских метеорологических радиолокаторов. Учебное пособие. - // Санкт-Петербург, РГГМУ, 2018.- 119 с.

4.Восканян К.Л., Кузнецов А.Д., Сероухова О.С. Автоматические метеорологические станции. Часть 1. Тактико-технические характеристики. Учебное пособие. ‒ СПб.: РГГМУ, 2016. – 195 с.

5.Восканян К.Л., Кузнецов А.Д., Сероухова О.С. Автоматические метеорологические станции. Часть 2. Цифровая обработка данных автоматических метеорологических станций. Практикум. — СПб.: РГГМУ, 2016. — 99 с.

6. Дивинский Л.И., Кузнецов А.Д., Солонин А.С.. Комплексная радиотехническая аэродромная метеорологическая станция (КРАМС-4). Учебное пособие – Санкт‑Петербург, РГГМУ, 2009.- 72 с.

7. Кузнецов А.Д., Симакина Т.Е., Сероухова О.С. Сезонное малопараметрическое представление вертикальных профилей температуры в Якутии // В книге: Современные проблемы гидрометеорологии и мониторинга окружающей среды на пространстве СНГ. Сборник тезисов Международной научно-практической конференции, посвященной 90-летию Российского государственного гидрометеорологического университета, 2020. С.172-174.

8.Восканян К.Л., Кузнецов А.Д., Сероухова О.С., Симакина Т.Е. К вопросу о выделении аддитивных составляющих временного ряда приземной температуры воздуха //Ученые записки РГГМУ. — СПб: изд-во РГГМУ, 2013. — №32. — С. 55–65.

Код для цитирования: Скопировать