XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

При проектировании современных автомобильных дорог одним из важнейших условий является обеспечение комфортабельности и безопасности движения, то есть трассы, позволяющей автомобилям двигаться с постоянной или плавно меняющейся скоростью [1]. Этому условию удовлетворяют переходные кривые, которые являются элементами плана автомобильных трасс. В разных странах в качестве переходных кривых рассматривают венскую дугу, клотоиду, кубическую параболу, логарифмические спирали и др.

Количественной характеристикой линии, определяющей степень искривленности линии, является «кривизна». Эту величину можно выразить числом[2]. Именно кривизна дает нам возможность судить о течении кривой. Необходимо отметить, что на различных участках кривой ее кривизна будет разной.

Рассмотрим линию, заданную параметрическими уравнениями:

Построим по точкам эту линию и запишем уравнение траектории движения.

Найдем значения x и y, для этого придадим параметру tнекоторые значения

Построим заданную линию по найденным точкам:

При построении математических моделей участков трассы иногда можно привести данные параметрические уравнения линии к уравнению с двумя переменными. Для этого выразим параметр t из первого уравнения, получим , затем подставим во второе. Имеем или .

Следовательно, траекторией движения будет кубическая парабола, определяемая уравнением .

Это уравнение дает представление о кубической параболе в прямоугольных координатах.

Найдем наибольшую кривизну линии для .

Для этого воспользуемся формулой

.

Исследуем функциюна экстремум:

Находим стационарную точку: , то есть

- стационарная точка.

Определим ординату точки максимума: .

Отметим точку максимума функции на графике, тем самым покажем точку, в которой кривая имеет наибольшую искривленность на промежутке .

Точка с ординатой 2,919 имеет максимальную кривизну.

Таким образом, нами была изучена одна из характеристик кривых на плоскости, позволяющая узнать степень искривленности кривой. Умение находить кривизну кривой на практике дает возможность сгладить участки автомобильных трасс при проектировании и избежать большого количества аварийных ситуаций на дороге.

Библиографический список

Золкина Л. А., Плотникова Е.С. Кривизна и ее приложения: метод. указания для студентов лесоинженер. фак. специальности "Автомоб. дороги и аэродромы" / Л. А. Золкина, Е. С. Плотникова; Урал. гос. лесотехн. ун-т, Каф. высшей математики. - Екатеринбург: УГЛТУ, 2011. - 30 с.: ил.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 томах / Г. М. Фихтенгольц. - 14-е изд., стер. - Санкт-Петербург: Лань, 2020. – Том 1 – 2020. - 608 с.