XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Принципа максимума Л.С.Понтрягина. Постановка задачи. Формулировка принципа максимума

Для расчета систем оптимального управления, в которых критерий оптимизации задан в виде функционала, используются динамическое программирование и принцип максимума.

Принцип максимума Понтрягина используется в теории оптимального управления для нахождения наилучшего возможного управления для перевода динамической системы из одного состояния в другое, особенно при наличии ограничений на состояние или входные элементы управления. В нем говорится, что для любого оптимального управления наряду с оптимальной траекторией состояния необходимо решить так называемую гамильтонову систему, которая представляет собой двухточечную краевую задачу, плюс условие максимума управляющего гамильтониана. Эти необходимые условия становятся достаточными при определенных условиях выпуклости для целевой и ограничивающей функций [1].

Принцип максимума был сформулирован в 1956 году российским математиком Львом Понтрягиным и его учениками, и его первоначальное применение заключалось в максимизации конечной скорости ракеты. Результат был получен с использованием идей классического вариационного исчисления. После небольшого возмущения оптимального управления рассматривается член первого порядка разложения Тейлора относительно возмущения; обращение возмущения к нулю приводит к вариационному неравенству, из которого следует принцип максимума.

Широко рассматриваемый как важная веха в теории оптимального управления, значение принципа максимума заключается в том, что максимизация гамильтониана намного проще, чем исходная задача бесконечномерного управления; вместо максимизации по функциональному пространству задача преобразуется в поточечную оптимизацию. Принцип максимума Понтрягина потенциально более эффективен в вычислительном отношении, поскольку условия, которые он задает, должны выполняться только по определенной траектории [1].

Данный метод оптимизации обоснован как необходимое условие оптимальности для нелинейных систем и как необходимое и достаточное условие для линейных. Задача формулируется следующим образом [2].

Пусть ОУ описывается системой уравнений

(1.1)

или, в векторной форме где - вектор переменных состояния системы - вектор управляющих воздействий.

Управление u(t) принадлежит ограниченной замкнутой области U r-мерного пространства управлений, а координаты x(t) принадлежат хотя и ограниченной, но открытой области X n-мерного пространства состояний, т.е. u(t) ÎU, x(t) ÎX.

Требуется из класса кусочно-непрерывных управлений, принадлежащих области U (допустимые управления), выбрать такое управление, которое переводит объект управления из заданного начального состояния x_i(t₀) в конечное x_i(t₁) (i = 1,..., n) и минимизирует функционал

(1.2)

Будем полагать, что функции f_i(x,u) определены и непрерывны по совокупности переменных x, u вместе со своими частными производными ¶f_i, ¶xi. Для удобства решения задачи вводится дополнительная переменная x₀ такая, что

(1.3)

Здесь f₀(x,u) – подынтегральная функция функционала (1.2). Присоединив (1.3) к исходной системе уравнений (1.1), получим систему из n+1 уравнений

(1.4)

правые части которой не зависят от x₀ [2].

С учётом (1.3) функционал J можно рассматривать как конечное значение переменной x₀:

(1.5)

и сформулированная выше задача сводится к задаче о достижении экстремума конечного значения координаты x₀.

Прежде чем перейти к формулировке принципа максимума, введём понятие о вспомогательных переменных Y₀(t), Y₁(t),...,Y_n(t), которые определяются системой линейных однородных уравнений:

(1.6)

Системы уравнений (1.4) и (1.6) можно объединить одной формой записи, вводя в рассмотрение вспомогательную функцию

(1.7)

Определив частные производные функции H по Y_i и x_i с учётом (1.4), (1.6) и (1.7) найдём, что

(1.8)

(1.9)

Векторные функции x(t) и Y(t) непрерывны и имеют непрерывные производные, и при фиксированных значениях x(t) и Y(t) функция H становится функцией только управления u. Уравнения вида (1.8) и (1.9) носят название канонически сопряжённых и совпадают по форме с каноническими уравнения Гамильтона, известными из теоретической механики. В связи с этим функцию H называют функцией Гамильтона, или гамильтонианом [2].

Принцип максимума гласит, что для оптимальности системы, т.е. для получения минимума функционала J (1.2), необходимо существование таких ненулевых непрерывных функций Y₀(t), Y₁(t),...,Y_n(t), что при любом t Î[t₀, t₁ ], функция H как функция переменных u₁, u₂,...,ur в заданной области их допустимых значений достигает максимума, т.е. постоянны во времени и

Таким образом, для получения оптимального процесса нужно в любой момент времени t Î[t₀ ,t₁] выбирать такое управление, чтобы величина H была максимальной, причём в течение всего времени оптимального управления а переменная Y₀(t) постоянна по величине и неположительна.

Особенностью принципа максимума является, то что вариационная задача определения управления u(t), минимизирующего функционал J, заменяется задачей математического анализа определения параметра u, доставляющего максимум вспомогательной функции H (u). Отсюда происходит и название метода – принцип максимума [2].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Милютин, Алексей Алексеевич. Принцип максимума в общей задаче оптимального управления / А. А. Милютин. - М. : Физматлит, 2001. - 303 с.; 22 см.; ISBN 5-9221-0114-5;

Принцип минимума Понтрягина [Электронный ресурс] Информационный портал StudFiles – Режим доступа: https://studfile.net/preview/4353501/page:17/ свободный - Загл. с экрана.

Код для цитирования: Скопировать