XV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2023

Введение

В современном мире компьютеризация прочно вошла в нашу жизнь. С помощью компьютера можно осуществлять различные операции. Возможно использование компьютеров в области обработки и анализа данных для пользователей из различных сфер деятельности.

Актуальность исследования заключается в том, что использование компьютера при изучении теории вероятностей и статистики является необходимым. Для определения статистической вероятности нужно провести большое количество экспериментов, что является достаточно долгим процессом. Использование программирования для вычисления статистической вероятности намного упрощает данную задачу.

Цель данного исследования: изучить свойства статистической вероятности событий с помощью программирования.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:

собрать и систематизировать теоретический материал по данной теме;

написать программы на языке программирования Delphi для нахождения статистических вероятностей событий;

разработать практические работы с индивидуальными заданиями для учащихся.

История возникновения теории вероятностей

Теория вероятности - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий и они формулировались в наглядных представлениях. Важный вклад в теорию вероятностей внёс Яков Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Основные категории теории вероятности

Как и всякая наука, теория вероятности и математическая статистика оперируют рядом основных категорий:

События;

Вероятность;

Случайность;

Распределение вероятностей и т.д.

Событием называется произвольное множество некоторого множества всех возможных исходов. События могут быть:

Достоверные – события, которые заведомо произойдут при соблюдении определенных условий.

Невозможные – события, которые заведомо не произойдут при соблюдении определенных условий.

Случайные – события, которые могут произойти либо не произойти при соблюдении определенных условий.

Также события в зависимости от условий могут быть:

Единственно возможными, если наступление одного из них это событие достоверное.

Равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Несовместимыми, если появление одного из них исключает возможность появления другого в том же испытании.

Классическое и статистическое определение вероятности

Вероятность – это численная характеристика реальности появления того или иного события.

Классическое определение вероятности: если множество возможных исходов конечное число, то вероятностью события А считается отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу единственно возможных равновозможных исходов.

Множество возможных исходов в теории вероятности называется пространством элементарных событий.

Исходя из классического определения вероятности, можно вывести ее основные свойства:

Вероятность достоверного события равна 1.

Вероятность невозможного события равна 0.

Вероятность случайного события находится в пределах от 0 до 1.

Классическое определение вероятности связано с непосредственным подсчетом вероятности, требует точного знания числа всех возможных исходов, и удобно для расчета вероятности достаточно простых событий.

Расчет вероятности более сложных событий – это сложная задача, требующая определения чисел всех возможных комбинаций появления этих событий. Подобными расчетами занимается специальная наука – комбинаторика. Поэтому на практике часто используется статистическое определение вероятности.

Доказано, что при многократном повторении опыта частости довольно устойчивы и колеблются около некоторого постоянного числа, представляющего собой вероятность события.

Таким образом, в условиях массовых испытаний распределение частостей превращается в распределение вероятности случайной перемены.

Достоинство статистического определения вероятности в том, что для ее расчета не обязательно знать конечное число исходов.

Если классическое определение вероятности осуществляется априори (до опыта), то статистическое апосториори (после опыта по результатам).

Распределение частостей дискретного ряда, выраженных конечными числами, называется дискретным распределением вероятности.

Если осуществляются исследования массовых событий частостей, которые распределяются непрерывно и могут быть выражены какой-либо функцией, называются непрерывным распределением вероятности.

На графике такое распределение отражается непрерывной плавной линией, а площадь, ограниченная этой линией и осью абсцисс всегда равна 1.

Теорема сложения вероятностей

Суммой или объединением событий и , называют событием А, состоящим в появлении события или или обоих этих событий.

Площадь прямоугольника – это пространство элементарных событий (число единственно возможных равновозможных исходов). Площади кругов и соответственно – это числа исходов, благоприятствующих событиям и .

- число появлений исходов, благоприятствующих событиям А1 или А2 или обоих этих событий.

То есть вероятность появления хотя бы одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий.

Два единовременно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными (например: орел и решка).

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Если случайное событие А имеет весьма малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не произойдет.

На практике весьма малой считается вероятность .

Игнорировать возможность появления редких событий в виду их малой вероятности на практике можно только в том случае, если это событие не имеет серьезных последствий.

Если случайное событие имеет вероятность весьма близкую к 1, то в конкретном испытании это событие, скорее всего, произойдет.

Теорема умножения вероятностей

Два события считаются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или не появления другого события.

Независимые события имеют место при повторном отборе, когда отобранная в первом испытании единица после регистрации исхода испытания возвращается в генеральную совокупность.

Вероятность совместного появления двух независимых событий и равна произведению их вероятностей.

– число исходов благоприятных событию ;

– число исходов благоприятных событию ;

– число исходов благоприятных и неблагоприятных событию ;

- число исходов благоприятных и неблагоприятных событию .

Поскольку каждый конкретный результат испытания может осуществиться в комбинации с любым другим возможным результатом испытания, вероятность совместного появления событий и можно определить по формуле:

Несколько событий называются совместно независимыми или независимыми в совокупности, если каждая из них и любая комбинация из них содержащая либо все остальные события, либо часть из них – есть события независимые.

Попарная независимость событий не означает их независимость совокупности, однако независимость событий в совокупности обуславливает их попарную независимость.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупностях, равна произведению вероятностей этих событий.

Так же доказывается по методу математической индукции (то есть последовательным делением на пары), что вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий.

Произведение вероятностей противоположных событий позволяет определить вероятность их совместного появления, то есть вероятность того, что не произойдет ни одного из событий.

Но совместное появление противоположных событий и какого-либо из событий составляют полную группу, при этом сумма вероятностей таких событий равна 1.

Два события считаются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или не появления другого события. Такие события (зависимые) имеют место при бесповторном отборе (по схеме невозвращаемого шара), когда отобранная единица обратно в генеральную совокупность не возвращается.

С зависимыми событиями связана условная вероятность. Условной вероятностью называется вероятность события А, исчисленная в предположении, что событие уже наступило.

Непосредственный подсчет условной вероятности требует знания конечного числа исходов, поэтому более приемлемым на практике является расчет условной вероятности по формуле:

где – вероятность совместного наступления событий А и ;

– вероятность наступления события .

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, исчисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

Аналогично, вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности первого из них на условные вероятности остальных, исчисленные в предположении, что это и все предшествующие события уже произошли.

Заключение

В процессе изучения теоретического материала по данной теме, были рассмотрены и проанализированы основные понятия теории вероятностей, а также ее свойства и формулы.

Для исследования свойств статистической вероятности в данной работе использовался язык программирования Delphi. С его помощью были разработаны программы для экспериментального решения задач и нахождения статистической вероятности событий. В этих программах наглядно демонстрируется на графиках зависимость значения частоты от количества итераций.

В работе содержатся разработанные практические работы для учащихся с подробным объяснением реализации задач и с вариантами для самостоятельного выполнения заданий. Выполняя лабораторные работы, учащиеся будут изучать свойства статистической вероятности, а также развивать свои знания в среде программирования Delphi.

Код для цитирования: Скопировать